蘇 程， 葉佳楠， 李 巍， 丁旺才， 趙志剛

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院， 蘭州 730070)

用小型吊運設(shè)備組合形成一個大負(fù)載緊耦合多機聯(lián)合吊運系統(tǒng)，從實用性、經(jīng)濟性等方面考慮都是值得期待的.為了使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，一般情況下該類緊耦合系統(tǒng)為典型的欠約束定位系統(tǒng).可應(yīng)用于戰(zhàn)時橋梁的快速架設(shè)，以及民用橋梁的分段精確定位架接等.從類型上講，多機協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運系統(tǒng)屬于柔索并聯(lián)機器人系統(tǒng)，但與傳統(tǒng)意義柔索并聯(lián)機器人又有很大的區(qū)別，后者將柔索的一端固定做成特定的運動機構(gòu)，通過調(diào)整柔索長度以實現(xiàn)被吊運物的期望運動位姿，其本質(zhì)是一個單體機器人，故系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可重組性、通用性和模塊化顯得不足.多機協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運系統(tǒng)是由模塊化串聯(lián)吊運機構(gòu)組成，模塊化串聯(lián)吊運機構(gòu)可以是飛行機器人、工業(yè)機器人和常規(guī)起重設(shè)備等.欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)通過調(diào)整串聯(lián)吊運機器人機構(gòu)末端位置和柔索長度實現(xiàn)被吊運物的位姿，故欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)具有很大的靈活性、通用性和工作空間.

目前國內(nèi)外關(guān)于欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)的研究剛剛起步，柔索并聯(lián)機器人的研究成果可為該類多機器人系統(tǒng)的研究提供有價值的借鑒.欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)的一個主要研究方向是利用多架無人直升機來實現(xiàn)三維空間吊運操作.有許多學(xué)者探討了多直升機吊運系統(tǒng)的運動學(xué)、動力學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)的空間配置及穩(wěn)定性[1-5].

另一個研究方向為多地面機器人系統(tǒng)對物體的吊運操作.Zi等[6]建立了3臺起重機吊運一個重物的運動學(xué)和動力學(xué)模型，并分析了其工作空間，但只考慮了起重機末端的投影點始終保持正三角形的情況，且僅能變化繩長來改變重物姿態(tài)，起重機的末端是固定不動的，這種情況下多機系統(tǒng)與單體繩牽引并聯(lián)機器人類似.也有學(xué)者應(yīng)用運動旋量斜率對多機器人吊運系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性進行了研究[7].近年來趙志剛等[8-12]建立了多機協(xié)調(diào)并聯(lián)吊運系統(tǒng)的正逆運動學(xué)、動力學(xué)模型，并探討各種構(gòu)型下系統(tǒng)的求解方法，同時分析求解了系統(tǒng)的靜態(tài)工作空間.

對于欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)來說，動力學(xué)工作空間可以拓寬系統(tǒng)的運動范圍，到達一些特定的位姿，故研究系統(tǒng)的動力學(xué)工作空間是非常有必要的.動力學(xué)工作空間是指被吊運物滿足動力學(xué)方程時，被吊運物質(zhì)心所在的空間位姿的集合.文獻[13]中利用Farkas和Stiemke引理對不完全約束和完全約束兩類繩牽引并聯(lián)機器人工作空間的邊界進行了研究，其在仿真過程中，固定了參數(shù)值，這樣只給出了二維的層圖.本文將在其基礎(chǔ)上，利用Farkas和Stiemke引理，求解前人研究較少的欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)的動力學(xué)工作空間，同時利用蒙特·卡羅方法，數(shù)值求解得到系統(tǒng)動力學(xué)工作空間的整體效果圖.

圖1 系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of system

1 系統(tǒng)動力學(xué)建模

圖1所示為m臺吊機通過繩索牽引n自由度被吊運物的示意圖.圖中，每個吊機末端通過一根繩索與被吊運物連接.繩索與吊機末端的連接點為Pm，可通過改變連接點Pm的位置和改變繩長來實現(xiàn)被吊運物的位姿變化.繩索與被吊運物的連接點為Bm.

