王杰，陶俊林，郭輝

?

圓環(huán)巴西試驗(yàn)的抗拉強(qiáng)度建議公式

王杰，陶俊林，郭輝

（西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010）

改進(jìn)Hobbs公式得到的計(jì)算值普遍較大這一問(wèn)題，提出圓環(huán)巴西試驗(yàn)的抗拉強(qiáng)度建議公式。對(duì)巴西試驗(yàn)圓環(huán)的應(yīng)力解進(jìn)行分析，并引用砂巖的試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證。得到圓環(huán)巴西試驗(yàn)的抗拉強(qiáng)度建議公式，使用Hobbs公式得到的抗拉強(qiáng)度TT比巴西圓盤(pán)試驗(yàn)T大6倍以上，利用建議公式得到的抗拉強(qiáng)度σ與巴西圓盤(pán)試驗(yàn)T十分接近，誤差不到1%。當(dāng)圓環(huán)內(nèi)外徑比在0.05到0.15的范圍內(nèi)時(shí)，該建議公式可很好地用來(lái)計(jì)算巖石類(lèi)等脆性材料的抗拉強(qiáng)度。

圓環(huán)試件；劈拉試驗(yàn)；抗拉強(qiáng)度公式

巴西圓盤(pán)試驗(yàn)廣泛應(yīng)用于間接測(cè)量巖石、混凝土等脆性材料的抗拉強(qiáng)度，得到了相關(guān)規(guī)程的推薦[1-2]。巴西圓盤(pán)試驗(yàn)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在加載點(diǎn)處起裂的情況[3]，這屬于受壓破壞，不易滿(mǎn)足巴西圓盤(pán)試驗(yàn)的起裂條件。由此，Hobbs D W[4]提出在試件中心鉆一個(gè)貫穿的圓孔，形成圓環(huán)試件，使試件從內(nèi)孔開(kāi)始起裂，來(lái)保證試件受拉破壞，并提出該方法的抗拉強(qiáng)度計(jì)算公式（Hobbs公式）。

隨后，學(xué)者們引用Hobbs公式對(duì)脆性材料的抗拉強(qiáng)度做了大量的研究[5-11]。尤明慶等[5]對(duì)片麻巖、大理巖等材料做了圓環(huán)巴西試驗(yàn)，認(rèn)為當(dāng)圓環(huán)試件內(nèi)外徑比小于0.4時(shí)，用Hobbs公式得到的拉伸強(qiáng)度遠(yuǎn)大于巴西圓盤(pán)試驗(yàn)強(qiáng)度，得出Hobbs公式不能作為巖石抗拉強(qiáng)度公式的結(jié)論[6-7]。文獻(xiàn)[8-11]對(duì)圓環(huán)巴西試驗(yàn)做了數(shù)值模擬。朱萬(wàn)成等[8]認(rèn)為，如果能準(zhǔn)確測(cè)出圓環(huán)試件的開(kāi)裂載荷，可將Hobbs公式中的載荷峰值替換為開(kāi)裂載荷，這時(shí)計(jì)算出的抗拉強(qiáng)度較為符合。要準(zhǔn)確獲得試驗(yàn)的開(kāi)裂載荷，現(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)手段不易達(dá)到。

為此，文中對(duì)巴西試驗(yàn)圓環(huán)的應(yīng)力解析解進(jìn)行分析，提出圓環(huán)巴西試件的抗拉強(qiáng)度建議公式。在圓環(huán)內(nèi)外徑比較小時(shí)，其計(jì)算值可表示巖石類(lèi)脆性材料的抗拉強(qiáng)度。

1 抗拉強(qiáng)度公式介紹

1.1 巴西圓盤(pán)試驗(yàn)強(qiáng)度計(jì)算公式

在巴西圓盤(pán)試驗(yàn)中，加載線(xiàn)上的拉應(yīng)力是常值2/π；在圓盤(pán)的中心處，拉應(yīng)力是壓應(yīng)力的1/3。根據(jù)巖石、混凝土等脆性材料受壓不受拉的特點(diǎn)，可得出巴西圓盤(pán)拉伸強(qiáng)度公式[1]：

