從一道中考題的解答談?wù)w思想的運用

周亞兵

【問題】一個多邊形的每一個外角都是36°，則這個多邊形的邊數(shù)為 。

【解析】這個多邊形的每一個外角都是36°，則每一個內(nèi)角都是144°。如果設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為x，其內(nèi)角和可以表示為144°·x，若根據(jù)內(nèi)角和公式，則可以表示為180°（x-2），因而可以建立方程，得：144x=180（x-2），解得x=10。因此，本題應(yīng)該填：10。

由于多邊形的外角和都是360°，因而本題還可以運用整體的數(shù)學(xué)思想，直接求得這個多邊形的邊數(shù)為360÷36=10。因此，本題應(yīng)該填：10。

【反思】本題是2018年湖南省懷化市中考數(shù)學(xué)試卷中的一道試題。本題解答的兩種方法，分別從多邊形內(nèi)角和公式、多邊形外角和定理兩個視角進行分析，靈活應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想，建立等量關(guān)系，使得問題逐步加以轉(zhuǎn)化。在解決有些問題時，如果將其中的相關(guān)聯(lián)的部分看成是一個整體進行思考，會使問題的解答更為簡潔。

應(yīng)用一：求多邊形的邊數(shù)

一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于140°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（ ）。

A.9條 B.8條 C.7條 D.6條

【解析】這個多邊形的每一個內(nèi)角都等于140°，即每一個外角都等于40°，所以這個多邊形的邊數(shù)是360÷40=9。選A。

【點評】本題能夠根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角與外角互為鄰補角，求得多邊形的每個外角的度數(shù)，進而求得多邊形的邊數(shù)。

應(yīng)用二：求“星角”的度數(shù)問題

如圖為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度數(shù)為（ ）。

A.360° B.540° C.720° D.900°

【解析】分別連接AA1、B1D1，可使∠A1B1D1+∠AD1B1轉(zhuǎn)化為∠A1AD1+∠B1A1A，從而使圖形中所求七個角的和轉(zhuǎn)化為五邊形ABCDA1與△B1C1D1的內(nèi)角和，即540°+180°=720°。選C。

【點評】本題運用整體思想，把分散的“星角”整體轉(zhuǎn)化，相聚到規(guī)則的多邊形中。

應(yīng)用三：生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象

如圖，小華從點A出發(fā)，沿直線前進10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進10米，又向左轉(zhuǎn)24°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走的路程是（ ）。

A.140米 B.150米 C.160米 D.240米

【解析】由條件可知，小華轉(zhuǎn)過的角度就是360°，即運動路線構(gòu)成了多邊形，其外角和等于360°。由于他每次左轉(zhuǎn)24°，即為所形成的多邊形的每個外角度數(shù)，所以這個多邊形的邊數(shù)為360÷24=15，因此，小華需要左轉(zhuǎn)15次才可以回到出發(fā)點，所以他共走了150米。選B。

【點評】本題把多邊形的外角度數(shù)與實際問題相結(jié)合，解決小華所走的路程問題。解答時，同學(xué)們需要靈活地把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中城南校區(qū)）