建立全局坐標(biāo)系O-XYZ，在被吊運物質(zhì)心上建立局部坐標(biāo)O′-X′Y′Z′.被吊運物質(zhì)心O′在全局坐標(biāo)系O-XYZ的位置為

r=[xyz]T

(1)

設(shè)被吊運物的質(zhì)量為M，重力加速度為g，則重力用零節(jié)距的單位旋量在全局坐標(biāo)系表示為

G=-Mg[ir×i]T,i=[0 0 1]T

(2)

被吊運物在全局坐標(biāo)系的速度和角速度分別為

被吊運物在局部坐標(biāo)系中的慣性矩陣為I，則在全局坐標(biāo)系中的慣性矩陣為

I′=RIRT

(5)

(6)

式中：R為局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；γ、β和α分別為局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的X、Y和Z軸的旋轉(zhuǎn)角度；c和s分別為cos和sin.設(shè)每根繩的張力分別為T1,T2, …,Tm，對被吊運物利用牛頓-歐拉方程可得

(7)

式中：I3為3×3單位矩陣；T=[T1T2…Tm]為m根繩的拉力組成的m維列矩陣.

對式(7)進行變形，則被吊運物的動力學(xué)方程可表示為

AT=C

(8)

式中：C為n維列矩陣，表示作用在被吊運物上的所有外力旋量之和(包括被吊運物的重力、慣性力等)，

(9)

滿足

A=[e1e2…em]∈Rn×m

(10)

矩陣A是由m個旋量ei構(gòu)成，

(11)

li=Pi-RBi-r

(12)

i=1,2,…,m

式中：Pi為機器人位置Pi在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；Bi為繩與被吊運物的連接點Bi在全局坐標(biāo)系下的位置矢量.

2 動力學(xué)工作空間條件分析

首先對m≥1+n時的過約束、完全約束系統(tǒng)和m=n時的不完全約束系統(tǒng)的動力學(xué)工作空間做簡要分析.隨后主要討論m

(1) 當(dāng)m≥1+n時，可利用矢量封閉原理的求解方法，結(jié)合蒙特·卡羅算法隨機產(chǎn)生單個機器人工作范圍內(nèi)的位置坐標(biāo)或者利用掃描法逐行產(chǎn)生單個機器人的位置坐標(biāo).當(dāng)m≥1+n時滿足矢量封閉原理的條件，在結(jié)構(gòu)矩陣A不發(fā)生降秩的條件下，AT=C可以轉(zhuǎn)換成如下形式:

T=A+C+(Im-A+A)k

(13)

式中：A+為結(jié)構(gòu)矩陣A的M-P偽逆；k為m維的任一向量；Im為m×m的單位矩陣.要保證每根繩的拉力Ti都大于零，根據(jù)矩陣的相關(guān)知識，只要式(13)中的右邊第2項足夠大時，就能使T中的每個元素都為正.因此，(I-A+A)中每個元素都為正時，能保證T中的每個元素都為正.

(2) 當(dāng)m=n時，可以將重力看成一根特殊的虛擬繩索，該繩的方向始終為重力方向，拉力大小為重力大小，這樣相當(dāng)于有m+1根繩，使其滿足力封閉條件，這時動力學(xué)方程可變換成：

(14)

式中：j=[0 0 -1 -yx0]T.這樣也可以利用力封閉求解算法，并結(jié)合蒙特·卡羅算法隨機產(chǎn)生單個機器人工作范圍內(nèi)的位置坐標(biāo)或者利用掃描法逐行產(chǎn)生單個機器人的位置坐標(biāo).

(3) 當(dāng)m

由于動力學(xué)方程AT=C的形式滿足動力學(xué)空間的標(biāo)準(zhǔn)是每根繩的拉力都大于零(即T>0)，在研究過程中可以考慮T=0的時候作為工作空間的邊界，所以動力學(xué)工作空間的條件可以表述為

AT=C，T≥0

(15)

本文基于Farkas和Stiemke引理分析欠約束多機器人繩牽引系統(tǒng)的動力學(xué)工作空間條件：

(1) 基于Farkas引理分析.設(shè)A∈Rn×m，C∈Rn，則下面2組關(guān)系式：

有且僅有一組有解.

