面向精準(zhǔn)工程湍流模型的理論研究

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(湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京大學(xué) 工學(xué)院, 北京 100871)

0 引 言

理論空氣動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)“卡脖子”問題在于對(duì)湍流邊界層的精確描述，具體反映在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(Computational Fuid Dynamics, CFD)中的湍流模型發(fā)展瓶頸上。高速發(fā)展的航空航天工程，對(duì)CFD的計(jì)算精度、計(jì)算速度以及可計(jì)算工況的廣度不斷提出更高的要求。然而，傳統(tǒng)工程湍流模型建構(gòu)在量綱分析方法的基礎(chǔ)上，所引入的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)(甚至經(jīng)驗(yàn)函數(shù))數(shù)量眾多，不具有普適性，每一次的修正都會(huì)引進(jìn)新的參數(shù)，而且都是依托風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)的宏觀測(cè)量來進(jìn)行(后續(xù))校正，缺乏對(duì)于流動(dòng)的物理機(jī)理分析。所以，對(duì)于工程湍流的預(yù)測(cè)依然停留在類似于中世紀(jì)對(duì)行星軌道描述的托勒密階段。因此，盡管近年來實(shí)驗(yàn)和計(jì)算的數(shù)據(jù)猛增，并沒有帶來對(duì)邊界層預(yù)測(cè)質(zhì)量的大幅度提高。背后的深刻原因是缺乏一個(gè)對(duì)描述湍流邊界層的完整理論。這也使得工程湍流模型的適用范圍始終是未知的，參數(shù)隨空間和流動(dòng)外界條件的變化規(guī)律也是未知的。對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言，這導(dǎo)致了二個(gè)后果：一是計(jì)算精度有限，例如翼型阻力預(yù)測(cè)的精度一直存在著無(wú)法修正的幾十個(gè)Counts的偏差(一個(gè)Count是10-4)，二是隨流動(dòng)物理?xiàng)l件改變時(shí)，參數(shù)的變化規(guī)律未知，需要工程師的人為“藝術(shù)化”干預(yù)。因此，對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)，尤其是涉及多種流態(tài)的流動(dòng)，CFD計(jì)算的絕對(duì)精度是不確定的，甚至難以完成計(jì)算任務(wù)。一旦面對(duì)高超聲速、臨近空間等超常物理環(huán)境、實(shí)驗(yàn)無(wú)法模擬的情況時(shí)，計(jì)算預(yù)測(cè)的不確定度就構(gòu)成了真正的“卡脖子”問題[1]。

空氣動(dòng)力學(xué)研究自身還存在一個(gè)狀況，就是基礎(chǔ)研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于工程模型研究的需要。關(guān)于規(guī)范壁湍流的基本理論，即近一個(gè)世紀(jì)前的Prandtl-von-Karman的對(duì)數(shù)律理論，是不完整的，它只刻畫了一小部分流域(即所謂的對(duì)數(shù)區(qū))。而非對(duì)數(shù)區(qū)的流動(dòng)描述長(zhǎng)期依賴于經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)模擬過的規(guī)范壁湍流，人們對(duì)非對(duì)數(shù)區(qū)已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，也擁有全流域的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，能夠?qū)ζ骄俣绕拭孢M(jìn)行刻畫(但對(duì)于動(dòng)能剖面還不能進(jìn)行有效刻畫)。工程需求使人們只關(guān)注哪些預(yù)測(cè)能力還比較差的流動(dòng)(例如包含激波和分離的流動(dòng))，或者是物理因素未知的系統(tǒng)(例如，分子熱運(yùn)動(dòng)的漲落效應(yīng)明顯的稀薄氣體，以及化學(xué)反應(yīng)出現(xiàn)跨尺度耦合的燃燒等)。這就產(chǎn)生了一個(gè)錯(cuò)覺，認(rèn)為對(duì)于基本的規(guī)范壁湍流(如槽道圓管等)已經(jīng)都清楚了。其實(shí)，對(duì)數(shù)律理論在描述域上的不完整同時(shí)意味著理論框架的不完整，以及對(duì)邊界層物理描述的不完整，這一不完整正是其無(wú)法向各類非規(guī)范壁湍流(即實(shí)際工程流動(dòng))進(jìn)行應(yīng)用的原因。為了使湍流模型的研究出現(xiàn)突破(而不總是修修補(bǔ)補(bǔ))，必須從根本上解決一些重大問題。著名的湍流世紀(jì)難題，即完成對(duì)平板邊界層的速度和動(dòng)能剖面的完整預(yù)測(cè)，就具有十分重大的意義。

于是，本文圍繞著如何利用近幾十年來高精度計(jì)算和實(shí)驗(yàn)所積累的流動(dòng)脈動(dòng)的資料，在湍流研究的基本概念上尋求本質(zhì)性的創(chuàng)新展開討論。我們認(rèn)為，過去幾十年湍流基礎(chǔ)研究進(jìn)入了一個(gè)瓶頸，是因?yàn)檠芯克悸返木窒蓿瑳]有真正認(rèn)識(shí)壁湍流的普適性原理[2]。本文所介紹的結(jié)構(gòu)系綜理論尋求建立從簡(jiǎn)單的規(guī)范壁湍流到工程復(fù)雜湍流的一致性的研究框架，實(shí)現(xiàn)對(duì)壁湍流的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)上的突破，從而產(chǎn)生在物理圖像和預(yù)測(cè)精度上遠(yuǎn)優(yōu)于基于對(duì)數(shù)律理論的當(dāng)代工程湍流模型，從而帶來工程湍流預(yù)測(cè)精度和確定性的本質(zhì)性的提高。

1 工程湍流模型研究的困難和出路

快速穩(wěn)定的RANS(Reynalds Averaged Navier-Stokes)計(jì)算是解決工程湍流問題最有效的選擇，工程上廣泛應(yīng)用的CFD模型，絕大部分基于RANS方程，其核心難題仍然是湍流模型。其問題主要在于，一方面缺乏對(duì)湍流普適性原理的理解；另一方面，人們希望的能夠適用于各種流場(chǎng)的普適精確的湍流模型沒有出現(xiàn)，而不同湍流模型之間的區(qū)別又難以把握，使得湍流模型對(duì)于其使用者的選擇能力有很高的要求[3]。毫無(wú)疑問，創(chuàng)建適用于低速與高速、包含層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程、有化學(xué)反應(yīng)、有多種組分的復(fù)雜流動(dòng)的精準(zhǔn)湍流模型是空氣動(dòng)力學(xué)研究的核心難題。

