不同角度深入分析“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻系統(tǒng)誤差

北京市第九中學(xué)高中部(100041) 李 學(xué) 錢莉莉 辛采奕

1 問題的提出

“恒流半偏法與恒壓半偏法測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析”是一個(gè)老生常談的問題，各類文獻(xiàn)對(duì)于“恒流半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析的頭頭是道，清晰明了。然而，對(duì)于“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析卻主要是定性分析，少有的幾篇定量分析文章或語焉不詳，一帶而過；或晦澀難懂，不明所以。

2 “恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析

“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)原理圖一般如圖1所示。實(shí)驗(yàn)操作步驟為：首先閉合開關(guān)S2，將滑動(dòng)變阻器R0的滑片P滑到最左邊a端。然后閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R0的滑片P的位置，使電壓表指針滿偏。保持滑動(dòng)變阻器R0的滑片P的位置不變，斷開開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，使電壓表指針半偏。記下此時(shí)電阻箱R的阻值，則認(rèn)為此時(shí)電阻箱的阻值等于電壓表的內(nèi)阻RV。

圖1 恒壓半偏法實(shí)驗(yàn)原理圖

實(shí)驗(yàn)中認(rèn)為電壓表先滿偏再半偏是因?yàn)殡娮柘銻分走一半電壓，電阻箱R與電壓表串聯(lián)，兩者電壓比1∶1，所以電阻箱R的電阻等于電壓表的內(nèi)阻RV。但是實(shí)際上，斷開開關(guān)S2，將電阻箱R與電壓表串聯(lián)后，滑動(dòng)變阻器aP間的電壓變大，電壓表半偏分得原電壓的一半，電阻箱R分得的電壓大于原電壓的一半，電阻箱R的電阻大于電壓表的內(nèi)阻RV。也就是說，實(shí)驗(yàn)中將電阻箱R與電壓表串聯(lián)后，滑動(dòng)變阻器aP間的電壓發(fā)生了變化，而不是所謂的“恒壓”，由此引入了系統(tǒng)誤差。

設(shè)滑動(dòng)變阻器aP間的電阻為R1，Pb間的電阻為R2，總電阻R0=R1+R2，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，電壓表滿偏電壓為UV，內(nèi)阻為RV，則根據(jù)閉合電路歐姆定律有：

滿偏時(shí):

(1)

半偏時(shí)：

(R2+r)

(2)

由(1)(2)兩式得電阻箱阻值：

(3)

相對(duì)誤差：

(4)

若是運(yùn)用等效電源法，則此結(jié)果的推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單直接，圖1所示電路可以等效為如圖2所示電路，虛線框內(nèi)的等效電源的等效內(nèi)阻為：

(5)

滿偏時(shí)：

(6)

半偏時(shí)：

(7)

由(6)(7)兩式得電阻箱阻值

R=RV+r′

(8)

相對(duì)誤差：

(9)

運(yùn)用等效電源法的分析結(jié)果式(9)與前面分析結(jié)果式(4)保持一致，從運(yùn)算方面看更為簡(jiǎn)單直接，但是需要理解等效電源原理。

圖2 恒壓半偏法等效電路

3 “恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻相對(duì)誤差的不同角度分析

相對(duì)誤差δ的表達(dá)式(4)較為復(fù)雜，從表達(dá)式可以看出，在RV確定的情況下，相對(duì)誤差δ既與滑動(dòng)變阻器的總電阻R0有關(guān)，又與R1、R2有關(guān)(即與滑片P所處的位置有關(guān))，表達(dá)式不能直接顯示出相對(duì)誤差δ與電源電動(dòng)勢(shì)E的關(guān)系，但是滑片P的位置卻跟滿偏電壓UV與電源電動(dòng)勢(shì)E的比例有關(guān)。

3.1 相對(duì)誤差δ表達(dá)式(4)的均值不等式處理

對(duì)式(4)采用均值不等式進(jìn)行處理如下：

(10)

