從一道中考題和一道質(zhì)檢題談轉(zhuǎn)化思想的自然解法

宋繼騰

摘 要：張景中院士生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“一種方法解很多題，要好過(guò)很多方法解一個(gè)題?！边@里的“一種方法”應(yīng)該是指最基本、最常規(guī)、最自然的解法，而不是指那些技巧性很強(qiáng)、靈光一閃的巧妙解法。站在初中生的認(rèn)知程度和知識(shí)儲(chǔ)備上看，最基本、最自然的的解法才是學(xué)生最易想到的解法，也是教師和學(xué)生能夠產(chǎn)生思維碰撞的解法。學(xué)生多數(shù)是在自身知識(shí)儲(chǔ)備和已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來(lái)解決問(wèn)題。簡(jiǎn)單的問(wèn)題便可迎刃而解，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題便會(huì)陷入困境。教師應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中，注重過(guò)程，注重思維，回歸本質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，構(gòu)建整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成自主分析能力。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析問(wèn)題，走出思維盲區(qū)，層層剖析，得到自然解法。

關(guān)鍵詞：教學(xué)基礎(chǔ)；教學(xué)思維

1 試題1

1.1 題目呈現(xiàn)

已知AB是半圓O的直徑，M，N是半圓上不與A，B重合的兩點(diǎn)，且點(diǎn)N在MB（⌒）上。

1）如圖1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的長(zhǎng)；

2）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，P是MN的中點(diǎn)，連接MB，NA，PC，試探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

1.2 解法展示

1）如圖1，因?yàn)锳B是半圓O的直徑，所以∠M=90°。

在Rt△AMB中，AB=

√MA2+MB2

，所以AB=10，OB=5。

又因?yàn)镺B=ON，∠NOB=60°，所以△NOB是等邊三角形。所以NB=OB=5。

2）解法1：如圖3。

畫(huà)⊙O，延長(zhǎng)MC交⊙O于點(diǎn)Q，連接NQ，NB。

因?yàn)镸C⊥AB，OM=OQ，所以MC=CQ，即C是MN的中點(diǎn)。

又因?yàn)镻是MQ的中點(diǎn)，所以CP是△MQN的中位線，

所以CP∥QN，所以∠MCP=∠MQN。

因?yàn)椤螹QN=

∠MON，∠MBN=

∠MON，

所以∠MQN=∠MBN，∠MCP=∠MBN。

又因?yàn)锳B是直徑，所以∠ANB=90°。

在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，

所以∠MBN+∠MBA+∠NAB=90°，

即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°。

解法2：如圖4，連接MO，OP，NO，BN。

因?yàn)镻是MN中點(diǎn)，OM=ON，所以O(shè)P⊥MN，且∠MOP=

∠MON。

因?yàn)镸C⊥AB，所以∠MCO=∠MPO=90°。

設(shè)OM的中點(diǎn)為Q，則QM=QO=QC=QP，所以點(diǎn)C，P在以O(shè)M為直徑的圓上。在該圓中，∠MCP=∠MOP=

∠MQP。

又因?yàn)椤螹OP=

∠MON，所以∠MCP=

∠MON。

在半圓O中，∠NBM=

∠MON，所以∠MCP=∠NBM。

又因?yàn)锳B是直徑，所以∠ANB=90°。

在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，

所以∠NBM+∠MBA+∠NAB=90°，

即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°。

1.3 解法分析

1）本題的條件充足，由已知AB是半圓O的直徑，可知 ∠M=90°，△AMB為直角三角形，則容易順著“勾股定理”打開(kāi)思路，求出AB=10，OB=5?！螻OB=60°，聯(lián)系隱含的條件OB=ON，得到 △NOB是等邊三角形，從而NB=OB=5。