CFD計(jì)算的一大難點(diǎn)是湍流邊界層，這是因?yàn)槠涿}動(dòng)和敏感特性，具體表現(xiàn)為轉(zhuǎn)捩、激波、分離的位置的高度敏感，決定了飛行器的整體力學(xué)特性。另外，在發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部，還存在燃燒中化學(xué)反應(yīng)與湍流的交互作用，多組分氣體的輸運(yùn)行為預(yù)測(cè)[4]；更為復(fù)雜的問題出現(xiàn)在近空間飛行器再入大氣層過程中，飛行器表面不同位置出現(xiàn)不同流態(tài)，甚至，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方程的適用性都是問題[1]。近年來，快速發(fā)展的CFD技術(shù)在飛行器氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)中起到越來越大的作用。氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法中，流場(chǎng)的CFD計(jì)算量巨大。正是由于上述湍流模型的不確定性，CFD的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)還沒有真正開展大規(guī)模應(yīng)用[5]。以翼型計(jì)算為例，轉(zhuǎn)捩問題就是一個(gè)突出的未解難題，它涉及到在流向由層流向湍流流態(tài)的轉(zhuǎn)變，表現(xiàn)為速度、壓力等物理量的大幅度變化，并進(jìn)一步與激波、分離等復(fù)雜流動(dòng)結(jié)構(gòu)相互影響，使得精確預(yù)測(cè)翼型在各種工況下的力學(xué)性質(zhì)(升阻力等)仍然是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。

1.1 傳統(tǒng)工程湍流模型研究的困難

常用的湍流模型包括BL(Baldwin-Lomax)代數(shù)模型(零方程模型)、SA (Spalart-Allmaras)一方程模型,k-ω和k-ε等二方程模型, 以及其他更加復(fù)雜的雷諾應(yīng)力模型[6]。這些模型構(gòu)造的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要是量綱分析，即對(duì)方程中(需要封閉)的高階脈動(dòng)量，從量綱分析上給出依賴平均量的函數(shù)形式，附加待定的(無(wú)量綱的)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。雖然量綱分析是嚴(yán)格(普適)成立的，但無(wú)量綱參數(shù)的選取則與流動(dòng)物理有關(guān)系，因此對(duì)于不同流動(dòng)來說，經(jīng)驗(yàn)的無(wú)量綱參數(shù)的數(shù)值就不再普適。換句話說，由量綱分析所給出的函數(shù)形式與邊界層流動(dòng)沒有關(guān)聯(lián)，使得湍流模型的物理內(nèi)涵很膚淺[7]。過去，通過所預(yù)測(cè)的一些整體物理量(如升阻力)與實(shí)驗(yàn)值的比較來確定這些參數(shù)，是充滿僥幸心理的，即希望這些參數(shù)是普適的。實(shí)踐證明，這樣所確定的參數(shù)難以給出精確的預(yù)測(cè)，為此，人們不得不一次次引進(jìn)越來越復(fù)雜的函數(shù)變化(如k-ω模型方程里所包含的多個(gè)任意函數(shù)，或Menter的轉(zhuǎn)捩模型中所包含的轉(zhuǎn)捩函數(shù))。這一切表明，關(guān)于湍流邊界層的基本認(rèn)識(shí)仍然停留在相對(duì)原始的層次上。

舉例說，隨著研究的深入，人們開始在k-ω方程中引進(jìn)了對(duì)渦黏系數(shù)沿垂直方向附加的假設(shè)和新的系數(shù)，使得系數(shù)數(shù)目巨大。波音和空客公司擁有強(qiáng)大的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)(例如升阻力系數(shù)和壓力分布系數(shù)等)，可以對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行校訂，但是，這樣的參數(shù)確定帶有強(qiáng)烈的經(jīng)驗(yàn)性(一些參數(shù)針對(duì)特定流動(dòng)的取值是不公開的，屬于商業(yè)機(jī)密)。

(1)

cω1=cb1/κ2+(1+cb1)/σ

(2)

(3)

g=r+cω2(r6-r)

(4)

由于整個(gè)模型的構(gòu)建過程依據(jù)的是直覺和量綱分析，模型參數(shù)與實(shí)際流動(dòng)的物理幾乎是完全沒有聯(lián)系的，這使得很難討論模型參數(shù)如何隨著流動(dòng)物理?xiàng)l件的改變而變化。而湍流的一個(gè)重要特性就是力學(xué)性能隨Re數(shù)、Ma數(shù)、固壁外形等物理?xiàng)l件的變化呈現(xiàn)非凡的相似律。缺乏與這些物理知識(shí)的聯(lián)系，湍流力學(xué)特性不可能得到精確的預(yù)測(cè)。

1.2 工程湍流模型研究的系統(tǒng)性分析

湍流模型研究的創(chuàng)新一直以來受制于人們的一個(gè)認(rèn)識(shí)，就是想擁有一個(gè)既普適、又精確的湍流模型，但這二點(diǎn)對(duì)于復(fù)雜湍流現(xiàn)象來說幾乎是對(duì)立的。崇尚簡(jiǎn)單本質(zhì)規(guī)律的物理學(xué)有這樣一條公理，即一旦抓住了事物的本質(zhì)，就一定會(huì)有一個(gè)簡(jiǎn)單而又精確的表達(dá)式出現(xiàn)。湍流研究的歷史表明，不存在這樣一個(gè)針對(duì)所有湍流系統(tǒng)的本質(zhì)模型，即湍流是復(fù)雜系統(tǒng)。

讓我們用系統(tǒng)論的思維來考察湍流模型的構(gòu)建。由于多尺度脈動(dòng)的激發(fā)，湍流運(yùn)動(dòng)存在內(nèi)秉的復(fù)雜性，即存在從大尺度到小尺度連續(xù)激發(fā)的湍流脈動(dòng)，它引出了湍流的非凡相似律。而不同湍流系統(tǒng)具有空間不同的變化形態(tài)，由此也會(huì)產(chǎn)生大小尺度之間稍許不同的相似規(guī)律，這就導(dǎo)致一旦以過于簡(jiǎn)單的量綱約束來描述的湍流平均運(yùn)動(dòng)規(guī)律會(huì)表現(xiàn)出差異。那么，是否存在相對(duì)于一類具有公共特性的湍流系統(tǒng)的普適物理原理呢？我們認(rèn)為是一定的，只要該原理反映的是這一類湍流系統(tǒng)的公共特性。具體來說，針對(duì)壁湍流，固壁約束就是其公共特性，可能存在能夠表述固壁的物理約束的原理，這就是本文后面要介紹的李群拉伸不變性原理。