3.2 用分壓電路的分壓特性曲線分析相對(duì)誤差δ

圖3 輸出電壓U與R1/R0的關(guān)系

3.3 對(duì)相對(duì)誤差δ表達(dá)式(4)進(jìn)行函數(shù)處理

相對(duì)誤差δ的表達(dá)式(4)可以變形為

(11)

圖4 δ關(guān)于R1的函數(shù)圖像

4 分析結(jié)論、拓展性思考與佐證

4.1 分析結(jié)論

以上3種分析方法都可以得到相同的結(jié)論：要減小“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻相對(duì)誤差δ，首先要保證滑動(dòng)變阻器R0盡量小，在R0盡量小的前提下，還需要注意滿偏電壓UV與電源電動(dòng)勢(shì)E的比例關(guān)系，取E?UV，使滑片P趨近a端，R1→0，如圖5(a)所示；或者取E略大于UV，使滑片P趨近b端，R1→R0，如圖5(b)所示。

(a)取E?UV,R1→0

(b)取E≈UV,R1→R0圖5 滑動(dòng)變阻器滑片的位置

4.2 拓展性思考

圖5(a)與圖5(b)所示的兩種做法雖然都能更好的減小相對(duì)誤差δ，但是從功耗方面看，兩者大不一樣。顯然，圖5(a)所示做法的功耗更大，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)還需要注意不能超過滑動(dòng)變阻器的額定電流值，在實(shí)驗(yàn)時(shí)R1不能趨于0。

圖6 P移至b端時(shí)的等效電路

圖7 不使用滑動(dòng)變阻器

4.3 高考真題佐證

以對(duì)中學(xué)一線教學(xué)起“指揮棒”作用的高考真題來說明問題，或許更有說服力。經(jīng)過查閱統(tǒng)計(jì)2014～2018近5年的高考試題，發(fā)現(xiàn)“恒壓半偏法”共出現(xiàn)3次，分別是2014年安徽卷、2015年全國(guó)Ⅱ卷和2016年全國(guó)Ⅱ卷，具體題目如下(部分內(nèi)容有刪減)。

(2014年安徽卷第21題)某同學(xué)為了測(cè)量一個(gè)量程為3 V的電壓表的內(nèi)阻，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：

圖8 2014年安徽卷第21題電路圖

(1)他先用多用電表進(jìn)行了正確的測(cè)量，得出電壓表內(nèi)阻為3.00×103Ω。

(2)為了更準(zhǔn)確地測(cè)量該電壓表的內(nèi)阻RV，該同學(xué)按照正確的“半偏法”實(shí)驗(yàn)步驟，先使電壓表滿偏再半偏，將電阻箱R0的阻值記為電壓表內(nèi)阻RV的測(cè)量值。

實(shí)驗(yàn)中可供選擇的實(shí)驗(yàn)器材有：

a．待測(cè)電壓表

b．滑動(dòng)變阻器：最大阻值2 000 Ω

c．滑動(dòng)變阻器：最大阻值10 Ω

d．電阻箱：最大阻值9 999.9 Ω，阻值最小該變量為0.1 Ω

e．電阻箱：最大阻值999.9 Ω，阻值最小該變量為0.1 Ω

f．電池組：電動(dòng)勢(shì)約6 V，內(nèi)阻可忽略

g．開關(guān)，導(dǎo)線若干

按照這位同學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案，回答下列問題：

(1)要使測(cè)量更精確，除了選用電池組、導(dǎo)線、開關(guān)和待測(cè)電壓表外，還應(yīng)從提供的滑動(dòng)變阻器中選用，電阻箱中選用。

(2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題)某同學(xué)用“半偏法”測(cè)量電壓表的內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)器材如下：

圖9 2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題電路圖

待測(cè)電壓表V(量程3 V，內(nèi)阻約為3 000 Ω)，電阻箱R0(最大阻值為99 999.9 Ω)，滑動(dòng)變阻器R1(最大阻值100 Ω，額定電壓2 A)，電源E(電動(dòng)勢(shì)6 V，內(nèi)阻不計(jì))，開關(guān)2個(gè)，導(dǎo)線若干

