期權(quán)定價模型與隨機波動

羅雅沁

摘 要：隨機波動率的主要思路是將標的資產(chǎn)價格的波動率描述為一個由價格水平、波動率均值回歸趨勢和波動率方差控制的隨機過程。它考慮到了期權(quán)定價中的不確定性因素，讓定價更具代表性，與實際市場價格相擬合。

一、引言

通過多個貼近市場模型的具體實現(xiàn)提供了一種新的期權(quán)定價解決思路，即使市場參與者沒有獲得期權(quán)市場價格的渠道，抑或在流動性不夠充裕的情況下，也可以按照標的實時價格通過本文提及的模型計算相對應(yīng)的期權(quán)價格作為參與市場的參考。最主要的是，考慮到資產(chǎn)價格回報的諸多特點，隨機波動率類模型的引入克服了以往期權(quán)定價的諸多不足。

二、Black-Scholes模型

隨機波動率實質(zhì)上就是跳出了傳統(tǒng)金融市場以一定時期內(nèi)波動率作為恒定參數(shù)考慮市場的框架，而認為波動率本身是隨著價格變化而變化的，這一變化過程符合隨機過程。在當(dāng)前的金融市場，因為該類模型考慮的因素更多、理論基礎(chǔ)更為嚴謹而受到不少投資者的關(guān)注。

雖然Black-Scholes模型通過隨機波動率對期權(quán)定價（某些寬松的假設(shè)實質(zhì)上在交易過程中也是可以被接受的），也將影響期權(quán)權(quán)力的波動率及分布概率等問題引入到整個評估體系中，但當(dāng)時還有諸多尚未解決的問題，其中一個重要的不足之處在于它對于基礎(chǔ)資產(chǎn)價格回報恒定波動率（以及其波動率不受價格變化影響）的假設(shè)。這種假設(shè)意味著使用期權(quán)的對沖者要不斷地對波動率假設(shè)進行調(diào)整來反映實際的市場價格數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致了對沖比例的不斷變化，也導(dǎo)致了傳統(tǒng)期權(quán)定價模型無法對隱含波動率的一些固有特性給予合理的解釋。在現(xiàn)實市場中，Black-Scholes模型給出的期權(quán)理論定價也比較難吻合觀察到的期權(quán)市場價格。

Black-Scholes模型根據(jù)當(dāng)前標的價格和靜態(tài)波動率來得到當(dāng)前的期權(quán)價格，存在著一些難以克服的缺陷，比如說假設(shè)股票價格的收益率是遵循一個固定的均值和方差的正態(tài)分布等。但是在實證中我們發(fā)現(xiàn)波動率事實上隨時間變化有一個集聚過程，這與Black-Scholes模型假設(shè)有極大的出入。另外金融界與學(xué)術(shù)界也意識到金融價格時間序列的分布形態(tài)明顯體現(xiàn)出尖峰厚尾的回報特點，也即是說市場的尾部風(fēng)險較高，這實質(zhì)上是期權(quán)定價中一個明顯的溢價因素，且不能被固定波動率的假設(shè)所捕捉。除此之外，金融價格時間序列中波動率偏離后均值復(fù)歸的特點也是Black-Scholes模型無法刻畫的難點。在期權(quán)市場的實際交易中隱含波動率往往呈現(xiàn)波動率微笑形態(tài)，隨著執(zhí)行價格不同位置的變化，期權(quán)反推的隱含波動率并不一致。

三、Hull-White模型

Hull和White（1987）提出了一個期權(quán)定價模型，在該模型中有兩個不確定來源，即資產(chǎn)價格未來軌跡和波動率的未來軌跡。在上述參數(shù)化過程中，波動性風(fēng)險價格設(shè)定為0，。這一假設(shè)意味著波動性風(fēng)險不存在風(fēng)險溢價。與此相反，Heston（1993）已經(jīng)引入了一個具有非零波動性風(fēng)險價格的閉式模型。

Hull-White模型考慮到了期權(quán)價格波動率的相關(guān)系數(shù)和波動率（波動率的波動率）的影響。波動率的波動率較高意味著收益的風(fēng)險中性分布顯示出較高的峰度。對該模型來說，出現(xiàn)最大限度的盈利和虧損比資產(chǎn)價格遵循對數(shù)正態(tài)分布的Black-Scholes模型可能性更大。當(dāng)收益沖擊和波動率沖擊之間的相關(guān)系數(shù)為0時，風(fēng)險中性分布是對稱的、尾肥的。相關(guān)系數(shù)的符號決定了分布的對稱性?？紤]到相關(guān)系數(shù)為負的實證相關(guān)案例，收益風(fēng)險中性分布的左尾比右尾包含更多的機率質(zhì)量。正如Abken和Nandi（1996）討論的一樣，負偏斜性對定價有影響： B-S定價模型對價外看漲期權(quán)定價過高。

為使參數(shù)估計的計算可行，像Hull和White（1988）模型中一樣，我們運用泰勒級數(shù)展開。假定時刻t的方差為其長期均值V=-a/b且未來軌跡由方程（6）說明。在Hull和White（1988）模型中，歐式看漲期權(quán)的價格可用和來決定。

其中是相應(yīng)的B-S模型價格。Hull和White（1988）模型導(dǎo)出了因子且決定了B-S模型價格的誤差。對于該模型參數(shù)的估計，我們采用模擬退火法使SRPE（as outlined earlier）最小化.該過程表現(xiàn)出比標準算法更優(yōu)的最佳收斂性。

四、總結(jié)

總的來說我們斷定模型的效能與所采用的功能函數(shù)密切相關(guān)。盡管BS模型的理論價格與實際價格的相符性較好，但是它對期權(quán)收益分布兩端的預(yù)測精度較低。我們討論了這些結(jié)果的分歧并認為對VaR預(yù)測而言，基本的條件正態(tài)假定是有問題的。

對于今后的研究，運用厚尾分布（例如學(xué)生氏t分布）來指定基本定價方法前景廣闊。那是期權(quán)定價模型就從應(yīng)用條件正態(tài)分布的BS模型延伸到了采用條件t分布的模型。

最后，隨著業(yè)界對期權(quán)隱含波動率變化了解的加深，從形狀特點入手解決期權(quán)問題的思路也是大勢所趨。從波動率曲面來看，我們可以通過分析期限結(jié)構(gòu)和波動率偏離來指導(dǎo)我們對市場方向性的判斷，關(guān)于波動率曲面的深入研究，不論是對期權(quán)本身特性的了解，還是對發(fā)現(xiàn)潛在套利機會以及制訂交易策略，都有著重要的意義。

參考文獻

[1] 《期貨日報》

[2] 百度百科——https：//baike.baidu.com/item/期權(quán)定價模型/6333213？fr=Aladdin