“一元二面”的系統(tǒng)論[9]主張，如果抓住系統(tǒng)的一元，則對(duì)立的二面都得到掌控，此一元就是對(duì)于一類湍流(如壁湍流)的普適原理。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，存在多個(gè)對(duì)立的二面。首先，讓我們來討論內(nèi)外二面，這對(duì)應(yīng)于湍流系統(tǒng)的兩大類復(fù)雜性，即來自流動(dòng)內(nèi)在的多自由度、多尺度性質(zhì)，與來自于流動(dòng)外部的多環(huán)境特征(如壓力梯度效應(yīng)、溫度漲落效應(yīng)等)，后者與湍流運(yùn)動(dòng)的開放性密切相關(guān)。讓我們把目標(biāo)鎖定在具有公共外在特征的流動(dòng)中，即最大限度地消除外在復(fù)雜性，這就是把壁湍流選為研究對(duì)象的原因[10]。注意到，過去相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，湍流應(yīng)用基礎(chǔ)研究曾把研究對(duì)象鎖定在均勻剪切湍流，這是有很大問題的。二者的差別是前者是真實(shí)流動(dòng)，而且可以從簡(jiǎn)單的規(guī)范壁湍流(槽道，圓管，邊界層)向機(jī)翼、折角、凸起等復(fù)雜外形延伸，后者是一個(gè)理想的人為設(shè)置，不能反映湍流的本質(zhì)[2]，難以挖掘出真實(shí)壁湍流的普適規(guī)律(如后面要揭示的多層結(jié)構(gòu))。

另外一對(duì)二面是動(dòng)靜二面，湍流運(yùn)動(dòng)是非定常的，其脈動(dòng)是其動(dòng)的一面，而(時(shí)間平均的)剖面則是其靜的一面。工程研究關(guān)心的是平均剖面的特性。近年來，隨著實(shí)驗(yàn)和DNS技術(shù)的發(fā)展，精確的測(cè)量和數(shù)值模擬提供了大量的壁湍流的脈動(dòng)場(chǎng)的信息。于是，人們的熱情大量?jī)A注在對(duì)于脈動(dòng)場(chǎng)湍流結(jié)構(gòu)的研究和刻畫中。但針對(duì)湍流結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)研究與面向平均速度剖面的工程應(yīng)用研究之間的壕溝始終存在，甚至出現(xiàn)一種日益擴(kuò)大的地步。這正是湍流研究陷于困境的一個(gè)原因。

因此，重要的突破口應(yīng)該是構(gòu)建從第一性的基礎(chǔ)性原理出發(fā)，又能直接服務(wù)于工程實(shí)踐的湍流理論。20世紀(jì)30年代，Prandtl和von-Karman所提出的對(duì)數(shù)律理論[11,13-14]，正是有這樣的影響力的理論，因此成為20世紀(jì)湍流理論研究的二大里程碑成果之一。這一理論的出發(fā)點(diǎn)是基于對(duì)稱性的思考。假設(shè)固壁附近沿壁面的流動(dòng)在近壁區(qū)和外區(qū)之間形成一個(gè)重疊區(qū)，這里湍流剪切(即速度梯度)與壁面距離所選擇的單位無(wú)關(guān)，既可以用外區(qū)單位，也可以用內(nèi)區(qū)單位。這時(shí)，平均速度剖面滿足對(duì)數(shù)律。這個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)稱性廣泛存在于許多壁湍流當(dāng)中，主宰了壁湍流的平均場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，也成為脈動(dòng)場(chǎng)的約束機(jī)制(自壁面產(chǎn)生的渦結(jié)構(gòu))，這是Prandtl-von-Karman長(zhǎng)期能夠指導(dǎo)工程實(shí)踐的原因。

但對(duì)數(shù)律是一個(gè)局部近似解，在出現(xiàn)分離、激波等復(fù)雜流動(dòng)時(shí)不再精確成立。因此，必須發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)律背后的更加普適的原理，才能夠構(gòu)建一個(gè)可以描述復(fù)雜(現(xiàn)實(shí))壁湍流的完整理論。這就是本文要討論的約束湍流邊界層的更廣泛的對(duì)稱性原理，從這樣的原理出發(fā)可以構(gòu)建更一般的復(fù)雜流動(dòng)中精確的工程湍流模型。值得指出的是，這項(xiàng)基礎(chǔ)性課題必須按照基礎(chǔ)研究的方法來進(jìn)行，即必須堅(jiān)持從假設(shè)，到先驗(yàn)驗(yàn)證，再到針對(duì)復(fù)雜流動(dòng)的預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)這樣一個(gè)長(zhǎng)期的努力，最終將能發(fā)展出一個(gè)與Blasius層流邊界層理論相平行的完整的湍流邊界層理論，即完全把握Re相似律的湍流邊界層理論。這便是那個(gè)貌似簡(jiǎn)單、但一個(gè)世紀(jì)來未曾取得突破的湍流世紀(jì)難題[10]。

這項(xiàng)基礎(chǔ)研究需要同時(shí)抓住簡(jiǎn)單與復(fù)雜二面背后的一元，為此，需要在研究方法上進(jìn)行大幅創(chuàng)新。概括地說，當(dāng)把研究對(duì)象聚焦在壁湍流時(shí)，必須提煉出能夠反映固壁對(duì)流場(chǎng)產(chǎn)生(對(duì)稱性)約束的相似變量。這樣的相似變量是普適的，不僅僅適用于對(duì)數(shù)區(qū)，也適用于壁湍流的全流域，還適用于更加復(fù)雜的流動(dòng)。這就是下一節(jié)要討論的結(jié)構(gòu)系綜理論所發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)度序函數(shù)的意義。于是，新理論既可以針對(duì)簡(jiǎn)單的規(guī)范壁湍流來完善Prandtl-von-Karman局部對(duì)數(shù)律的近似，又能夠擴(kuò)展去刻畫更加復(fù)雜的研究對(duì)象(如壓縮拐角，可壓縮壁湍流，熱對(duì)流，翼形流動(dòng)等)，構(gòu)成對(duì)真實(shí)湍流的刻畫。