Farkas引理的幾何解釋是考慮q作為一個分離超平面的法向量，這個超平面分離了2個集合，一個是由A中各個列向量組合而成的凸錐，另外一個是向量C.這個凸錐是A中所有單位旋量ei組成的空間.如果向量C不屬于這個凸錐的空間，則說明這個超平面存在，這樣式(17)有解，也就說明式(16)無解.因此，要使動力學(xué)工作空間的條件成立，即式(16)有解，就必須不能形成分離的超平面.

這其中有一種特殊情況，C位于超平面上，這樣CTq=0，顯然式(17)無解，這樣式(16)也有解.由于q是法向量，是一些向量的叉積而成，不可能為零向量，對于CTq=0，會有2種情況：①C≠0，這樣會導(dǎo)致部分的繩拉力大小為零，可以作為工作空間的邊界.②C=0，零向量必共面，如果C=0，則式(15)變成了如下形式：

AT=0，T≥0

(18)

從式(18)可以看出，總存在一組解T=0使式(18)成立.如果T=0即每根繩的張力都為0，但從實際的角度，不可能每根繩的張力都為0卻能對被吊運物實施牽引運動.因此，式(18)將變成如下形式：

AT=0，T>0

(19)

對于式(19)可以利用Stiemke引理進行分析.

(2) 基于Stiemke引理分析.設(shè)A∈Rn×m，則下面2組關(guān)系式：

有且僅有一組有解.

Stiemke引理的幾何解釋是考慮q作為一個支撐超平面的法向量，使凸錐A位于這個支撐超平面的一邊.如果這個支撐超平面存在，這樣式(21)有解，也就說明式(20)無解.因此，要使動力學(xué)工作空間的條件成立，即式(20)有解，就必須不能形成支撐超平面.

總之，通過對Farkas和Stiemke引理的幾何解釋可以看出，要使達到動力學(xué)工作空間的條件即式(16)或式(20)有解，就不能形成分離超平面或支撐超平面.

3 欠約束系統(tǒng)動力學(xué)工作空間求解

3.1 求解方法

動力學(xué)工作空間的求解方法是先通過動力學(xué)方程組判斷屬于哪類超平面，再利用單位旋量ei通過不同的組合形成待測定的超平面，然后再測試剩余的單位旋量ei和C來判斷待測定的超平面是否是分離超平面或支撐超平面，在測試的過程中需要測試所有可能的組合形式，來排除形成分離超平面或支撐超平面的可能性.具體測試步驟如下：

(1)A是由m個單位旋量ei構(gòu)成，每個單位旋量是一個n維的列向量.由于超平面是n-1維子空間的平移，因此，待測定的超平面由n-1個線性無關(guān)的單位旋量構(gòu)成，超平面的法向量是n-1個單位旋量的叉積，可以表示為

(22)

式中：kn為標(biāo)準(zhǔn)的基向量；ei,j為第i個單位旋量的第j個元素.

(2) 根據(jù)2個引理測試待測定的超平面是不是分離超平面或支撐超平面：

3.2 特殊情況分析

在測試的過程中存在sgn=0的特殊情況，對于Farkas引理，如上述提及的當(dāng)C位于超平面上的情況，這樣sgn(CTq)=0.由于法向量q是n-1個單位旋量的叉積構(gòu)成，同時A中的單位旋量是線性無關(guān)的，所以q不可能為零向量.那么存在sgn=0的特殊情況的原因除了上述提到的C=0時的情況，另一種解釋是C≠0，但位于超平面上，剩余沒有形成q的單位旋量必位于超平面的一邊.由于AT=C，是由單位旋量通過非負(fù)的組合形成C，同時單位旋量不可能為零向量，但是位于超平面一邊的剩余單位旋量非負(fù)組合形成一個向量時不可能與超平面共面，也就不能形成超平面上的C，因此只可能是剩余的單位旋量對應(yīng)的T中部分拉力為零.對于部分拉力為零的情況，可以作為工作空間的邊界.同理，對于Stiemke引理時，一些剩余單位旋量位于超平面上，可考慮部分繩拉力為零，這樣雖不滿足式(19)，但能使式(15)成立.

