1 黑龍江省雞西市第一中學(xué)數(shù)學(xué)教研室 (郵編：158100)

題目已知E、F、G、H、M、N分別為正四面體ABCD的棱AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)和6個(gè)中點(diǎn)共可確定( )對(duì)異面直線.

A.423 B.399 C.379 D.255

解答錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里？

圖1

下面就按照所成角的大小對(duì)這255對(duì)異面直線進(jìn)行歸類梳理，希望這些結(jié)論能大家的教學(xué)或?qū)W習(xí)有所幫助.

圖2

第一類 成角為900

(1)易知正四面體ABCD的對(duì)棱確定的3對(duì)異面直線成角為900；

(2)如圖2所示，直線AD與直線EM,NG成900角，這種情況共有6×2=12對(duì)；

圖3

圖4

圖5

(3)如圖3所示，直線BM與直線GH成900角，這種情況共有3×4=12對(duì)；

(4)如圖4所示，易知直線MN⊥截面EFGH，即直線MN與直線EF,FG,GH,HE均成900角，這種情況共有3×4=12對(duì)；

綜合(1)，(2)，(3)，(4)可知在這255對(duì)異面直線中，成角為900的共有39對(duì).

第二類 成角為600

(1)如圖5所示，直線AB與直線GM,GH,GN,GF成角均為600，這種情況共有6×4=24對(duì)；

圖6

綜合(1)，(2)可知這255對(duì)異面直線中，成角為600的共有48對(duì).

第三類 成角為450

圖7

圖8

如圖7所示，直線EG與直線AC,BD所成的角均為450，這種情況共有6×2=12對(duì)；

第四類 成角為300

如圖8所示，直線AF與直線HN,HG所成的角分別為300，這樣的情況共有6×2=12對(duì)；

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

從上述分類可以看出這是一道內(nèi)涵極其豐富的題目，有興趣的讀者，還可再進(jìn)一步深刻挖掘，一定會(huì)得到更多好的結(jié)論，這些結(jié)論都是我們進(jìn)行鞏固練習(xí)和習(xí)題編制的絕好素材.