第二十二屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽試題及參考解答

一、(滿分20分)從2018年10月1號(hào)我國開始執(zhí)行的新的個(gè)人所得稅法，使個(gè)人所得稅稅負(fù)水平更趨合理.

(1)小王在北京某高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工作，稅前收入每月15000元．執(zhí)行新稅法之后，小王比原來每月少交多少個(gè)人所得稅？

(2)有一種速算個(gè)稅的辦法：應(yīng)稅所得額×對(duì)應(yīng)檔的稅率-對(duì)應(yīng)檔的“速算扣除數(shù)”．如應(yīng)稅所得額是10000元，它對(duì)應(yīng)的所得稅在舊個(gè)稅方案下是：10000×25%- 1005=1495(元).

請(qǐng)按照這一算法，算出應(yīng)稅所得額是10000元時(shí)，在新個(gè)人所得稅法下對(duì)應(yīng)的所得稅是多少？

(3)請(qǐng)計(jì)算出表2內(nèi)的數(shù)X，并給出各級(jí)“速算扣除數(shù)”的遞推算法的一般表達(dá)式．

表1 個(gè)人所得稅稅率表(執(zhí)行至2018年9月30日)

表2 個(gè)人所得稅稅率表(2018年10月1日起試行)

續(xù)表

解(1)查閱稅法，“五險(xiǎn)一金”為不計(jì)稅所得，假設(shè)小王的“五險(xiǎn)一金”是3000元.

按舊稅法，應(yīng)稅所得額

D舊=15000-3000-3500=8500(元)，

將D舊按舊稅率表分段，即

8500=1500+3000+4000，

個(gè)稅上交額

M舊=1500×3%+3000×10%+4000×20%=1145(元)；

按新稅法，應(yīng)稅所得額

D新=15000-3000-5000=7000(元)，

將D新按新稅率表分段，即

7000=3000+4000，

個(gè)稅上交額

M新=3000×3%+4000×10%=490(元)，

則有

M新-M舊=490-1145=-655，

即執(zhí)行新稅法之后，小王比原來每月少交個(gè)人所得稅655元．

(注：若不考慮“五險(xiǎn)一金”，所得結(jié)論為M新-M舊=790-1870=-1080(元)，即執(zhí)行新稅法之后，小王比原來每月少交個(gè)人所得稅1080元．也算對(duì)．)

(2)應(yīng)稅所得額是10000元時(shí)，在新個(gè)人所得稅法下對(duì)應(yīng)的所得稅是10000×10%-210=790(元).

(3)由上面的案例可以發(fā)現(xiàn)：

本級(jí)的“速算扣除數(shù)”=上一級(jí)最高應(yīng)納稅所得額×(本級(jí)稅率-上一級(jí)稅率)+上一級(jí)的“速算扣除數(shù)”.

由此可以得到

X= 25000(25% -20%)+1410 =1250+1410=2660(元).

一般推導(dǎo)如下：設(shè)an表示應(yīng)稅額依次分段的端點(diǎn)，rn表示應(yīng)稅額區(qū)間(an,an+1)對(duì)應(yīng)的所得稅率，bn表示應(yīng)稅額區(qū)間(an,an+1)對(duì)應(yīng)的“速算扣除數(shù)”，其中n∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

由表2得到：

n0123456an030001200025000350005500080000rn3%10%20%25%30%35%45%

設(shè)T表示應(yīng)稅額，T∈(an,an+1)，Q表示對(duì)應(yīng)應(yīng)交的個(gè)人所得稅額，于是

Q=(T-an)rn+[(an-an-1)rn-1+(an-1-an-2)·rn-2+…+(a1-a0)r0]

=T·rn-[(rn-rn-1)an+(rn-1-rn-2)an-1+…+(r1-r0)a1].

定義“速算扣除數(shù)”bn=[(rn-rn-1)an+(rn-1-rn-2)an-1+…+(r1-r0)a1]，于是得到Q=T·rn-bn，bn=(rn-rn-1)an+bn-1.