式中：為施加在圓盤(pán)試件上的載荷峰值；為圓盤(pán)直徑；為圓盤(pán)試件厚度。

1.2 圓環(huán)巴西試驗(yàn)強(qiáng)度計(jì)算公式

Hobbs D W[4]提出圓環(huán)巴西試驗(yàn)抗拉強(qiáng)度計(jì)算公式：

式中：為施加在圓環(huán)試件上的載荷峰值；為圓環(huán)試件的厚度；和分別為圓環(huán)試件的內(nèi)半徑和外半徑。

式（2）是中心孔與=0直線(xiàn)的交點(diǎn)（如圖1所示）的環(huán)向正應(yīng)力近似表達(dá)，使用該公式的前提是：當(dāng)內(nèi)環(huán)邊界上點(diǎn)的環(huán)向正應(yīng)力達(dá)到了材料的抗拉強(qiáng)度時(shí)，圓環(huán)試件的承載能力達(dá)到最大值。當(dāng)點(diǎn)出現(xiàn)裂紋后（點(diǎn)處的環(huán)向正應(yīng)力達(dá)到了材料的抗拉強(qiáng)度），這時(shí)的試件往往還能承載，承載力還會(huì)繼續(xù)增大。因此，點(diǎn)出現(xiàn)裂紋，并不意味著試件的承載能力完全喪失。這是公式（2）用載荷峰值計(jì)算出的抗拉強(qiáng)度較高的可能原因。

圖1 巴西試驗(yàn)圓環(huán)

2 圓環(huán)巴西試驗(yàn)建議公式的提出

Chianese R B等[12]以彈性力學(xué)疊加原理和平面應(yīng)力狀態(tài)為基礎(chǔ)，利用傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出巴西試驗(yàn)圓環(huán)的應(yīng)力表達(dá)式：

其中：

式中：為非零偶數(shù)。式中的相關(guān)參數(shù)如圖1所示。

根據(jù)公式（4），可得出不同內(nèi)外徑比下的內(nèi)環(huán)邊界環(huán)向正應(yīng)力曲線(xiàn)，如圖2所示。由于邊界條件是軸對(duì)稱(chēng)的，只畫(huà)出了弧部分（如圖1所示）。

圖2 弧上各點(diǎn)的環(huán)向正應(yīng)力

對(duì)同一條曲線(xiàn)，環(huán)向正應(yīng)力由正值向負(fù)值轉(zhuǎn)換，最大拉應(yīng)力值在=0處（圖1的點(diǎn)），而最大拉應(yīng)力值與最大壓應(yīng)力值不相上下。這說(shuō)明由巖石、混凝土等脆性材料制成的環(huán)形試件會(huì)從點(diǎn)起裂，即受拉破壞。不同下也有類(lèi)似的規(guī)律（大于0.6也是如此），說(shuō)明值大小對(duì)圓環(huán)試件從點(diǎn)起裂并無(wú)影響。

為了了解圓環(huán)在=0直線(xiàn)上的拉壓狀態(tài)，利用式（4），畫(huà)出=0直線(xiàn)上的環(huán)向正應(yīng)力變化曲線(xiàn)，如圖3所示。

圖3 θ=0直線(xiàn)上的環(huán)向正應(yīng)力

由圖3可知，當(dāng)=0.5時(shí)，=0直線(xiàn)上的環(huán)向正應(yīng)力快速下降。隨著的減小，這種趨勢(shì)發(fā)生了改變，“下降區(qū)”逐漸變短，在遠(yuǎn)離中心孔的部分逐漸形成一段平臺(tái)；尤其在≤0.15時(shí)，這種趨勢(shì)越加明顯。這段長(zhǎng)平臺(tái)的形成，意味著=0直線(xiàn)上絕大部分的環(huán)向正應(yīng)力是幾乎相等的。對(duì)于≤0.15的脆性材料試件，點(diǎn)會(huì)最先達(dá)到脆性材料的抗拉強(qiáng)度，發(fā)生拉伸破壞。當(dāng)載荷繼續(xù)增加時(shí)，裂紋才會(huì)延展，而當(dāng)裂紋延伸到“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”時(shí)，由于“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”的環(huán)向正應(yīng)力幾乎相等，這時(shí)脆性材料同時(shí)發(fā)生破壞。若“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”主導(dǎo)著脆性材料的拉伸破壞，則可在“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”內(nèi)取一點(diǎn)來(lái)表示脆性材料的拉伸強(qiáng)度。