在特殊情況測試中，除了能形成法向量q，還需要計算剩余的單位旋量sgn，因此，對于Farkas引理，應(yīng)滿足m-n+1≥1，即m≥n.對于Stiemke引理，應(yīng)滿足m-n+1≥2，即m≥n+1.因此，當(dāng)m≥n時，可以直接利用Farkas引理或者Stiemke引理.但是本文研究的欠約束時即m

m=1或m=2時很難實現(xiàn)對被吊運物的控制，故主要研究的是m≥3且3

對于Stiemke引理的條件m≥n+1，部分情況下無法使用；同時也可以看出，當(dāng)C=0時，使用的范圍也有局限，適用于被吊運物的重力、慣性力等被其它外力平衡掉或者為零.

4 動力學(xué)工作空間計算分析

4.1 計算步驟

在仿真過程中，對于Farkas引理，可以給定被吊運物的位移加速度、角速度、角加速度的范圍，再利用蒙特·卡羅方法隨機產(chǎn)生被吊運物的位移加速度、角速度、角加速度具體值，這樣C就已知了.動力學(xué)工作空間的仿真步驟如下：

(1) 先通過已知條件判斷是利用Farkas引理還是Stiemke引理，將動力學(xué)方程拆分成2部分.

(2) 確定每個機器人的空間范圍即Pm點的范圍.

(3) 通過機器人的空間范圍確定被吊運物的位置r范圍和姿態(tài)范圍.對于Farkas引理，給定被吊運物的位移加速度、角速度、角加速度的范圍.

(4) 利用蒙特·卡羅方法隨機循環(huán)N次，每次循環(huán)隨機產(chǎn)生每個機器人的位置Pm、被吊運物的位姿和被吊運物的位移加速度、角速度、角加速度.

(5) 在每次循環(huán)周期內(nèi)，計算出每根繩長，并分別計算出拆分后的2組結(jié)構(gòu)矩陣A，判斷A是否發(fā)生降秩.如果發(fā)生降秩，本循環(huán)停止，進入下一循環(huán).如果不發(fā)生降秩，則對試待測定的超平面進行判斷，是否為分離超平面或者支撐超平面.如果是，則本循環(huán)停止，進入下一循環(huán).如果不是，則重復(fù)測試，直到測試完該循環(huán)下的全部組合形式都不是分離超平面或者支撐超平面，同時拆分后的2組方程組應(yīng)同時滿足要求，否則本循環(huán)停止，進入下一循環(huán).

(6) 每次循環(huán)周期內(nèi)，如果全部組合形式下都不是分離超平面或者支撐超平面，則此次循環(huán)內(nèi)，被吊運物的質(zhì)心位置屬于動力學(xué)工作空間的點，記錄下此時的空間坐標(biāo).

(7) 重復(fù)步驟(5)和(6)，直至N次循環(huán)完成，最后輸出動力學(xué)工作空間的圖形.

4.2 仿真結(jié)果分析

為了實驗的方便性和安全性，以3臺直角坐標(biāo)機器人協(xié)同吊運6自由度被吊運物為實體實驗平臺，單個直角坐標(biāo)機器人末端的工作空間范圍為長方體.設(shè)直角坐標(biāo)系機器人X、Y、Z方向的長度分別為 0.8、0.5 和 0.5 m.在地面上建立全局坐標(biāo)系，每個機器人Z軸方向高度為 1.5 m. 3臺機器人在全局坐標(biāo)系中XOY平面擺放示意圖如圖2所示.

圖2 3臺機器人XOY平面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the XOY plane of the three robots

設(shè)被吊運物為一正三角形物體，三角形的頂點分別為B1、B2和B3，也是繩索與被吊運物的連接點，三角形中心到各頂點的距離d=0.1 m，被吊運物的質(zhì)量M=10 kg.每個機器人末端點Pm的空間范圍和初設(shè)的被吊運物質(zhì)心O′的空間范圍在全局坐標(biāo)系中的表達式：

(23)

(24)

(25)

(26)

式中：被吊運物的姿態(tài)角范圍為[0, 1] rad；被吊運物的X、Y、Z軸方向位移加速度范圍都為[-1, 1] m/s2；被吊運物分別繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動的角加速度范圍都為[0, 1] rad/s2；被吊運物分別繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動的角速度范圍都為[0, 1] rad/s.

