“以形解數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

河南省焦作市解放區(qū)實驗學(xué)校 劉媛媛

“以形解數(shù)”是“數(shù)形結(jié)合”思想中的一個重要方面，在小學(xué)數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中應(yīng)用較為廣泛。在教學(xué)過程中，如果能夠適時地利用直觀的“形”來幫助學(xué)生理解抽象的“數(shù)”，使抽象問題形象化、復(fù)雜問題簡單化，就能夠為學(xué)生消除不少學(xué)習(xí)中的困惑，同時促進學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，依據(jù)學(xué)生在不同年齡階段接受能力的差別，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有目的、有計劃、循序漸進地滲透“以形解數(shù)”思想和方法，充分發(fā)揮“以形解數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，提高教育教學(xué)質(zhì)量。

一、啟蒙階段——適時滲透“以形解數(shù)”

小學(xué)低年級階段是學(xué)生認(rèn)識“以形解數(shù)”的初級階段，也是進行“以形解數(shù)”教學(xué)的重要階段。直觀的“形”無處不在且呈現(xiàn)方式多種多樣，有水果、蔬菜、玩具和文具等各種實物；有小棒、計數(shù)器等各種學(xué)具；還有數(shù)線、點子圖等直觀模型。這些直觀的“形”在幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)、比較數(shù)的大小、體會有關(guān)數(shù)學(xué)概念、理解有關(guān)算理等方面發(fā)揮了巨大的作用，同時也促進了學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展。教師在這個階段要有意識地把“形”融入數(shù)學(xué)知識教學(xué)中，使學(xué)生初步感知“形”的存在。

1.將“形”滲透在數(shù)的認(rèn)識教學(xué)中。以數(shù)的認(rèn)識教學(xué)為例，教材為學(xué)生提供了小棒圖、計數(shù)器圖、方塊圖、數(shù)線等圖形作為輔助學(xué)習(xí)的工具，并在教學(xué)安排方面做了系統(tǒng)設(shè)計。例如：在一年級學(xué)習(xí)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，以數(shù)小棒為主鼓勵學(xué)生借助實物認(rèn)識數(shù)，同時以計數(shù)器、數(shù)線為輔助工具，幫助學(xué)生加深對數(shù)位、數(shù)的大小的理解。在二年級下冊第三單元“生活中的大數(shù)”的教學(xué)中，教材利用計數(shù)器幫助學(xué)生體會位值概念和“滿十進一”的道理，借助“方塊”圖這一直觀的“形”幫助學(xué)生體會一千有多大：十“個”小正方體組成一“條”表示十；十“條”組成一“片”表示一百；十“片”組成一“塊”表示一千。這樣形象直觀地讓學(xué)生感受到了一千有多大，恰到好處地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

2.將“形”滲透在數(shù)的運算教學(xué)中。小學(xué)階段數(shù)的運算主要是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除以及四則混合運算。在整數(shù)的相關(guān)運算中，教師教學(xué)計算方法多采用點子圖、計數(shù)器、數(shù)線等形式幫助學(xué)生理解算理。例如，在“20以內(nèi)的加減法”教學(xué)中，教材引入了小棒和計數(shù)器教學(xué)。在進行“100以內(nèi)加、減法”的教學(xué)時，又多次使用了數(shù)線這一直觀圖形。由于數(shù)線中每一小格代表的數(shù)值不同，在表述較大數(shù)的加、減運算過程時就會很方便。二年級上冊“長頸鹿與小鳥”一課，在探索如何計算“42÷6”時，教材除了介紹用口訣求商的方法，還呈現(xiàn)了圈點子圖、畫數(shù)線圖的思考方法（如下圖）。這樣不僅有利于學(xué)生對算理的理解，還有利于溝通除法與減法、除法與乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.將“形”滲透在理解數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中。有時候略微復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系令學(xué)生難以理解，如果能借助于“形”，數(shù)量關(guān)系一目了然。例如在解決“雞有45只，鴨的只數(shù)是雞的5倍，鵝的只數(shù)是鴨的2倍，鵝有多少只？”這樣的問題時，就可以引導(dǎo)學(xué)生畫出條形圖幫助理解題意，理清三者之間的數(shù)量關(guān)系。雞是單倍量，畫出一個小長方形表示雞的數(shù)量；再畫出表示“鴨是雞的5倍”的長方形；最后畫出表示“鵝是鴨的2倍”的條形圖（如下圖）。這樣借助“形”很輕松地幫助學(xué)生理解雞、鴨、鵝之間的倍數(shù)關(guān)系，列出連乘算式解決問題。