下面對(duì)圓環(huán)試件的拉伸破壞由“下降區(qū)”主導(dǎo)，還是由“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”主導(dǎo)進(jìn)行討論，以=0.05曲線(xiàn)為例，如圖4所示。

圖4 ρ=0.05時(shí)在θ=0直線(xiàn)上的環(huán)向正應(yīng)力

將圖4中的=0.05曲線(xiàn)的“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”線(xiàn)性擬合，得到擬合曲線(xiàn)的表達(dá)式：

由于式（12）中，含項(xiàng)的系數(shù)十分小，對(duì)式（12）的變化趨勢(shì)基本無(wú)影響，為了化簡(jiǎn)表達(dá)式，將公式（12）簡(jiǎn)化為：

利用上述方法計(jì)算不同時(shí)的1、2值。為了便于比較，在表1中列出不同時(shí)的1、2值。

表1 不同內(nèi)外徑比ρ時(shí)的S1、S2值

在表1中，內(nèi)外徑比在0.05~0.15的范圍內(nèi)，1<2，即“下降區(qū)”面積小于“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”面積。這說(shuō)明對(duì)于內(nèi)外徑比在0.05~0.15的圓環(huán)巴西試驗(yàn)，其拉伸破壞由“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”主導(dǎo)。又由于“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”段曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)基本平行，即該段的環(huán)向正應(yīng)力十分接近，則可在圖3中公有的“長(zhǎng)平臺(tái)區(qū)”內(nèi)取一點(diǎn)來(lái)表示脆性材料的抗拉強(qiáng)度。如圖3所示，可取=0.5時(shí)的環(huán)向正應(yīng)力來(lái)表示脆性材料的抗拉強(qiáng)度公式，將=0.5、=0代入式（4）中，并考慮試件厚度，得到表達(dá)式：

式（14）是脆性材料的建議抗拉強(qiáng)度計(jì)算公式，由于其存在多項(xiàng)式，使得表達(dá)式十分復(fù)雜，且隨著的增加而逐漸收斂。在圖5中給出了不同值時(shí)公式（14）的收斂情況。

在圖5中，“=10”曲線(xiàn)和“=20”曲線(xiàn)完全重合，說(shuō)明當(dāng)=10時(shí)，式（14）已經(jīng)收斂了。此時(shí)的式（14）仍然十分復(fù)雜，不易運(yùn)用。為了化簡(jiǎn)公式，將=10時(shí)的式（14）進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合，擬合情況如圖6所示。

在圖6中，三次多項(xiàng)式擬合曲線(xiàn)與“=10時(shí)的式（14）”曲線(xiàn)十分接近，其標(biāo)準(zhǔn)方差達(dá)到了99.7%。

圖5 不同n值時(shí)式（14）的收斂情況

圖6 n=10時(shí)式（14）的三次多項(xiàng)式擬合

為了化簡(jiǎn)強(qiáng)度公式，便于推廣應(yīng)用，式（14）可用三次多項(xiàng)式擬合曲線(xiàn)表達(dá)式替代，可簡(jiǎn)化為：

3 圓環(huán)巴西試驗(yàn)建議公式的驗(yàn)證

選用文獻(xiàn)[7]表格2中砂巖的劈拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)建議公式進(jìn)行驗(yàn)證。砂巖試件為圓柱體，直徑均為50 mm，其高度和內(nèi)孔直徑見(jiàn)表2。利用式（1）、（2）和（15）分別得到強(qiáng)度值T、TT和σ。

表2 不同內(nèi)外徑比ρ時(shí)的σT、σTT和σθ值對(duì)比

注：=0時(shí)，試件是實(shí)心圓柱體，為巴西圓盤(pán)試驗(yàn)