2）探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之間的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形發(fā)現(xiàn)三個(gè)角不在同一個(gè)三角形中，角的度數(shù)不知道，也不存在外角關(guān)系，而且題目中給的數(shù)量關(guān)系條件較少，于是只能通過(guò)添加輔助線的方式來(lái)打開(kāi)思路。由已知AB是半圓O的直徑，自然地想到連接NB，構(gòu)造出了直角三角形△ANB，此時(shí)∠MBN+∠MBA+∠NAB=90°，很容易聯(lián)想到把∠MCP轉(zhuǎn)化為∠MBN。解法1和解法2都是用到同一種思想：轉(zhuǎn)化，把題目中要求的角轉(zhuǎn)化為找到的圓周角。解法1是利用垂徑定理得到中點(diǎn)，巧妙地利用中位線平行，得到同位角相等，把∠MCP轉(zhuǎn)化為圓周角。解法2 則是利用四點(diǎn)共圓把∠MCP轉(zhuǎn)化為與之相等的大圓中的圓心角，繼而轉(zhuǎn)化為圓周角∠MBN，同樣是得到∠MCP=∠MBN。

1.4 解后反思

本題是“圓”這一單元的綜合題，涉及勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等很多知識(shí)內(nèi)容，解題方式方法很多，不論哪種方法都是通過(guò)構(gòu)造基本圖形，生成的自然解法。本題通過(guò)嘗試添加輔助線，構(gòu)造一些基本圖形，聯(lián)系到等腰三角形“三線合一”的基本圖形，利用垂徑定理構(gòu)造全等三角形和直角三角形等圖形。作為老師，對(duì)于一些題目能夠做到“一眼望穿”，但是學(xué)生對(duì)于教師“自然生成”的解法確實(shí)“一頭霧水”。學(xué)生在析題，解題思維受阻的大部分原因歸于不能研究問(wèn)題，分析條件，產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)。教師應(yīng)該致力于探尋基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的解法。

2 試題2

2.1 題目呈現(xiàn)

已知AB=8，直線l與AB平行，且距離為4，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB交線段AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C不與A，B重合，過(guò)A，C，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)D。

1）如圖5，當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

2）如圖6，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)ME的長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷直線PB是否與該圓相切？并說(shuō)明理由.

2.2 解法展示

1）解法1：如圖5，因?yàn)镻C⊥AB，所以∠ACP=90°。

從而AP是直徑，所以∠ADP=90°，即AD⊥PB。

又因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，可證 ，所以AP=AB=8。

解法2：如圖5，因?yàn)镻C⊥AB，所以∠ACP=90°。又因?yàn)樵趫A中弧AP=弧AP，所以∠ACP=∠ADP=90°即AD⊥PB。又因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，可證 ，所以AP=AB=8

解法3：如圖7，設(shè)圓心為O，PC與AD交于點(diǎn)N，連接OC，OD。

因?yàn)镃D（⌒）=CD（⌒），所以∠CAD=

∠COD，∠CPD=

∠COD，即∠CAD=∠CPD。

在△ANC和△PND中，

∠NCA=180°-∠CAN-∠ANC，

∠NDP=180°-∠CPN-∠PND，

所以∠NCA=∠NDP。因?yàn)镻C⊥AB，

所以∠NCA=90°，∠NDP=90°，即AD⊥PB。

又因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，所以AP=AB=8。

2）當(dāng)ME的長(zhǎng)度最大時(shí)，直線PB與該圓相切

解法1：如圖8，設(shè)圓心為O，連接OC，OD。

因?yàn)镃D（⌒）=CD（⌒），所以∠CAD=

∠COD，∠CPD=

∠COD，∠CAD=∠CPD。

又因?yàn)镻C⊥AB，OE⊥AB，所以∠PCB=∠MEA=90°，所以△MEA∽△BCP，

。

設(shè)AE=x，則BC=8-2x。由

，可得ME=-

（x-2）2+2。

因?yàn)閤>0，8-2x>0，所以0

又因?yàn)?