由此算出：

b1=(r1-r0)a1=7%×3000=210(元)，

b2=(r2-r1)a2=10%×12000+210=1410(元)，

b3=(r3-r2)a3=5%×25000+1410=2660(元)，

b4=(r4-r3)a4=5%×35000+2660=4410(元)，

b5=(r5-r4)a5=5%×55000+4410=7160(元)，

b6=(r6-r5)a6=10%×80000+7160=15160(元)．

二、(滿分20分)在晴空萬里，藍(lán)天白云的天氣下，也許你看到的是“假藍(lán)天”，原因是臭氧(O3)污染．城市近地層臭氧是典型的二次污染物，主要是由人類活動(dòng)排放的揮發(fā)性有機(jī)物、氮氧化物和一氧化碳在太陽光的作用下經(jīng)過一系列復(fù)雜的光化學(xué)反應(yīng)生成的，其帶來的溫室效應(yīng)影響著全球的臭氧濃度變化．空氣中少量的臭氧使人有一種“新鮮”的感覺，因?yàn)槌粞跤袣⑺滥承┘?xì)菌和微生物的能力，但是過量的臭氧對(duì)人體和生物都是有害的.

王同學(xué)在網(wǎng)站上瀏覽北京綜合檢測(cè)值變化時(shí)，感覺到臭氧的濃度變化似乎與溫度和濕度變化有關(guān)．為了研究在不同季節(jié)，溫度和濕度對(duì)臭氧濃度的影響，王同學(xué)記下了2018年7月2日(代表盛夏)和2018年11月2日(代表深秋)的數(shù)據(jù)，見表1和表2．請(qǐng)依此回答下面的問題：

表2 2018年11月2日北京市臭氧濃度變化與溫度和濕度變化

(1)分別畫出每一天臭氧濃度關(guān)于溫度變化的散點(diǎn)圖和臭氧濃度關(guān)于濕度變化的散點(diǎn)圖，并分別建立回歸方程；

(2)在盛夏和深秋，哪個(gè)季節(jié)溫度變化對(duì)臭氧濃度變化的影響大一些? 哪個(gè)季節(jié)濕度變化對(duì)臭氧濃度變化的影響大一些?

解(1)臭氧濃度關(guān)于溫度、濕度變化的散點(diǎn)圖如下：

從圖中可以看出，四個(gè)圖的樣本點(diǎn)均呈條狀分布，臭氧濃度與溫度、濕度都有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸直線y=ax+b來近似刻畫它們的關(guān)系．計(jì)算回歸方程的斜率與截距的公式為：

設(shè)x1為7月2日北京市的溫度，x2為7月2日北京的濕度，x3為11月2日北京市的溫度，x4為11月2日北京市的濕度；y1為7月2日北京市的臭氧濃度，y2為11月2日北京市的臭氧濃度.

經(jīng)計(jì)算，

y1= 19.42x1-425.34

(Ⅰ)

y1= -4.72x2+408.34

(Ⅱ)

y2= 2.91x3-11.52

(Ⅲ)

y2= -0.80x4+70.40

(Ⅳ)

(2)2018年7月2日平均臭氧濃度為105.48μg/m3，2018年11月2日平均臭氧濃度為16.48μg/m3.

1° 根據(jù)回歸方程(Ⅰ)和(Ⅲ)，溫度每變動(dòng)1℃，

7月2日的臭氧濃度變化：19.42/105.48×100%=18.41%；

11月2日的臭氧濃度變化：2.91/16.48×100%=17.65%.

2° 根據(jù)回歸方程(Ⅱ)和(Ⅳ)，濕度每變動(dòng)1%，

7月2日的臭氧濃度變化：4.72/105.48×100%=4.47%；

11月2日的臭氧濃度變化：0.80/16.48×100%=4.85%.

因此，就溫度而言，盛夏的溫度對(duì)臭氧濃度變化影響大一些；就濕度而言，深秋的濕度對(duì)臭氧濃度變化影響大一些.

三、(滿分20分)將一個(gè)8×8的棋盤分割成四個(gè)部分，其中兩個(gè)是梯形，另外兩個(gè)是三角形，如圖1所示．將這四個(gè)部分重新拼接，可以得到一個(gè)5×13的長(zhǎng)方形，多出了一個(gè)小正方形，如圖2所示.

圖1

圖2

(1)對(duì)這種現(xiàn)象你如何解釋? 給出解釋的數(shù)學(xué)證明.

(2)對(duì)于n×n的正方形棋盤，n取什么正整數(shù)時(shí)，可以用這種切割重拼的方式得到一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形，使得k×m=n×n+1？舉出一個(gè)例子.