圖3 被吊運物的動力學(xué)工作空間Fig.3 Dynamic workspace of the payload

按照第4.1節(jié)中的動力學(xué)工作空間的計算步驟，共循環(huán)1×105次，共得到 10 159 個滿足要求的被吊運物的位置點.被吊運物動力學(xué)工作空間整體效果圖如圖3所示.該圖是保證繩的拉力T≥0的工作空間，因此是包括部分繩的拉力為零作為邊界的工作空間.動力學(xué)工作空間在XOY平面、YOZ平面以及XOZ平面的投影圖如圖4～6所示.

從圖4的XOY平面可以看出，工作空間整體大致關(guān)于y=x的平面對稱，且離原點越遠(yuǎn)越密集.從圖5和圖6可以看出，工作空間的下端比上端要密集些.

圖4 XOY平面投影圖Fig.4 XOY plane projection

圖5 YOZ平面投影圖Fig.5 YOZ plane projection

圖6 XOZ平面投影圖Fig.6 XOZ plane projection

在仿真中，確定了空間參數(shù)以后，還限定了角速度、角加速度和線性加速度的范圍，但上述動力學(xué)工作空間的分析中并沒有限制繩索的拉力范圍，只是需要判斷拉力的正負(fù).故可推斷：在確定的空間和結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，被吊運物角加速度和線性加速度的范圍的變化對動力學(xué)工作空間影響不大.

為了驗證以上推論再做一組仿真，將上述的被吊運物的X、Y和Z軸方向位移加速度范圍都變?yōu)閇-5, 5] m/s2，被吊運物分別繞X、Y和Z軸轉(zhuǎn)動的角加速度范圍都變?yōu)閇0, 2] rad/s2，被吊運物分別繞X、Y和Z軸轉(zhuǎn)動的角速度范圍都變?yōu)閇0, 2] rad/s，其他參數(shù)都不變，這樣C的范圍發(fā)生了變化.同樣，按照第4.1節(jié)中的動力學(xué)工作空間的仿真步驟，共循環(huán)1×105次，共得到 10 244 個滿足要求的被吊運物的位置點.

分別對比2組仿真結(jié)果圖，發(fā)現(xiàn)形狀基本一樣，滿足要求的點的個數(shù)也相差不多.由于篇幅的限制，第2組仿真結(jié)果就不再圖示.說明C的范圍對動力學(xué)工作空間影響不大，這是因為動力學(xué)工作空間重點考慮的是保證繩的拉力T≥0，至于繩的拉力具體多大未予考慮，同時從測試步驟中sgn的計算也可以看出，重點只考慮了符號的正負(fù)和是否形成分離超平面或者支撐超平面，大小則無關(guān).因此，C的范圍只是影響繩的拉力值大小，而無法影響繩拉力的正負(fù).

5 結(jié)論

通過對欠約束多機協(xié)調(diào)吊運系統(tǒng)動力學(xué)工作空間的分析，得出以下結(jié)論：

(1) 在動力學(xué)工作空間中，通過比較動力學(xué)方程與Farkas和Stiemke引理的關(guān)系，得出要使動力學(xué)工作空間的條件成立，就必須不能形成分離超平面或支撐超平面.

(2) 在動力學(xué)工作空間中，當(dāng)系統(tǒng)為欠約束時，無法直接使用Farkas和Stiemke引理來求解動力學(xué)工作空間，但對m≥3時，可以通過拆分動力學(xué)方程進行調(diào)整，最后能夠得到動力學(xué)工作空間.

(3) 通過對比不同被吊運物的加速度范圍時的動力學(xué)工作空間仿真圖，發(fā)現(xiàn)被吊運物的加速度對動力學(xué)工作空間影響不大.