最后，針對(duì)工程湍流模型，人們已經(jīng)意識(shí)到，CFD計(jì)算中的網(wǎng)格和計(jì)算格式，在空間上必須保證動(dòng)量和能量平衡的某種守恒性[15-16]，而湍流模型則是針對(duì)(高階)脈動(dòng)結(jié)構(gòu)所封閉產(chǎn)生的湍流耗散，它在時(shí)間維度上保證動(dòng)量和能量平衡的實(shí)現(xiàn)。時(shí)間和空間也構(gòu)成互補(bǔ)的二面，因此，網(wǎng)格和計(jì)算格式與湍流模型構(gòu)成CFD完整計(jì)算的二面。上面提到的優(yōu)良守恒性的格式[15-16]，也體現(xiàn)了對(duì)稱性在CFD計(jì)算中的重要意義。與之對(duì)應(yīng)，湍流模型的研究也更需要挖掘在壁湍流的脈動(dòng)結(jié)構(gòu)背后所主宰的對(duì)稱性原理。只有揭示了這樣的普適對(duì)稱性原理，才能給出適用于復(fù)雜流動(dòng)系統(tǒng)的高精度的工程湍流模型，滿足工程需求[7]。

2 結(jié)構(gòu)系綜理論新探索

2.1 結(jié)構(gòu)系綜理論研究框架

在航空航天應(yīng)用中，人們希望精確預(yù)測(cè)飛機(jī)的氣動(dòng)力與氣動(dòng)熱特性(以實(shí)現(xiàn)增升、減阻、降噪和熱防護(hù)的設(shè)計(jì)需要)，這就需要準(zhǔn)確把握氣動(dòng)特性隨飛行器表面外形以及Re數(shù)、Ma數(shù)的相似性規(guī)律。湍流模型的核心內(nèi)涵應(yīng)該就是把握這一相似性，因此湍流模型背后的理論應(yīng)該是相似性理論。而傳統(tǒng)的相似性理論-量綱分析-過于粗糙，沒有能夠反映出湍流這一非平衡系統(tǒng)的特性?；趯?duì)稱破缺的新的相似性理論，也就是本文要介紹的結(jié)構(gòu)系綜理論，順利實(shí)現(xiàn)了這一突破。

2008年以來，我們?cè)诒本┐髮W(xué)開展了結(jié)構(gòu)系綜理論的研究，力求從固壁所產(chǎn)生的基本對(duì)稱性原理出發(fā)，來挖掘壁湍流所存在的公共物理機(jī)理。經(jīng)過近十年的探索，結(jié)構(gòu)系綜理論在搭建這一應(yīng)用基礎(chǔ)研究框架上取得了系列的進(jìn)展，完成了從基本原理出發(fā)的規(guī)范壁湍流刻畫[17-18]，并將理論成功應(yīng)用于一系列復(fù)雜效應(yīng)流動(dòng)的高精度刻畫中，并在面向工程湍流的精準(zhǔn)湍流模型研究當(dāng)中，取得了突破性的進(jìn)展。

2009年，首次以應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)(序函數(shù))封閉了RANS方程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)平均速度剖面以及流向湍動(dòng)能剖面的精確刻畫，提出以結(jié)構(gòu)系綜理論構(gòu)建一個(gè)跨越基礎(chǔ)研究與工程模型開發(fā)的橋梁的目標(biāo)[19]；之后，系統(tǒng)的闡述了從第一原理出發(fā)刻畫壁面約束產(chǎn)生的對(duì)稱性的理論框架-序函數(shù)分析方法[19-20]。后續(xù)一系列研究逐漸表明，這一分析框架能夠成功的刻畫一系列壁湍流流動(dòng)，并為工程湍流模型的開發(fā)提供了新的理論方法；2012年，基于李群分析方法給出了基函數(shù)表達(dá)式背后的拉伸不變性原理[21]，應(yīng)用這一分析方法，在之后的研究中，對(duì)卡門常數(shù)、圓管與槽道流動(dòng)定量區(qū)別、邊界層流向發(fā)展等壁湍流研究的核心話題給出了深入的探索[22-23]；2013年給出了規(guī)范壁湍流中基于多層結(jié)構(gòu)的普適卡門常數(shù)(κ=0.45)新定義方法[24]，由此對(duì)壁湍流研究的一個(gè)核心話題——卡門常數(shù)的普適性提出了獨(dú)特的見解；2016年，構(gòu)建了對(duì)全流域和全Re數(shù)相似律的解析湍流邊界層理論[23]，同時(shí)給出了平板邊界層，槽道，圓管三類規(guī)范壁湍流的統(tǒng)一表述，并且用從理論上明確了圓管與槽道不同幾何外形變化對(duì)流動(dòng)的影響[25]，以及首次給出了邊界層湍動(dòng)能理論[18,26-27]；2017年，在經(jīng)歷與國(guó)際湍流界的充分交流和爭(zhēng)論以后，該研究的核心成果-基于李群拉伸不變性原理的壁湍流理論終于在 JFM雜志發(fā)表[17]；次年(2018年)，推廣到全部雷諾應(yīng)力分量(即包含對(duì)平均速度剖面和動(dòng)能剖面的統(tǒng)一理論)得以完成并發(fā)表[18]。至此，結(jié)構(gòu)系綜理論的理論研究框架基本建立。

在2010年由壁湍流的幾位國(guó)際著名學(xué)者所發(fā)表的一篇綜述文章中[12]，平均速度剖面的Re相似性、粗糙表面的相似律、對(duì)數(shù)律的流域范圍和卡門常數(shù)κ的普適性被列為幾個(gè)未解決的核心話題。結(jié)構(gòu)系綜理論對(duì)這四個(gè)問題都作出了完整的解答。

已經(jīng)有研究成果表明，結(jié)構(gòu)系綜理論的研究框架是普適的，能夠延伸到各類非規(guī)范流動(dòng)研究，適用于對(duì)各種復(fù)雜效應(yīng)的物理刻畫，如壁面粗糙元效應(yīng)[28]，可壓縮效應(yīng)[29]等；并能夠完成包含多種流態(tài)的熱對(duì)流系統(tǒng)(RBC, Rayleigh-Benard Convection)的平均剖面的刻畫[30]。其中值得指出的是，對(duì)于大雷諾數(shù)流動(dòng)，黏性尺度變得非常小，以至于小雷諾數(shù)下近似光滑的壁面，也會(huì)出現(xiàn)粗糙元效應(yīng)[12]。另外，在高超聲速飛行器設(shè)計(jì)中，可壓縮效應(yīng)是重要的物理因素。研究證明，以規(guī)范壁湍流的多層結(jié)構(gòu)函數(shù)形式，引入?yún)?shù)的緩慢變化，可以對(duì)這些復(fù)雜流動(dòng)給出準(zhǔn)確刻畫。這說明結(jié)構(gòu)系綜理論所闡述的對(duì)稱性原理是普適的。

