余小芬 劉成龍

摘? 要：習(xí)題是教材的重要組成部分，但教材中的個(gè)別習(xí)題存在瑕疵或錯(cuò)誤。本文分析了人教版小學(xué)教材中一道習(xí)題存在的問(wèn)題，并針對(duì)問(wèn)題提出了改進(jìn)建議。

關(guān)鍵詞：教材;習(xí)題;建議

習(xí)題是教材的重要組成部分，既能幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固新知，又能幫助學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。但教材中的習(xí)題并非完美，個(gè)別習(xí)題存在瑕疵或錯(cuò)誤。因此，在教材的使用過(guò)程中我們要用批判的眼光去看待習(xí)題，去發(fā)現(xiàn)并改進(jìn)習(xí)題中的一些問(wèn)題。比如：學(xué)完人教版五年級(jí)上冊(cè)第六單元《多邊形的面積》中“梯形的面積”這一節(jié)后，教材設(shè)置了一道鞏固性習(xí)題（98頁(yè)第11題）。筆者認(rèn)為該習(xí)題（下文簡(jiǎn)稱例1）存在一些問(wèn)題，鑒于教材習(xí)題的示范性、影響的深遠(yuǎn)性，這些問(wèn)題亟待改善。

一、習(xí)題及解答

例1? 在下面的梯形（如圖1）中剪去一個(gè)最大的平行四邊形，剩下的面積是多少？有幾種求法？

教師用書(shū)給出了如下分析和解答：

首先要考慮如何剪去一個(gè)最大的平行四邊形。這個(gè)平行四邊形應(yīng)該是以梯形上底長(zhǎng)度為底長(zhǎng)的平行四邊形，剩下的是三角形（如圖2或圖5），可以用兩種方法求面積。

方法1：梯形的面積-剪去的平行四邊形的面積：（2+3.5）×1.8÷2-2×1.8=1.35cm2。

方法2：用梯形的下底長(zhǎng)減去梯形的上底長(zhǎng)得到剩下三角形的底長(zhǎng)，再乘梯形的高，最后除以2，得到剩下的三角形的面積：（3.5-2）×1.8÷2=1.35cm2。

（一）對(duì)話教師用書(shū)

仔細(xì)推敲，教師用書(shū)中的分析不盡完善。

第一，從編者的解答過(guò)程看滿足條件的剪法僅有兩種，事實(shí)上滿足條件的最大平行四邊形有無(wú)數(shù)多個(gè)，比如從圖2到圖5動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的任何一個(gè)平行四邊形都滿足條件，并且剪去最大平行四邊形后，剩下的圖形要么是一個(gè)三角形，要么是兩個(gè)三角形。

第二，教師用書(shū)介紹的這兩種方法均默認(rèn)了所剪平行四邊形面積最大，并未涉及為什么這樣剪面積最大。

（二）對(duì)話教材編者

心理學(xué)家皮亞杰指出：“活動(dòng)是認(rèn)知的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開(kāi)始。”動(dòng)手操作過(guò)程是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種探索過(guò)程。學(xué)生只有具備了較強(qiáng)的動(dòng)手操作能力，才能充分感知和建立表象，為分析和解決問(wèn)題創(chuàng)造良好的條件?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（下文簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出了“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果”。因此，《多邊形的面積》這一單元對(duì)平行四邊形等面積公式的推導(dǎo)都是建立在學(xué)生數(shù)、剪、拼、擺的操作活動(dòng)之上的，所以操作是本單元教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。教材設(shè)置這一習(xí)題也正是基于課標(biāo)要求，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、推理、動(dòng)手能力，并進(jìn)一步鞏固平行四邊形、三角形和梯形的面積公式以及平行四邊形等底等高等面積這一知識(shí)。

對(duì)于如何剪出最大的平行四邊形，大多數(shù)學(xué)生的直覺(jué)是按如圖2或圖5這兩種方式剪，至于“為什么這樣剪得的面積最大”，顯然，五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉屧搯?wèn)題。對(duì)于小部分有想法的學(xué)生，根據(jù)他們的認(rèn)知能力和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也只能通過(guò)剪裁出不同大小的平行四邊形，再逐一測(cè)量底和高，計(jì)算面積，比較大小。學(xué)生僅能夠做到初步“探”出最大的平行四邊形，而不能深“究”出得出結(jié)論的緣由，并且這種探究也只是有限次的探究，畢竟可構(gòu)造的平行四邊形有無(wú)數(shù)多個(gè)，平行四邊形的一組對(duì)邊也并不一定與梯形上下底平行。

二、筆者對(duì)例1的思考

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志?！倍鴮W(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)上獲得的。例1為學(xué)生積累了在梯形中剪出最大平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，但由此建立的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是不完整的，是有缺陷的。筆者對(duì)該習(xí)題進(jìn)行了改編，將上底長(zhǎng)2cm改為1cm，保持其余條件不變。請(qǐng)看下文例2及分析。