(3)對(duì)于n×n的正方形棋盤，做類似的切割和拼接， 會(huì)不會(huì)出現(xiàn)k×m的長(zhǎng)方形， 使得k×m=n×n-1？如果存在，試給出一般的規(guī)律．

解(1)猜測(cè)：拼接有縫隙．為了觀看清楚，將縫隙夸張地用圖4所示，首先證明∠ENG<180°.

圖3

圖4

所以∠2+∠4=∠2+180°-∠3=180°+(∠2-∠3)>180°．即∠ENG<180°．易證∠ENG=∠EMG，即四邊形EMGN是平行四邊形．

SEMGN=|EN|·|NG|·sin∠ENG

=|EN|·|NG|·(-sin(∠2+∠4))

=|EN|·|NG|·(-sin∠2·cos∠4-

cos∠2·sin∠4)

=1.

(2)設(shè)分割方式同上，如圖5所示，AD邊上分割點(diǎn)為P，AP:PD=a:b，則a+b=n.

同(1)的過程，得平行四邊形EMGN，令SEMGN=1，即

圖5

即n(b-a)-ba=1，

即(b+a)(b-a)-ba=1，

即b2-ab -a2-1=0，

顯然a≠b, 且 b>a．

枚舉得：

a1382155144b25133489233n382155144377

當(dāng)n取3, 8, 21, 55, 144, 377, … 時(shí)，即n取斐波那契數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 從第四項(xiàng)起的偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，邊長(zhǎng)為n的正方形經(jīng)過切割，可以再拼接成一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形，使得k×m=n×n +1.

例如55×55的正方形，將55分成21+34，拼成長(zhǎng)方形，則正方形的面積為55×55=3025，長(zhǎng)方形的面積為(55+34)×34=3026.

事實(shí)上，a,b取值依順序構(gòu)成從第二項(xiàng)起的斐波那契數(shù)列：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ….

(3)如果n×n的正方形經(jīng)分割再拼接成k×m的長(zhǎng)方形，使得k×m=n×n-1，應(yīng)該滿足以下關(guān)系：∠2+∠4<180°，即拼接時(shí)會(huì)形成重合，重合部分是一個(gè)平行四邊形ENGM，如圖6．令SENGM=1，即

圖6

SEMGN=|EN|·|NG|·sin∠ENG

=|EN|·|NG|·sin(∠2+∠4) =1，

即-(b+a)(b-a)+ba=1，

即b2-ab -a2+1=0，

解關(guān)于b的一元二次方程得

枚舉得：

a125133489b1382155144n25133489233

當(dāng)n取2, 5, 13, 34, 89, 233, … 時(shí)，即n取斐波那契數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 從第三項(xiàng)起的奇數(shù)項(xiàng)時(shí)，邊長(zhǎng)為n的正方形經(jīng)過切割，可以再拼接成一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形，使得k×m=n×n -1.

四、(滿分20分)第19屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽的第五題是關(guān)于植物群落更替的生態(tài)學(xué)問題，情境如下：

云杉芽蟲(Choristoneurafumiferana)是云杉林中以云杉樹為目標(biāo)的害蟲，它們蠶食樹木的新芽、樹針和頂芽，嚴(yán)重者能使樹干腐爛．蟲災(zāi)暴發(fā)時(shí)，害蟲會(huì)耗盡所有可食的樹葉致云杉屬的樹木落葉致死．云杉樹死后代之以山毛櫸樹(sylvaticaLinnaeus)，由于云杉芽蟲只食云杉，隨著云杉樹漸漸死去，大片的山毛櫸樹成長(zhǎng)起來，芽蟲也漸漸消失了．沒有了天敵，云杉種子得以發(fā)芽、成長(zhǎng)，憑借在營養(yǎng)與日光上的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，云杉又漸漸取代了山毛櫸．就這樣，不同的生物種群世代更替的過程循環(huán)不已.

可以用下面的模型來描述這個(gè)種群更替的情況.

假設(shè)有一個(gè)云杉樹林，它被劃分為許多方格．每個(gè)格代表有若干樹木生長(zhǎng)的空間．指定用“△”表示該空間的云杉樹正在被蟲害侵害，用“▲”表示該空間云杉樹已死并被山毛櫸樹更替，沒有標(biāo)志表示這里又新長(zhǎng)出了綠葉云杉.