另外，研究證明，結(jié)構(gòu)系綜理論是分析現(xiàn)有工程湍流模型的有力工具，它修正了k-ω模型，給出能夠同時(shí)精確預(yù)測(cè)平均速度剖面和流向湍動(dòng)能剖面的SED-k-ω模型[7,27]，并產(chǎn)生了能夠預(yù)測(cè)多種復(fù)雜工況(翼形、轉(zhuǎn)捩等)新型代數(shù)模型(SED-SL模型)[31]。后者正在完善過程中，以實(shí)現(xiàn)能夠直接服務(wù)于工程實(shí)踐的初衷。

壁湍流的結(jié)構(gòu)系綜理論是Prandtl-von-Karman的對(duì)數(shù)律理論的延伸。那么，它是如何挖掘壁湍流中的對(duì)稱性的？層流平板邊界層滿足嚴(yán)格的拉伸不變性(即普拉修斯解)，在湍流狀態(tài)下，脈動(dòng)的出現(xiàn)必然導(dǎo)致原先的對(duì)稱破缺，產(chǎn)生一種新的對(duì)稱性。結(jié)構(gòu)系綜理論首先尋找合適的相似變量，追隨物理學(xué)家朗道，把這樣的變量稱為序函數(shù)。與湍流脈動(dòng)的特征尺度相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度序函數(shù)進(jìn)入我們的視野，被認(rèn)為是能夠反映系統(tǒng)對(duì)稱破缺的相似變量。結(jié)構(gòu)系綜理論認(rèn)為，一旦找到序函數(shù)，即找到最簡(jiǎn)潔的刻畫壁湍流中對(duì)稱破缺的解析表達(dá)。這一思想在擁有湍流邊界層的數(shù)值解的今天就變得非常容易貫徹，果然，我們從大量DNS數(shù)據(jù)分析中確認(rèn)了存在滿足這一特性的長(zhǎng)度序函數(shù)，它具備連乘的冪次解形式(SED基函數(shù))。如光滑圓管的雷諾剪切應(yīng)力長(zhǎng)度序函數(shù)的表達(dá)時(shí)由內(nèi)區(qū)解(y+的函數(shù),上標(biāo)+代表用壁面單位歸一)和外區(qū)解(r的函數(shù),r為離邊界層邊緣的距離,或圓管槽道半徑)的乘積來表示：

l12(y+;r)=Φ(y+)Ψ(r)

(5)

(6)

(7)

(6)與(7)式中的基本函數(shù)滿足一個(gè)廣義李群拉伸不變性預(yù)設(shè)，這是從嚴(yán)格李群拉伸對(duì)稱性的冪次解(單層結(jié)構(gòu))通過對(duì)稱破缺演變而來的多層結(jié)構(gòu)，這是非平衡系統(tǒng)的特色，即所有的非平衡系統(tǒng)(例如湍流)都擁有相對(duì)于平衡態(tài)系統(tǒng)的某種對(duì)稱破缺。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論從基本原理上給出了湍流系統(tǒng)的特征。由于包括層次躍遷的廣義李群拉伸不變性具有普適的形式(如公式(6)和(7)中的躍遷函數(shù)擁有相同的形式)，這便構(gòu)成一個(gè)在壁湍流中的普適物理原理，即對(duì)稱破缺產(chǎn)生多層結(jié)構(gòu)的原理是普適的?；蛘哒f，多層結(jié)構(gòu)的解析表達(dá)在壁湍流中是普適的。結(jié)構(gòu)系綜理論揭示的這一普適原理，是對(duì)Prandtl-von-Karman的對(duì)數(shù)律理論的極大的拓展，在未來描述復(fù)雜工程壁湍流時(shí)將會(huì)產(chǎn)生重要的影響。

這一描述也是對(duì)傳統(tǒng)對(duì)稱性分析方法的發(fā)展。應(yīng)用最廣泛的對(duì)稱性分析就是量綱分析，其背后的原理就是關(guān)于物理基本變量(如時(shí)間，空間，質(zhì)量等)的拉伸不變性。前面提到，現(xiàn)代工程湍流模型在封閉RANS方程時(shí)主要就是運(yùn)用了量綱分析，所以湍流模型滿足了物理基本變量的拉伸不變性。但是，我們認(rèn)為，復(fù)雜流動(dòng)的出現(xiàn)對(duì)應(yīng)的是一系列的對(duì)稱破缺，僅僅從滿足對(duì)稱性的約束出現(xiàn)，是無(wú)法對(duì)復(fù)雜流動(dòng)的物理開展細(xì)致描述的。結(jié)構(gòu)系綜理論所引進(jìn)的廣義拉伸對(duì)稱性假設(shè)，跳出了傳統(tǒng)對(duì)稱性分析的框架，大膽地對(duì)各類壁湍流的對(duì)稱破缺的普適機(jī)理開展探索。在過去的幾年中，我們已經(jīng)針對(duì)幾類規(guī)范壁湍流系統(tǒng)開展了嚴(yán)格的驗(yàn)證。對(duì)于規(guī)范壁湍流的平均速度剖面的刻畫，普遍達(dá)到99%的精度，對(duì)于動(dòng)能也基本達(dá)到95%的精度，這是前所未有的。這樣的高精度的一個(gè)意義是其多層結(jié)構(gòu)的物理描述參數(shù)對(duì)流動(dòng)條件的高度敏感，從而這些參數(shù)的變化可以描述更加復(fù)雜的流動(dòng)。有跡象表明，函數(shù)形式(6)與(7)不僅僅對(duì)于規(guī)范壁湍流嚴(yán)格成立，而且普遍適用于更加復(fù)雜的流動(dòng)，只需使參數(shù)隨著流動(dòng)的物理?xiàng)l件而緩慢變化(它們于是構(gòu)成所謂的慢變量)。這一面向?qū)ΨQ破缺的對(duì)稱性分析將如愿完成對(duì)于湍流這一非平衡系統(tǒng)的描述，就像非平衡態(tài)熱力學(xué)一樣。后者是基于熱力學(xué)參數(shù)(溫度、壓強(qiáng)等)的時(shí)空演化，而復(fù)雜壁湍流的刻畫將表現(xiàn)為普適多層結(jié)構(gòu)參數(shù)在空間的變化。實(shí)踐證明，這樣的演化所給出的是對(duì)各類復(fù)雜流動(dòng)的細(xì)致精確的刻畫。于是，一個(gè)能夠在普適原理指導(dǎo)下開展復(fù)雜流動(dòng)的精細(xì)多層結(jié)構(gòu)刻畫的方案誕生了，這就是結(jié)構(gòu)系綜理論的意義。