4.將“形”滲透在解決問題教學(xué)中。一年級教學(xué)中有道習(xí)題“在隊伍中從前面數(shù)小華排第3，從后面數(shù)小華排第4，這條隊伍一共有多少人？”如果只看信息中的數(shù)據(jù)，學(xué)生很容易就列式3＋4＝7（人），這時教師如果引導(dǎo)學(xué)生畫圖○○△○○○，用△表示小華，那么問題就化難為易，學(xué)生很容易明白多算了一次小華，應(yīng)該是3＋4－1＝6（人），得出正確答案。分析問題時采用○或△等圖形來代替實物，可以使抽象的代數(shù)知識形象化、簡單化，更易于學(xué)生理解。

二、形成階段——適時揭示“以形解數(shù)”

滲透“以形解數(shù)”思想是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的基礎(chǔ)，隨著年級的逐步深入，學(xué)生積累的相關(guān)的知識經(jīng)驗增加了。當(dāng)“滲透”到一定程度時，教師就可以適時揭示“以形解數(shù)”這一思想方法的內(nèi)涵，使學(xué)生對這一思想有初步理解，這是學(xué)生理性認(rèn)識的開始。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常遇到比較典型的數(shù)學(xué)案例，對于掌握這些知識，不少學(xué)生存在著盲區(qū)，如果教師幫助學(xué)生加以分析，借助“形”來揭示其中的道理，就能使問題迎刃而解。

案例1：在講解小數(shù)意義時，將組成小數(shù)的每一部分分解成若干個面積圖形。在操作時，讓學(xué)生把畫有100個小方格的正方形紙按照10個一條的要求剪成10條（每條表示0.1），再讓學(xué)生把其中的1條剪成10個小正方形（每個小正方形表示0.01）。兩人一組開展活動，一個學(xué)生說出小數(shù)，另一個學(xué)生將圖形擺出來；也可以一個學(xué)生先將圖形擺出來，讓另一個學(xué)生說出小數(shù)。這時教師一定要放慢節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)換的方法，感受“以形解數(shù)”思想的直觀與便捷。

案例2：在教學(xué)整數(shù)乘除法的計算方法時，采用以點子圖為主、示意圖為輔的教學(xué)模式。以三年級上冊“螞蟻做操”一課為例，這節(jié)課主要探索并掌握兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的計算方法。在教學(xué)時將情景圖中的一只只螞蟻抽象成一個個的點，形成點子圖。借助點子圖這一直觀圖形，幫助學(xué)生更好地理解乘法豎式的計算過程和算理。（如圖）

三、應(yīng)用階段——強化升華“以形解數(shù)”

美國心理學(xué)家斯金納說過：“行為之所以發(fā)生改變，是由于強化的作用?！睂W(xué)生獲取有效的學(xué)習(xí)離不開強化訓(xùn)練。當(dāng)然，強化并不等同于機械性練習(xí)。

到了小學(xué)高年級，教師有意識地強化應(yīng)用“以形解數(shù)”這一思想方法，啟發(fā)學(xué)生去思考、發(fā)現(xiàn)，找出一般規(guī)律之后通過歸納、總結(jié)得到認(rèn)識升華。此時，學(xué)生不僅知道用什么“形”去解決問題，還能在此基礎(chǔ)上逐步學(xué)會靈活運用。例如一道六年級的典型習(xí)題：“一杯橙汁，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，這樣每次都喝了上次剩下的一半，六次一共喝了多少橙汁？”，此題可以直接計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64即為所求,只是計算起來頗為麻煩。這時如果啟發(fā)學(xué)生先畫一個正方形，假設(shè)這個正方形就是一杯橙汁，那么由下圖可知1-1/64即為所求，借助圖形，學(xué)生一看即知。

綜上所述，“以形解數(shù)”是一種思想方法，想把它真正地納入到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，需要一個循序漸進的過程。通過采用“滲透———揭示———強化”三部曲的漸進式教學(xué)過程，讓學(xué)生逐步感知、理解“以形解數(shù)”思想，并逐步學(xué)會靈活運用“以形解數(shù)”思想方法解決實際問題，是我們教育科學(xué)研究的目的。