<0，所以當(dāng)x=2時(shí)，ME的長(zhǎng)度最大為2。

連接AP，因?yàn)椤螾CA=90°，所以AP為直徑。

因?yàn)锳O=OP，AE=EC，

所以O(shè)E為△ACP的中位線，OE=

PC。因?yàn)閘∥AB，PC⊥AB，

所以PC=4，OE=2。

當(dāng)ME=2時(shí)，點(diǎn)M與圓心O重合，即AD為直徑，即點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，此時(shí)圓與直線PB有唯一交點(diǎn)，所以此時(shí)直線PB與該圓相切。

解法二：如圖8，設(shè)圓心為O，連接OC，OD。因?yàn)镺E⊥AB，OA=OC，所以AE=EC。

設(shè)AE=x，則CB=8-2x。因?yàn)镃D（⌒）=CD（⌒），所以∠CAD=

∠COD，

∠CPD=

∠COD，∠CAD=∠CPD。又因?yàn)镻C⊥AB，OE⊥AB，所以∠PCB

=∠MEA=90°，

所以△MEA∽△BCP，所以

，可得ME=-

（x-2）2+2。因?yàn)閤>0，8-2x>0，所以0

<0，所以當(dāng)x=2

時(shí)，ME的長(zhǎng)度最大為2。連接AP，因?yàn)锳E=x=2，所以AC=BC=PC=4。因?yàn)镻C⊥AB，∠PCA=90°，所以在Rt△ACP中，∠PAC=∠APC=45°，同理可得∠CPB=45°，所以∠APB=90°，即AP⊥PB。又因?yàn)椤螾CA=90°，所以AP為直徑，所以直線PB與該圓相切。

2.3 解法分析

1）本題中的第一個(gè)難點(diǎn)就是圖形中沒(méi)有圓心。一種思路，利用已知條件PC⊥AB，在圓中便可得到AP是直徑，AP的中點(diǎn)即為圓心從而得到AD⊥PB。再利用條件D為PB的中點(diǎn)，繼而得到三角形全等，把要求的線段AP轉(zhuǎn)化為已知線段AB。如果該題沒(méi)有分析到AP是直徑，仍然可以利用圓中同弧所對(duì)的圓周角相等得到AD⊥PB這個(gè)重要條件。另一種思路，沒(méi)有圓心那就假設(shè)一個(gè)圓心O，構(gòu)造輔助線，利用圓心角和圓周角的關(guān)系得到∠NDP=90°，即AD⊥PB，從而解決問(wèn)題。

2）動(dòng)態(tài)幾何：從“動(dòng)”中找“靜”是解題的通法，“當(dāng) ME的長(zhǎng)最大時(shí)”，這句話是解題的關(guān)鍵條件，要轉(zhuǎn)化為函數(shù)法或幾何法解決問(wèn)題。本題便是一道以圓為載體的動(dòng)態(tài)幾何題，切線存在性問(wèn)題。解法1便是通過(guò)相似三角形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題，得到圓與直線PB有唯一交點(diǎn)，所以此時(shí)直線PB與該圓相切。依據(jù)的是直線和圓相切的定義。解法2是依據(jù)切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2.4 解后反思

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題或者叫動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是初中生比較怕碰到的題目。解決這類問(wèn)題很關(guān)鍵的一點(diǎn)是“動(dòng)中找靜”，抓住問(wèn)題中不動(dòng)的或不變的關(guān)鍵元素和有效信息，產(chǎn)生聯(lián)想。動(dòng)態(tài)問(wèn)題反映的是一個(gè)點(diǎn)或是一個(gè)圖形在限定條件下的變化，是一種自變量和因變量的關(guān)系，反映的是函數(shù)關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為建立函數(shù)關(guān)系式來(lái)解決問(wèn)題。動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，不管是點(diǎn)動(dòng)還是形動(dòng)，都是以圖形特征為載體。解題過(guò)程中應(yīng)特別關(guān)注圖形的特征，尤其是特殊情況、特殊位置時(shí)圖形中的信息。從特殊到一般發(fā)生關(guān)聯(lián)，產(chǎn)生聯(lián)想，發(fā)散思維。