上述理論建構(gòu)與主流湍流研究的DNS和LES形成了互補(bǔ)。DNS和LES所給出的是對(duì)于特定流動(dòng)參數(shù)下的流場(chǎng)的精細(xì)刻畫，而結(jié)構(gòu)系綜理論所構(gòu)建的是不同流動(dòng)參數(shù)的流場(chǎng)之間的相似性關(guān)聯(lián)。一個(gè)大家普遍關(guān)注的問題是，為什么數(shù)十年來DNS和LES的長(zhǎng)足進(jìn)步，沒有能夠?yàn)楣こ掏牧髂Ｐ偷慕?gòu)提供直接的支撐？這是因?yàn)?，?duì)于DNS和LES的大數(shù)據(jù)分析，一直沿用的是傳統(tǒng)的過于注重脈動(dòng)結(jié)構(gòu)的分析方法，缺乏對(duì)于壁湍流整體(相似性)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探索。結(jié)構(gòu)系綜理論為解決這一問題提供了一個(gè)出路：壁湍流的公共原理來自于固壁帶來的對(duì)稱性約束，DNS和LES的大數(shù)據(jù)可以來驗(yàn)證這一命題(即驗(yàn)證(6)與(7))。而一旦通過檢驗(yàn)，則可以遵循系統(tǒng)的方法確定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而確定湍流渦黏系數(shù)沿垂直方向的分布，于是直接封閉RANS方程，用于工程計(jì)算。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論在DNS(LES)和RANS之間構(gòu)建了一個(gè)橋梁，背后所依據(jù)的原理是固壁所帶來的廣義拉伸對(duì)稱性(或?qū)ΨQ破缺原理)。

于是，結(jié)構(gòu)系綜理論把湍流理論的另外一對(duì)關(guān)鍵的二面統(tǒng)一起來了：普適性的原理(簡(jiǎn)單)與具體流動(dòng)的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)(復(fù)雜)。定義序函數(shù)所依據(jù)的原理是簡(jiǎn)單的，函數(shù)形式也不太復(fù)雜(連乘的形式)，而多樣化的具體流動(dòng)體現(xiàn)在多層結(jié)構(gòu)的參數(shù)隨空間的變化上。前者是理性的結(jié)論，是簡(jiǎn)單的，后者則是由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)所提供的。對(duì)湍流復(fù)雜系統(tǒng)的描述需要的是理性與經(jīng)驗(yàn)的統(tǒng)一；實(shí)踐證明，脫離經(jīng)驗(yàn)的湍流理論是沒有價(jià)值的。

2.2 結(jié)構(gòu)系綜理論的技術(shù)路線

結(jié)構(gòu)系綜理論研究的技術(shù)路線是，用序函數(shù)分析方法從實(shí)驗(yàn)和計(jì)算數(shù)據(jù)中提取流動(dòng)中的對(duì)稱破缺的物理信息。它包含如下幾個(gè)步驟：(1)定義合適的序函數(shù)，驗(yàn)證壁面約束的廣義拉伸不變性(即普適的對(duì)稱破缺)；(2)從數(shù)據(jù)中分析提取序函數(shù)的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)；(3)針對(duì)流動(dòng)條件的變化，決定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，這是該流動(dòng)的物理信息。具備如此精細(xì)變化信息的多層結(jié)構(gòu)描述，既可以給進(jìn)一步的基礎(chǔ)研究提出物理機(jī)理的命題，同時(shí)可以直接用于構(gòu)建工程湍流模型。

序函數(shù)的出現(xiàn)反映了流動(dòng)中的對(duì)稱性的影響。驗(yàn)證對(duì)稱性(或?qū)ΨQ破缺)行為與定義序函數(shù)是一件事的二個(gè)方面，前者屬于基礎(chǔ)研究關(guān)心的話題，后者則直接有工程意義。以往湍流模型的研究是尋找脈動(dòng)量與平均量的關(guān)系，實(shí)踐證明，對(duì)于不同流動(dòng)，不存在普適的關(guān)系。但這里我們尋找的序函數(shù)是一類新的相似變量，它反映的是邊界(固壁)的影響，所以它對(duì)于一類流動(dòng)可能是普適的。實(shí)踐證明，這一概念具有很強(qiáng)的可拓展性。例如與不可壓縮邊界層相比，可壓縮邊界層中不僅存在動(dòng)量輸運(yùn)問題，還存在能量的輸運(yùn)問題，因此，在可壓縮流動(dòng)中不僅存在主宰動(dòng)量輸運(yùn)的應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)，還存在主宰能量(內(nèi)能或者溫度)輸運(yùn)的能量長(zhǎng)函數(shù)。

在壁湍流中所發(fā)現(xiàn)的最為重要的序函數(shù)是長(zhǎng)度序函數(shù)，如應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)，它刻畫的是湍流脈動(dòng)渦結(jié)構(gòu)的特征尺度。另外，可以證明，序函數(shù)的比值仍然為序函數(shù)(正如無(wú)量綱量的比值仍然是無(wú)量綱量一樣)。另外，還有一類完全受壁面控制的量(如總應(yīng)力，總熱流等)，壁面對(duì)它們擁有強(qiáng)烈的約束(如壁面為常數(shù))，這些量與壁面量之差也滿足序函數(shù)的性質(zhì)。

序函數(shù)確定以后，確定參數(shù)是定量刻畫流動(dòng)細(xì)節(jié)的一步，也是提取具體流動(dòng)的物理規(guī)律的關(guān)鍵一步。序函數(shù)中的參數(shù)構(gòu)成對(duì)具體流動(dòng)的精細(xì)刻畫。于是，針對(duì)不同流動(dòng)確定序函數(shù)參數(shù)的數(shù)值則構(gòu)成對(duì)于流動(dòng)的個(gè)性化描述的重要內(nèi)容，也是對(duì)于具體流動(dòng)開展定量研究的內(nèi)容。進(jìn)一步針對(duì)一系列流動(dòng)來考察序函數(shù)參數(shù)的變化，并給以物理解釋，則成為揭示流動(dòng)物理機(jī)制的重要內(nèi)容，為各種工況下開展精準(zhǔn)的工程計(jì)算創(chuàng)造條件。