巴西圓盤(pán)試驗(yàn)廣泛應(yīng)用于測(cè)量脆性材料的抗拉強(qiáng)度，因此，文中將TT、σ與T作對(duì)比。在表2中，TT值比T平均值大6倍以上，兩者相差太大，TT值不宜作為脆性材料的抗拉強(qiáng)度值；當(dāng)=0.092時(shí)，σ平均值與T平均值十分接近，誤差不到1%；當(dāng)=0.142時(shí)，σ平均值與T平均值也十分接近，誤差不到1%。由此說(shuō)明，對(duì)于圓環(huán)巴西試驗(yàn)，使用建議公式（15）計(jì)算巖石類(lèi)脆性材料的抗拉強(qiáng)度是可行的。

4 結(jié)語(yǔ)

[1] MOHAMMAD D, FERAS F, HANI A, et al. Suggested Methods for Determining Tensile Strength of Rock Materials[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Science & Geomechanics Abstracts, 1978, 15(15): 99-103.

[2] SL 264—2001, 水利水電工程巖石試驗(yàn)規(guī)程[S].

[3] HUDSON J A, BROWN E T, RUMMEL F. The Controlled Failure of Rock Discs and Rings Loaded in Diametral Compression[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1972, 9(2): 241-248.

[4] HOBBS D W. An Assessment of a Technique for Determining the Tensile Strength of Rock[J]. British Journal of Applied Physics, 2002, 16(2): 259.

[5] 尤明慶, 陳向雷, 蘇承東. 干燥及飽水巖石圓盤(pán)和圓環(huán)的巴西劈裂強(qiáng)度[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2011, 30(3): 464-472.

[6] DI-YUAN L I, WANG T, CHENG T J, et al. Static and Dynamic Tensile Failure Characteristics of Rock Based on Splitting Test of Circular Ring[J]. Transactions of Nonferrous Metals Society of China, 2016, 26(7): 1912-1918.

[7] 尤明慶, 蘇承東. 砂巖孔道試樣壓拉應(yīng)力下強(qiáng)度和破壞的研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2010, 29(6): 1096-1105.

[8] 朱萬(wàn)成, 馮丹, 周錦添, 等. 圓環(huán)試樣用于巖石間接拉伸強(qiáng)度測(cè)試的數(shù)值試驗(yàn)[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 25(9): 899-902.

[9] 王來(lái)貴, 趙娜, 周永發(fā). 巖石圓環(huán)試件拉張破裂結(jié)構(gòu)演化有限元模擬[J]. 自然科學(xué)進(jìn)展, 2009, 19(4): 467-472.

[10] LIU K, LIU B, LIU W. Numerical Study on Size Effect of Ring Specimen under Brazilian Test[C]// International Young Scholars' Symposium on Rock Mechanics. [s. l.]: [s. n.], 2008.

[11] 劉文彬, 唐春安, 張后全. 圓環(huán)試樣內(nèi)徑對(duì)抗拉強(qiáng)度的影響[J]. 巖土工程技術(shù), 2004, 18(6): 286-290.

[12] CHIANESE R B, ERDLAC R J. The General Solution to the Distribution of Stresses in a Circular Ring Compressed by Two Forces Acting Along a Diameter[J]. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1988, 41(2): 239-247.

Proposed Formula for Tensile Strength of Ring Brazil Test

WANG Jie, TAO Jun-lin, GUO Hui

(School of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, China)

To propose a formula for the tensile strength of the ring Brazil test and eliminate the problem that the calculated values obtained by the Hobbs formula are generally larger.The stress solution of the Brazilian test ring was analyzed and the sandstone experiment data for verification was cited.The proposed formula of the tensile strength of the ring Brazil test was obtained; the tensile strength obtained through the Hobbs formula was six times more than that of the Brazilian disc test; and the tensile strength obtained through the proposed formula was very close to the Brazilian disc test with an error of less than 1%.The proposed formula can be used to calculate the tensile strength of brittle materials when the inner and outer diameter ratioof the ring specimen is in the range of 0.05 to 0.15.

ring specimen; splitting test; tensile strength formula

10.7643/ issn.1672-9242.2019.02.009

TB122

A

1672-9242(2019)02-0042-05

2018-10-17；

2018-11-17

王杰（1994—），男，重慶人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇嘈圆牧吓W(xué)性能。

陶俊林（1972—），男，四川人，博士，教授，主要研究方向?yàn)椴牧虾徒Y(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。