，，，，

(1.空軍工程大學(xué)，西安 710051； 2.飛行器控制一體化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 中航工業(yè)自控所，西安 710065)

0 引言

遙感成像是一種重要的對(duì)地信息測(cè)量手段，具有平臺(tái)高、視域廣、可連續(xù)成像等特點(diǎn)，多年來(lái)，其理論與技術(shù)在國(guó)際上不斷得到完善和突破，被廣泛應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測(cè)、資源勘探、災(zāi)害預(yù)報(bào)、軍事偵察等重要領(lǐng)域。隨著時(shí)代的發(fā)展，信息獲取的需求對(duì)遙感成像提出了越來(lái)越高的要求，使得遙感成像向著多光譜、大視場(chǎng)、高分辨率等方向迅速發(fā)展。然而，由此產(chǎn)生的龐大數(shù)據(jù)量，給數(shù)據(jù)處理和實(shí)時(shí)傳輸造成巨大壓力，在很大程度上限制了遙感成像的性能及進(jìn)一步發(fā)展。

壓縮感知[1-2](Compressive Sensing, CS)是近年來(lái)提出的一種新型信息論，該理論以信號(hào)的稀疏性為先驗(yàn)，通過(guò)采集遠(yuǎn)少于信號(hào)本身數(shù)據(jù)量的投影值，然后利用非線性的重構(gòu)算法精確恢復(fù)原始信號(hào)。該理論實(shí)現(xiàn)了在采樣的同時(shí)完成數(shù)據(jù)壓縮，能夠很好地解決提高采樣率和舍棄冗余數(shù)據(jù)之間的矛盾，在遙感成像領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。信號(hào)的稀疏重構(gòu)[3-4]是壓縮感知的核心內(nèi)容之一，也是壓縮感知由理論轉(zhuǎn)化為應(yīng)用的關(guān)鍵步驟。受稀疏重構(gòu)算法無(wú)法精確求解的限制，當(dāng)前多數(shù)重構(gòu)算法均采用了近似求解的方式，使得原始圖像與重構(gòu)圖像之間存在一定程度的誤差。因此，遙感圖像稀疏重構(gòu)性能的優(yōu)劣直接決定了壓縮感知理論能否在遙感成像中的應(yīng)用。

本文首先針對(duì)稀疏重構(gòu)模型和求解方式，分析了稀疏重構(gòu)誤差的理論來(lái)源；接著，針對(duì)光學(xué)遙感圖像分析了圖像重構(gòu)誤差產(chǎn)生機(jī)理，并給出了圖像重構(gòu)誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)；最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，考察了在不同壓縮采樣率、不同重構(gòu)算法下遙感圖像重構(gòu)性能。

1 稀疏重構(gòu)誤差分析

一般地，離散信號(hào)x在正交基Ψ上可以稀疏表示為:

x=Ψα

(1)

其中:α為稀疏表示系數(shù)，如果系數(shù)α中有K個(gè)較大或非零值，那么x即為K階稀疏信號(hào)。壓縮感知的主要過(guò)程是通過(guò)一個(gè)M×N的測(cè)量矩陣Φ對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，滿足M?N，得到低維測(cè)量值y，即:

y=Φx

(2)

稀疏重構(gòu)是從壓縮數(shù)據(jù)y恢復(fù)原始信號(hào)x的過(guò)程，也就是:

(3)

理論上，式(3)是一個(gè)欠定稀疏優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)法得到精確解析結(jié)果，需要針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題尋求近似解法，并在近似求解過(guò)程中產(chǎn)生重構(gòu)誤差。目前，稀疏重構(gòu)算法主要分為兩大類：凸優(yōu)化類算法[5]和貪婪類算法[6]。凸優(yōu)化算法是將式的l0范數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)進(jìn)行求解，即

(4)

同時(shí)，在求解過(guò)程中，將約束條件轉(zhuǎn)化為懲罰項(xiàng)，構(gòu)造非約束優(yōu)化問(wèn)題，即:

(5)

以Bregman迭算法為例，式(5)的優(yōu)化求解方法如下。

Bregman算法流程:

輸入：測(cè)量矩陣Φ，測(cè)量值y，稀疏度K；

Step1：定義x和z點(diǎn)之間的Bregman距離為:

Step2：求解優(yōu)化問(wèn)題:

考慮l1范數(shù)是最接近l0范數(shù)的凸函數(shù)，因此使用l1范數(shù)替代l0范數(shù)進(jìn)行求解是一種常用的方法。然而，這種方法得到的最優(yōu)解x*是l1范數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，該結(jié)果雖然能夠很好地逼近x*→x，但理論上仍然存在一定程度的重構(gòu)誤差。