(1)將虛線框內(nèi)電路圖補(bǔ)充完整；

(2)根據(jù)設(shè)計(jì)的電路寫出步驟；

(3)將這種方法測(cè)出的電壓表內(nèi)阻記為R測(cè)與內(nèi)阻的真實(shí)值RV相比，R測(cè)____RV，理由是______。

(2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題)某同學(xué)用如圖所示電路測(cè)量量程為2.5 V的電壓表V的內(nèi)阻(內(nèi)阻為數(shù)千歐姆)，可供選擇的器材有：電阻箱R(最大阻值99 999.9 Ω)，滑動(dòng)變阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑動(dòng)變阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流電源E(電動(dòng)勢(shì)3 V)，開關(guān)1個(gè)，導(dǎo)線若干。

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖10 2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題電路圖

(1)按電路原理圖連接線路；

(2)將電阻箱阻值調(diào)節(jié)為0，將滑動(dòng)變阻器的滑片移到與圖中最左端所對(duì)應(yīng)的位置，閉合開關(guān)S；

(3)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器使電壓表滿偏；

(4)保持滑動(dòng)變阻器的滑片位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱阻值，使電壓表的示數(shù)為2.00 V，記下電阻箱的阻值。

回答下列問題：

(1)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)選擇滑動(dòng)變阻器________；

(2)根據(jù)圖示電路連線實(shí)物圖；

(3)實(shí)驗(yàn)步驟(4)中記錄的電阻箱阻值為630.0 Ω，若認(rèn)為調(diào)節(jié)電阻箱時(shí)滑動(dòng)變阻器上的分壓不變，計(jì)算可得電壓表的內(nèi)阻為________Ω。

縱觀以上3道高考真題，2014年安徽卷第21題與2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題都通過比較電壓表內(nèi)阻的測(cè)量值R測(cè)和真實(shí)值R真的大小，定性考查了“恒壓半偏法”的系統(tǒng)誤差，2014年安徽卷第21題還通過選擇不同阻值的滑動(dòng)變阻器考查了如何減小“恒壓半偏法”的系統(tǒng)誤差。需要指出的是這兩道題使用的實(shí)驗(yàn)器材都是量程為3 V的電壓表和電動(dòng)勢(shì)約6 V內(nèi)阻可忽略的電源，沒有避開E≈2UV的比例關(guān)系，由前面分析可知，此種情況下的相對(duì)誤差是滑動(dòng)變阻器確定條件下的最大值，兩題的相對(duì)誤差分別為0.08%和0.83%(兩題只有滑動(dòng)變阻器最大阻值相差10倍，最大相對(duì)誤差相差10倍)，雖然相對(duì)誤差都比較小，但是兩題給出的電源內(nèi)阻都忽略不計(jì)，如果采用“直連法”則兩題相對(duì)誤差都為0。2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題改用“恒壓五分之四偏法”，其系統(tǒng)誤差與“恒壓半偏法”保持一致，本題同樣通過選擇不同阻值的滑動(dòng)變阻器考查了如何減小系統(tǒng)誤差。有意思的是，2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題使用的實(shí)驗(yàn)器材改為量程2.5 V的電壓表和電動(dòng)勢(shì)3 V的電源，相比前兩題，既避開了E≈2UV的比例關(guān)系，又不提電源內(nèi)電阻，避開了與“直連法”孰優(yōu)孰劣的爭(zhēng)議。

綜上可知，從實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差的角度看，“直連法”比“恒壓半偏法”的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差更??；從實(shí)驗(yàn)電路的復(fù)雜性看，“直連法”實(shí)驗(yàn)電路更加簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)誤差分析更為方便，功耗更小。但是，“恒壓半偏法”因?yàn)榕c“恒流半偏法”相對(duì)應(yīng)，能對(duì)比學(xué)習(xí)“恒流半偏法”，能更好的幫助學(xué)生理解“限流”與“分壓”電路，所以在一線教學(xué)中幾乎是必講內(nèi)容，在各類教輔資料中更是頻頻出現(xiàn)，而電路簡(jiǎn)單測(cè)量誤差又小的“直連法”反而出現(xiàn)頻次較低，容易被忽視，理應(yīng)引起一線教師的注意。