（一）例1、例2的對(duì)比研究

例2? 在下面的梯形（如圖6）中剪去一個(gè)最大的平行四邊形，剩下的面積是多少？

套用例1的解答方法，可得最大平行四邊形（如圖7）的面積為1×1.8=1.8cm2，但事實(shí)上，在例2這個(gè)梯形中還可以剪出面積更大的平行四邊形：如圖8，構(gòu)造平行四邊形MBQN，量出MN=1.5cm時(shí)，對(duì)應(yīng)高M(jìn)H=1.4cm，此時(shí)平行四邊形MBQN的面積為1.5×1.4=2.1cm2>1.8cm2。又比如量出的MN=2cm時(shí)，高M(jìn)H=1cm，此時(shí)平行四邊形的面積為2×1=2cm2> 1.8cm2。可見(jiàn)，例1的解答方法在此處不奏效。這是為什么呢？仔細(xì)對(duì)比例1和例2，題干中都強(qiáng)調(diào)“下面的梯形”，這似乎對(duì)梯形的“形狀”有所限制，那“下面的梯形”到底是怎樣的梯形呢？帶著疑問(wèn)，筆者先用幾何畫(huà)板對(duì)例1和例2分別做了探究，得到了如圖9所示的數(shù)據(jù)（為了對(duì)比更準(zhǔn)確，這里將數(shù)據(jù)精確到千分位）。

從表中數(shù)據(jù)可以看出，例1中最大的平行四邊形的確是以梯形上底為底，以梯形高為高的平行四邊形，但例2中平行四邊形的最大面積是當(dāng)?shù)譓N的長(zhǎng)在1.75cm左右時(shí)取得的，再聯(lián)想到梯形下底長(zhǎng)3.5cm剛好是1.75cm的2倍，那是否可以這樣猜想：例2中若以梯形下底的一半作為平行四邊形的底，就能構(gòu)造出最大面積的平行四邊形。

由于例2只是對(duì)例1中梯形的上底長(zhǎng)做了改變，因此可考慮“下面的梯形”可能被梯形上、下底長(zhǎng)的某種數(shù)量關(guān)系所限定?？紤]到不論是動(dòng)手作圖還是計(jì)算機(jī)作圖，都存在測(cè)量、讀數(shù)上的誤差，為進(jìn)一步證實(shí)上述假設(shè)，筆者對(duì)該問(wèn)題的一般情形進(jìn)行了說(shuō)明，得到了如下定理。

（二）梯形中最大平行四邊形的定理

不難分析出梯形中面積最大的平行四邊形的特征為：平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)全都落在梯形的邊上。筆者經(jīng)探究，得到梯形中最大平行四邊形定理：

定理? 如圖10，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b（a<b），AB=c，梯形高為h，且E，F(xiàn)，G，H分別在邊AD，AB，BC，CD上，四邊形EFGH為平行四邊形，則：

（1）當(dāng)a≥時(shí)，（SEFGH）max=ah;

（2）當(dāng)a<時(shí)，（SEFGH）max=。

（定理的證明參見(jiàn)文[1]，此處略。）

特別地，當(dāng)a≥時(shí)，F(xiàn)E與上底AD重合，GH落在下底BC上時(shí)，平行四邊形面積最大為ah;當(dāng)a<時(shí)，F(xiàn)EBC，GH落在下底BC上時(shí)，平行四邊形面積最大為。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，例1、例2充分體現(xiàn)了分類的思想。

三、對(duì)教材的建議

葉圣陶先生曾說(shuō)：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用?！苯處煵荒軡M足于學(xué)生會(huì)正確求解一個(gè)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果，更重要的是學(xué)生是否關(guān)注推論方法的科學(xué)性，以及推論結(jié)果是否具有一般意義，從而學(xué)會(huì)舉一反三，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的一般性拓展 [2]。

教材中僅僅設(shè)置例1，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看是分類的不完整，沒(méi)有理解數(shù)學(xué)，不利于建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。筆者建議教材中增添例2，以便形成分類的意識(shí)，完善學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，通過(guò)這兩道習(xí)題的操作，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到什么樣的程度呢？筆者認(rèn)為應(yīng)放手讓學(xué)生去自主思考，通過(guò)他們大膽猜測(cè)估算、實(shí)際測(cè)量、計(jì)算面積、比較大小，初步感知不同數(shù)據(jù)下處理方式的不同，并且能通過(guò)合情推理歸納出兩種情況下存在的不同結(jié)論。正如數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中所說(shuō)：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程，那就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢??！碑?dāng)然，為彌補(bǔ)學(xué)生操作和證明上的不足，教師需要通過(guò)幾何畫(huà)板等多媒體技術(shù)加以直觀驗(yàn)證，讓學(xué)生更深刻地體會(huì)到圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中面積大小的改變，進(jìn)而獲得更深刻的直接和間接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。至于結(jié)論的證明，小學(xué)不作要求，可告訴學(xué)生在初中學(xué)完二次函數(shù)后即可證明。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要真正理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，讓學(xué)生由“經(jīng)歷者”成為“經(jīng)驗(yàn)者”。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 余小芬，劉成龍. 梯形中平行四邊形的面積最大問(wèn)題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（1）：70-73.

[2]? 張琦. 抓節(jié)點(diǎn) 促提升——數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累策略談[J]. 福建教育，2015（12）：50-51