這里，我們簡(jiǎn)單介紹多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定過程。規(guī)范壁湍流的應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)中的參數(shù)已經(jīng)通過與DNS數(shù)據(jù)的比較被完全確定下來。例如光滑圓管中的應(yīng)力長(zhǎng)的內(nèi)區(qū)函數(shù)的一般形式是：

(8)

(9)

這里，κ就是著名的卡門常數(shù)。代入上述參數(shù)值，我們得到κ≈0.45，這是我們依據(jù)最新的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)著名的卡門常數(shù)的重新標(biāo)定，比過去所確定的數(shù)值(0.41)大了10%。值得指出的是，這個(gè)數(shù)值對(duì)槽道、圓管和邊界層是普適的，不像一些文獻(xiàn)中對(duì)于不同的流動(dòng)需要不同的卡門常數(shù)[32]。在更加復(fù)雜的流動(dòng)中，例如存在壓力梯度效應(yīng)的翼型表面流動(dòng)，或者存在密度和溫度變化的高速可壓縮邊界層壁面附件的運(yùn)動(dòng)，這些參數(shù)會(huì)有變化，卡門常數(shù)也因此會(huì)變化。結(jié)構(gòu)系綜理論給出了確定卡門常數(shù)的系統(tǒng)性的方法[24]。

參數(shù)的確定過程，再一次采用了基本原理與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)相結(jié)合的思路。給定序函數(shù)之后，有兩種確定參數(shù)的方法，一種是對(duì)DNS數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過局部近似逐層地確定參數(shù)的取值；另一種是基于已有的經(jīng)驗(yàn)，考慮從已有流動(dòng)到新的流動(dòng)中多層結(jié)構(gòu)物理的變化，人為地設(shè)置多層結(jié)構(gòu)的修正，將新的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)或計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，來確定新參數(shù)的有效性。前者為先驗(yàn)地確定參數(shù)(必須有充分精確的DNS數(shù)據(jù))，后者為后驗(yàn)地確定參數(shù)，它的意義是不需要很多的測(cè)量數(shù)據(jù)，因此可以適用于更多的復(fù)雜流動(dòng)。兩種方法的交叉使用是最有效的。

由于序函數(shù)的參數(shù)具有明確的物理意義，因此，結(jié)構(gòu)系綜理論的研究引發(fā)了一系列基礎(chǔ)研究新話題。例如，在流場(chǎng)中尋找與應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)，或者考察多層結(jié)構(gòu)某一層厚度變化背后的物理機(jī)制(渦運(yùn)動(dòng)、能量平衡機(jī)制)，等等。而物理意義明確的參數(shù)，又方便工程師在應(yīng)用時(shí)進(jìn)行調(diào)節(jié)。只要直觀上對(duì)流動(dòng)物理結(jié)構(gòu)的變化有所認(rèn)識(shí)，就可以對(duì)工程模型中的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。這樣，基礎(chǔ)研究與工程研究就可以進(jìn)行深層次的互動(dòng)，工程研究者可以針對(duì)更多更復(fù)雜的流動(dòng)提出更多的序函數(shù)，而基礎(chǔ)研究者則可以針對(duì)新的序函數(shù)考察其背后的對(duì)稱性，及其參數(shù)變化的物理機(jī)制?？傊?，對(duì)物理機(jī)理的理解與對(duì)復(fù)雜流動(dòng)的預(yù)測(cè)能力能夠同步提高。

2.3 對(duì)傳統(tǒng)湍流模型的改進(jìn)

工程上應(yīng)用廣泛的湍流模型，實(shí)際上已經(jīng)隱藏了多層結(jié)構(gòu)的假設(shè)(因?yàn)檫@是壁湍流中客觀存在的物理結(jié)構(gòu))。借助結(jié)構(gòu)系綜理論的序函數(shù)分析方法，可以細(xì)致地考察湍流模型中的多層結(jié)構(gòu)設(shè)置。這一分析從局部平衡關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)傳統(tǒng)湍流模型參數(shù)與SED多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，從而根據(jù)多層結(jié)構(gòu)與物理?xiàng)l件之間的關(guān)系，給出對(duì)傳統(tǒng)湍流模型的修正。例如，對(duì)于k-ω模型的分析和修正亦已完成，下面對(duì)之進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。

針對(duì)Wilcox2006年版的k-ω模型[4]開展分析，我們發(fā)現(xiàn)需要開展三個(gè)修正：第一，修正卡門常數(shù)為0.45；第二，需要引進(jìn)非線性渦黏系數(shù)，來修正圓管中心區(qū)的對(duì)流效應(yīng)；最后，需要引進(jìn)一個(gè)新的介觀區(qū)，其中出現(xiàn)湍流耗散的奇異標(biāo)度，它會(huì)帶來湍動(dòng)能的第二個(gè)峰值。通過三個(gè)修正，首次給出了能夠同時(shí)高精度地預(yù)測(cè)平均速度(圖1)和湍動(dòng)能剖面(圖2)的新型的SED-k-ω模型[7,27]。

有意義的是，這里介紹的多層結(jié)構(gòu)分析方法可以同時(shí)給出湍動(dòng)能方程的解析表達(dá)，從而建立模型經(jīng)驗(yàn)參數(shù)與多層結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的定量關(guān)系，給出具備明確物理意義的湍流模型參數(shù)化方案。而且，可以通過逐層考察多層結(jié)構(gòu)信息在模型中的表達(dá)，輸入準(zhǔn)確的多層結(jié)構(gòu)信息，完成對(duì)現(xiàn)有湍流模型的優(yōu)化。

圖1 SED-k-ω平均速度剖面預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較，紅色的點(diǎn)是普林斯頓超級(jí)圓管實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，黑色的線是模型計(jì)算結(jié)果[7]Fig.1 Comparison of the mean velocity profiles predicted by SED-k-ω model with experimental measurements. The red open symbols are from Princeton supper pipe experiment. The black lines are from the SED-k-ω model [7]

圖2 SED-k-ω動(dòng)能剖面預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較，紅色的點(diǎn)是普林斯頓超級(jí)圓管實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，黑色的線是模型計(jì)算結(jié)果[27]Fig.2 Comparison of the kinetic energy profiles predicted by SED-k-ω model with experimental measurements. The black open symbols are from Princeton supper pipe experiment. The red lines are from the SED-k-ω model[27]