貪婪算法是根據(jù)匹配追蹤的思想，迭代地從稀疏字典中選擇原子，同時(shí)計(jì)算相應(yīng)的表示系數(shù)，通過(guò)局部?jī)?yōu)化依次找到最優(yōu)解，即將式轉(zhuǎn)化為近似求解形式:

(6)

以正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)為例，式(6)的近似求解方法如下。

OMP算法流程:

輸入：測(cè)量矩陣Φ，測(cè)量值y，稀疏度K；

初始化：索引集Γ0=φ，支撐集ΦΓ0=φ，殘差值r0=y，迭代次數(shù)n=1；

Step1：計(jì)算殘差與測(cè)量矩陣內(nèi)積gn=ΦTrn-1；

Step3：更新索引集Γn=Γn-1∪{k}，同時(shí)更新支撐集ΦΓn=ΦΓn-1∪{φk}；

2 圖像誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)

(7)

其中，函數(shù)diff(α,β)尋求α與β之間的差別。

(8)

該指標(biāo)反映了稀疏重構(gòu)圖像對(duì)原始圖像的逼近程度，PSNR值越大，重構(gòu)誤差越小，重構(gòu)圖像就越接近原始圖像。

同時(shí)，對(duì)于相同圖像，稀疏重構(gòu)誤差的大小主要與算法類別和壓縮采樣率有關(guān)?？紤]不同算法類別，在凸優(yōu)化類和貪婪類算法中，各選取兩種較為典型的方法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，考察壓縮感知稀疏重構(gòu)對(duì)遙感圖像質(zhì)量的影響。其中，凸優(yōu)化類算法選擇內(nèi)點(diǎn)法[7](Interior Point Method, IPM)和Bregman迭代[8]算法；貪婪類算法選擇OMP算法[9-10]和稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法[11](Sparsity Adaptive MP, SAMP)。

定義壓縮采樣率η為壓縮測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量次數(shù)m與原始圖像規(guī)模n的比值:

η=m/n

(9)

其中:n=M×N。理論上，壓縮采樣率越高，對(duì)原始圖像的信息獲取程度越高，稀疏重構(gòu)結(jié)果就越接近原始圖像。對(duì)所實(shí)現(xiàn)的4種典型算法，考察各算法在不同壓縮采樣率下遙感圖像的重構(gòu)誤差。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

針對(duì)壓縮感知的三個(gè)要素，即稀疏表示、壓縮測(cè)量和稀疏重構(gòu)，分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。首先，構(gòu)造離散余弦變換(Discrete Cosine Transform, DCT)基作為稀疏表示基Ψ，針對(duì)圖尺寸為256×256和1024×1024的遙感圖像，分別生成相應(yīng)大小的DCT稀疏表示基，如圖1所示。理論上，不同尺寸的稀疏基對(duì)相應(yīng)尺寸圖像的稀疏表示能力相同。

圖1 不同尺寸DCT稀疏表示基

其次，構(gòu)造壓縮測(cè)量矩陣，選擇Toeplitz循環(huán)矩陣作為實(shí)驗(yàn)測(cè)量矩陣，圖2顯示了一個(gè)尺寸為64×256的測(cè)量矩陣，其能夠?qū)σ?guī)模是256的信號(hào)實(shí)現(xiàn)25%的壓縮采樣率。

圖2 Toeplitz循環(huán)測(cè)量矩陣

最后，分別實(shí)現(xiàn)IPM、Bregman、OMP和SAMP 4種稀疏重構(gòu)算法，完成壓縮感知整個(gè)過(guò)程，并重點(diǎn)評(píng)價(jià)4種算法下遙感圖像的稀疏重構(gòu)效果。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取256×256低分辨率均勻場(chǎng)景遙感圖像以及1024×1024高分辨率復(fù)雜場(chǎng)景遙感圖像共50幅，組成圖像庫(kù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)仿真，圖3顯示了不同類型的遙感圖像。

針對(duì)每幅圖像，分別選取20%、30%、40%和50%的壓縮采樣率，逐一進(jìn)行壓縮感知并完成不同算法下的稀疏重構(gòu)。為了更好地顯示圖像重構(gòu)誤差，選擇較低壓縮采樣率20%，以圖3(a)所示遙感圖像為例，在4種算法下的重構(gòu)圖像如圖4所示。

