合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)
——以“零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪”為例

石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

新一輪課程改革提出了“核心素養(yǎng)”的概念和中國學(xué)生核心素養(yǎng)的基本框架與內(nèi)容，各學(xué)科也據(jù)此明確了學(xué)科核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng)，并在“課程性質(zhì)”中提出了“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的觀點(diǎn).筆者認(rèn)為，“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本路徑.也就是說，要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

下面以“零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪”為例，談?wù)劰P者對(duì)基于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其思考.

1 一個(gè)案例

1.1 用數(shù)學(xué)的眼光看世界

課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”中的“世界”是有明確的定位的，也就是“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”中“問題的來源”，指：現(xiàn)實(shí)世界中的、科學(xué)中的、數(shù)學(xué)中的問題.換句話說，“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”就是指用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界(自然的、社會(huì)的)、用數(shù)學(xué)眼光觀察科學(xué)世界(自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué))、用數(shù)學(xué)眼光觀察數(shù)學(xué)世界(數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題、規(guī)律、關(guān)系等).

由于零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪是正整數(shù)冪的推廣，可用下面的方法直接提出問題：

前面我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪相除的運(yùn)算性質(zhì)：

aman=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù)，m>n)，

為什么要規(guī)定m>n？

學(xué)生可以想到：可以考察如果m不大于n，即m≤n，會(huì)出現(xiàn)什么情況：

若m=n，那么就會(huì)出現(xiàn)a0，如果m

師：為什么不允許呢？

生：因?yàn)閍n的意義是n個(gè)a相乘的積，0個(gè)a相乘、-1個(gè)a相乘是沒有意義的！

師：很好！下面請(qǐng)大家再考慮一下：當(dāng)m≤n時(shí)，aman是不是就不好運(yùn)算呢？比如，2323，2324？

師：從上述過程可以看到，要解決同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則在m≤n時(shí)能否運(yùn)用的問題，可以歸結(jié)為如何解決“0個(gè)a相乘沒有意義、-1個(gè)a相乘沒有意義”等問題.

1.2 用數(shù)學(xué)的思維分析世界

為了解決提出的問題，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析.而歸納特例、回到原點(diǎn)、直觀想象都是數(shù)學(xué)思維的重要形式.

師：請(qǐng)大家考察一個(gè)與乘方有關(guān)的實(shí)際問題：

1個(gè)細(xì)胞分裂1次變?yōu)?個(gè)，分裂2次變?yōu)?2個(gè)，分裂3次變?yōu)?3個(gè)，分裂4次變?yōu)?4個(gè)，……

當(dāng)這個(gè)細(xì)胞沒有分裂(即分裂次數(shù)為0)時(shí)，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是多少？

生：還是1個(gè).噢，這說明20=1還是有道理的！

師：那我們?cè)趺崔k？

生：規(guī)定

20=1.

師：非常好！這說明只要將乘方的概念加以推廣，20就可以有意義了，從而同底數(shù)冪除法運(yùn)算的法則在m=n時(shí)也就可以成立了！

請(qǐng)大家再思考一下，2-1是否有意義呢？

(停頓片刻)

大家可以先用數(shù)軸進(jìn)行分析，在數(shù)軸上依次標(biāo)出24，23，22，21，20所表示的點(diǎn)，并研究這些點(diǎn)之間的關(guān)系.

(學(xué)生思考)

生：從圖中可以看出，指數(shù)每減少1，冪所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為原點(diǎn)與前一個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn).

師：按照這個(gè)趨勢(shì)，如果2-1有意義的話，那么它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該在哪里？對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是哪個(gè)？

生：……

師：根據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪的意義，如果2n=x，那么，2n+1應(yīng)該是多少？

生：2x.

師：那么，上述猜想的結(jié)果是否應(yīng)該也滿足這樣的特性呢？

生：應(yīng)該……是的，真的也滿足.

師：既然如此，一般地，2-n(n為正整數(shù))應(yīng)該是多少呢？

生：……

1.3 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

師：下面請(qǐng)大家用數(shù)學(xué)語言對(duì)20，2-1，以及一般地2-n(n是正整數(shù))下定義.

師：那么a-n(a≠0)呢？

(板書相關(guān)規(guī)定)

最后說明：

aman=am-n(a≠0,m,n是整數(shù))

成立.

思考：

am×an=am+n(a≠0,m,n是整數(shù))

是否成立？同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則與除法運(yùn)算法則之間有著怎樣的關(guān)系？

2 幾點(diǎn)思考

這是一節(jié)課題研究型的數(shù)學(xué)建構(gòu)課，從學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題(事實(shí)上，歷史上的數(shù)學(xué)家們也就是這樣發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)的，或者說，這就是數(shù)學(xué)研究的基本過程)：為什么同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則中要作m>n的規(guī)定？進(jìn)而通過數(shù)學(xué)的思考，將其歸結(jié)為零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪有沒有意義這個(gè)核心問題(或中心問題).先讓學(xué)生由乘方的意義(原始意義)發(fā)現(xiàn)它沒有意義(正因?yàn)槠錄]有意義，我們才有資格對(duì)其進(jìn)行新的定義)，再通過數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)其新的意義，進(jìn)而引入零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的概念.

本課，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的完整過程：

從原運(yùn)算法則的“不能”，思考“為什么不能？”通過數(shù)學(xué)分析，尋找零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的新的意義，從而拓展了乘方運(yùn)算的意義，而這種“新”的意義又保持了正整數(shù)指數(shù)冪所具有的相互關(guān)系.這樣的過程，充分體現(xiàn)了拓展新概念的必要性、合理性，又滲透了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的理性精神和價(jià)值理念.同時(shí)，這為將來將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪打下了思想與觀念的基礎(chǔ)(其推廣的方法可以完全類似于此).

從教學(xué)的視角看，“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”就是發(fā)現(xiàn)問題，“用數(shù)學(xué)思維分析世界”是解決問題(用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想、觀念等)，而“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”則是將解決問題的結(jié)果(有時(shí)也包括過程)用數(shù)學(xué)的語言(符號(hào)、圖形以及必要的文字)表達(dá)出來，得到數(shù)學(xué)的模型.這是一次數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程，學(xué)生經(jīng)歷的是一次真正的數(shù)學(xué)活動(dòng).

這個(gè)學(xué)習(xí)過程對(duì)于初中學(xué)生而言是完全可以勝任的，符合學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)理論.這是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)過程中教師充分發(fā)揮了主導(dǎo)作用，適時(shí)地給學(xué)生以幫助、支持，為其數(shù)學(xué)思維提供“腳手架”.

通過上述案例，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該寓于我們平時(shí)的每一節(jié)課的教學(xué)過程之中，寓于教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì).這種設(shè)計(jì)既要符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，還要符合數(shù)學(xué)的研究規(guī)范，更要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理傾向，絕對(duì)不能讓教師的“權(quán)威”替代了數(shù)學(xué)的理性：數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”不是那么隨意的，它需要有數(shù)學(xué)賦于的權(quán)利，也要有現(xiàn)實(shí)的合理性，還要符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧一致.