假設(shè)以“年”為單位描述群落的更替狀況．蟲害的擴(kuò)散依下述規(guī)則蔓延：

1．被芽蟲危害的云杉林地，下一年被山毛櫸替代；

2．害云杉的芽蟲，下一年轉(zhuǎn)移到四鄰(共邊的方形)的綠葉云杉林地繼續(xù)為害；

3．山毛櫸林地，下一年被綠葉云杉取代.

初始的狀態(tài)為右圖，提出的問題(1)是：模擬這個(gè)狀態(tài)經(jīng)過六年的更替，林地的的格局是什么樣？

現(xiàn)在，我們繼續(xù)考慮這個(gè)問題．由于問題只牽涉到云杉，山毛櫸和被害蟲侵害的云杉這三種群落狀態(tài)，這個(gè)林地被劃分為成行成列的狀態(tài)，我們可以用Zk(i,j)表示在第k年時(shí)林地中第i行、第j列的方塊地區(qū)的群落狀態(tài)．令Zk(i,j)=0表示第k年時(shí)該地塊為綠葉云杉林地，Zk(i,j)=1表示第k年時(shí)該地塊為山毛櫸林地，Zk(i,j)=2表示第k年時(shí)該地塊為被云山蚜蟲危害的云杉林地．請(qǐng)回答下列問題：

(1)依據(jù)題目給出的相互更替規(guī)則，使用Zk(i,j)表示法給出從第k年到第k+1年各方塊林地植物群落更替的表達(dá)式，即群落更替模型；

(2)根據(jù)上述模型，選擇一種算法語言，寫一個(gè)小程序，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算初始狀態(tài)為右圖，經(jīng)過一年、兩年、三年更替后這個(gè)林區(qū)的群落格局.

解(1)群落更替的模型：

如果Zk(i,j)>0，則Zk+1(i,j)=Zk(i,j)-1；

如果Zk(i,j)=0，則

當(dāng)max{Zk(i-1,j), Zk(i+1,j), Zk(i,j-1), Zk(i,j+1)}=2時(shí)，Zk+1(i,j)=2；

當(dāng)max{Zk(i-1,j), Zk(i+1,j), Zk(i,j-1), Zk(i,j+1)}=0或1時(shí)，Zk+1(i,j)=0.

(2)使用上述模型編制的MATLAB計(jì)算程序是

>> A0=[zeros(20,20)], A1=A0,

A0(10:11,9:12)=[2,1,2,1;1,2,1,2]

>> For i=2:19

>> For j=2:19

>> B2=[A0(i-1,j), A0(i+1,j),

A0(i,j-1), A0(i,j+1)]

>> if A0(i,j)>0,A1(i,j)=A0(i,j)-1

>> elseif max[B2]=2,

A1(i,j)=A0(i,j)+2

>> elseif max[B2]=0,

A1(i,j)=A0(i,j), end

>> end

>> end

根據(jù)此程序的計(jì)算，經(jīng)過一年、兩年、三年更替后這個(gè)林區(qū)的群落格局如下圖所示：

五、(滿分20分)中國高鐵發(fā)展迅速，使有些原本乘飛機(jī)到某地出行的旅客改乘高鐵了．現(xiàn)在要模擬一次寒假與父母或親友外出旅行，先選定一個(gè)時(shí)間，并設(shè)定一個(gè)既可以乘飛機(jī)(經(jīng)濟(jì)艙)到達(dá)，也可以乘高鐵(二等座)到達(dá)的目的地.

(1)列出影響選擇交通工具的各種因素；

(2)為這次模擬出行選定乘坐交通工具的方案，并說明選擇的理由.

解答題要點(diǎn)

(1)影響因素主要有兩大方面，一方面是由交通工具產(chǎn)生的，包括乘坐交通工具的時(shí)間成本，交通工具的舒適性，安全性，正點(diǎn)率，價(jià)格；另一方面是由旅行者產(chǎn)生的，對(duì)于不同的旅行者，其價(jià)值取向不同，個(gè)人感受不同，還有個(gè)性化的需求.

(2)要先調(diào)查上述影響因素在這次出行中的具體情況，將各種影響因素的情況進(jìn)行主次排序，或進(jìn)行量化，在多因素分析中，作出相對(duì)優(yōu)化的選擇，形成出行方案.

(注：這個(gè)題的解答是很開放的，只要有來自實(shí)際的調(diào)查分析，邏輯清楚，比較完整，自圓其說，即看作正確．酌情給分，宜粗不宜細(xì)．)