圖4 不同算法下稀疏重構(gòu)遙感圖像

可以看到，在較低壓縮采樣率下，凸優(yōu)化類算法(IPM和Bregman)對(duì)遙感圖像的重構(gòu)質(zhì)量總體上優(yōu)于貪婪類算法(OMP和SAMP)，其重構(gòu)圖像細(xì)節(jié)更加接近原始圖像；而兩種貪婪算法重構(gòu)圖像中，對(duì)圖像細(xì)節(jié)的還原程度相對(duì)較低。這是由于凸優(yōu)化類算法的優(yōu)化模型使得結(jié)果能夠更加接近原始圖像，而貪婪類算法則以匹配追蹤的方式得到了局部最優(yōu)解，因此存在相對(duì)更大的重構(gòu)誤差。

統(tǒng)計(jì)圖像庫(kù)中所有圖像在IPM、Bregman、OMP和SAMP四種算法中不同壓縮采樣率下的算法平均運(yùn)行時(shí)間，其中高分辨率圖像截取與低分辨率相同數(shù)據(jù)量進(jìn)行時(shí)間平均計(jì)算，結(jié)果如表1所示。結(jié)果表明，凸優(yōu)化類算法較貪婪類算法需要更長(zhǎng)的重構(gòu)時(shí)間。其中，在不同壓縮采樣率下，IPM算法運(yùn)行時(shí)間保持在10 s左右，而Bregman算法隨著壓縮采樣率的提高，運(yùn)行時(shí)間由17.58 s減少到11.83 s，這是由于更多的采樣數(shù)據(jù)加快了算法的迭代收斂速度。相對(duì)而言，貪婪類算法的運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)低于凸優(yōu)化類算法，隨著采樣率的提高，OMP算法的運(yùn)行 時(shí)間由0.64 s增加到3.16 s，而SAMP算法的運(yùn)行速度更快，在所選擇的采樣率下，普遍保持在1 s以內(nèi)。

表1 算法運(yùn)行時(shí)間比較 s

統(tǒng)計(jì)圖像在不同重構(gòu)算法和不同壓縮采樣率下的圖像重構(gòu)誤差，計(jì)算相應(yīng)的PSNR值，并降序排列結(jié)果，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 IPM算法圖像重構(gòu)PSNR值

圖6 Bregman算法圖像重構(gòu)PSNR值

圖7 OMP算法圖像重構(gòu)PSNR值

圖8 SAMP算法圖像重構(gòu)PSNR值

結(jié)果表明，對(duì)比4種不同的稀疏重構(gòu)算法，凸優(yōu)化類算法對(duì)遙感圖像的稀疏重構(gòu)效果整體上優(yōu)于貪婪類算法。其中，IPM和Bregman算法重構(gòu)效果較為接近，各壓縮采樣率下的圖像平均PSNR值保持在3 dB以內(nèi)；OMP算法重構(gòu)效果相對(duì)差，隨著壓縮采樣率的降低，圖像重構(gòu)PSNR值下降較快，SAMP算法優(yōu)于OMP算法，各壓縮采樣率下的圖像平均PSNR值高約5～6 dB。

總體上，凸優(yōu)化算法計(jì)算精度較高、重構(gòu)誤差小，但計(jì)算復(fù)雜度較大，當(dāng)信號(hào)規(guī)模較大時(shí)，數(shù)據(jù)處理時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。貪婪算法計(jì)算復(fù)雜度較低且容易實(shí)現(xiàn)，但重構(gòu)精度不高，在壓縮采樣率不足時(shí)導(dǎo)致圖像重構(gòu)誤差較大。

在相同的算法下，圖像重構(gòu)質(zhì)量隨著壓縮采樣率的增加而提高，表明增加壓縮采樣率能夠很大程度上提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。此外，在較低壓縮比20%時(shí)，凸優(yōu)化類算法對(duì)遙感圖像重構(gòu)PSNR保持在20 dB以上，而貪婪算法的為15 dB以上，并且通過(guò)增加壓縮采樣率，可以進(jìn)一步提升稀疏重構(gòu)性能，在一定程度上驗(yàn)證了稀疏重構(gòu)在遙感成像中應(yīng)用的可行性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)壓縮感知稀疏重構(gòu)對(duì)遙感圖像的影響進(jìn)行了研究，定量分析了在不同壓縮采樣率、不同重構(gòu)算法下的遙感圖像稀疏重構(gòu)效果。結(jié)果表明，在所選取的20%、30%、40%和50%的較低壓縮采樣率下，4種重構(gòu)算法對(duì)遙感圖像均能夠成功重構(gòu)，并實(shí)現(xiàn)了較好的重構(gòu)效果。同時(shí)，隨著采樣率的提升，各算法均能夠在很大程度上提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。結(jié)論成功驗(yàn)證了遙感圖像稀疏重構(gòu)的可行性，為壓縮感知理論在遙感領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用，以及遙感壓縮成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了實(shí)踐基礎(chǔ)。