2.4 基于結(jié)構(gòu)系綜理論的湍流新模型: SED-SL

由于結(jié)構(gòu)系綜理論可以從應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)給出渦黏系數(shù)的完整表達(dá)，于是就可以直接給出一個(gè)RANS方程的代數(shù)模型，這就是新發(fā)展的SED-SL模型(SL是應(yīng)力長(zhǎng)stress length的開頭英文字母)。我們?cè)谙乱还?jié)著重介紹SED-SL模型應(yīng)用于刻畫實(shí)際流動(dòng)的一系列結(jié)果。而這一模型的誕生，首先解決了一個(gè)重大問題，即對(duì)于從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩(見第3.1節(jié))，其次，在一系列航空航天應(yīng)用相關(guān)的流動(dòng)(翼型、機(jī)翼等)獲得精度遠(yuǎn)超出傳統(tǒng)湍流模型的結(jié)果。

結(jié)構(gòu)系綜理論對(duì)湍流邊界層給出了清晰的多層結(jié)構(gòu)的物理圖像，因此不斷將基于結(jié)構(gòu)系綜理論的湍流模型應(yīng)用于更加復(fù)雜的流動(dòng)，有望為工程實(shí)踐提供計(jì)算快捷準(zhǔn)確(建立在準(zhǔn)確的應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)基礎(chǔ)上)，同時(shí)又可以不斷應(yīng)用于新的流動(dòng)的計(jì)算工具。這是一個(gè)與DNS和LES相互補(bǔ)充、共同推進(jìn)的過程：即通過相關(guān)的DNS或LES的研究，總結(jié)出具體復(fù)雜流動(dòng)的物理機(jī)制和多層結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化規(guī)律，從而產(chǎn)生精確的符合Re相似性的工程湍流模型。

3 非平衡流動(dòng)的結(jié)構(gòu)系綜理論

工程實(shí)踐中面對(duì)的許多復(fù)雜流動(dòng)是非平衡流動(dòng)。但是，對(duì)于工程設(shè)計(jì)而言，重要的物理量依然是這些流動(dòng)的統(tǒng)計(jì)定常性質(zhì)，因?yàn)樗械墓I(yè)產(chǎn)品都必須長(zhǎng)期穩(wěn)定地運(yùn)行。因此，結(jié)構(gòu)系綜理論本質(zhì)上是可以討論這些流動(dòng)特性的。例如從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩，以及分離流動(dòng)。這些流動(dòng)中出現(xiàn)了新的對(duì)稱破缺，但是壁面約束依然存在，我們只是需要確認(rèn)，對(duì)應(yīng)于非平衡流動(dòng)的對(duì)稱破缺是否可以由多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的緩慢變化來刻畫？這就是結(jié)構(gòu)系綜理論應(yīng)用于刻畫非平衡流動(dòng)的總的思路，實(shí)踐證明，對(duì)于相當(dāng)大一類的非平衡流動(dòng)，這個(gè)思路不但是可行的，而且導(dǎo)致了新型、精確的工程湍流模型的產(chǎn)生。

下面，我們針對(duì)一些具體的研究問題，介紹如何運(yùn)用結(jié)構(gòu)系綜理論的思想和方法，取得對(duì)非平衡湍流系統(tǒng)的更加精確的刻畫。

3.1 對(duì)轉(zhuǎn)捩模型的創(chuàng)新

對(duì)轉(zhuǎn)捩過程的建模始終是空氣動(dòng)力學(xué)研究中的一個(gè)重點(diǎn)，依據(jù)第二屆國(guó)際阻力預(yù)測(cè)會(huì)議 (drag prediction workshop, DPW)上Rumsey等人的報(bào)道，影響CFD計(jì)算結(jié)果的前三要素是湍流模型、轉(zhuǎn)捩模型以及網(wǎng)格，其中湍流模型占據(jù)約15%，轉(zhuǎn)捩模型占據(jù)約11%[33]。Durbin(2018)[34]指出：將轉(zhuǎn)捩過程嵌入到RANS模型中對(duì)于工程師來說是一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)。

當(dāng)前最受重視的是基于局部變量的轉(zhuǎn)捩模式，一種形式是引入一個(gè)關(guān)于間歇因子γ的輸運(yùn)方程，其基本假設(shè)來自于Warren和Hassan[35]，引進(jìn)表達(dá)流場(chǎng)某一位置上保持為湍流狀態(tài)的時(shí)間比例：

μeff=(1-γ)μnt+γμt

(10)

其中μeff為有效黏性系數(shù)，反應(yīng)出從層流到湍流轉(zhuǎn)捩過程中流動(dòng)黏性系數(shù)的變化。其值在轉(zhuǎn)捩結(jié)束后應(yīng)與湍流黏性系數(shù)相等，而在轉(zhuǎn)捩之前的區(qū)域，γ反應(yīng)出層流邊界層中不穩(wěn)定擾動(dòng)波的影響。比較有代表性的轉(zhuǎn)捩模型為Menter[36]提出的γ-ReθT轉(zhuǎn)捩模型，符松等[37]在此基礎(chǔ)上提出了形式較為簡(jiǎn)單的k-ω-γ三方程轉(zhuǎn)捩模型(其中k是湍動(dòng)能，ω是單位耗散率，γ是間歇因子)，對(duì)原有轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了優(yōu)化，提出了統(tǒng)一的脈動(dòng)動(dòng)能輸運(yùn)方程，而間歇因子γ的輸運(yùn)方程為：

(11)

這里，方程右邊最后二項(xiàng)分別為產(chǎn)生和耗散，它們的設(shè)置是借助了Dhawan和Narasimha從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合所得到的經(jīng)驗(yàn)公式。間歇因子的輸運(yùn)方程與動(dòng)能和耗散率輸運(yùn)方程組成完整的方程組進(jìn)行求解。這一模型可以對(duì)一類由第一和第二不穩(wěn)定模態(tài)所激發(fā)的自然轉(zhuǎn)捩過程預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩起始的位置，但依然由一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)Fonset決定。這一模型的特點(diǎn)是能夠應(yīng)用于較寬的馬赫數(shù)范圍，從亞聲速至超聲速以及高超聲速，對(duì)于流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的捕捉效果都比較好。對(duì)于更一般的非自然轉(zhuǎn)捩，則沒有自洽的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型。

當(dāng)前，人們偏向于基于局部變量的模型，主要是考慮到對(duì)于復(fù)雜非平衡流動(dòng)的適應(yīng)性。但是，我們發(fā)現(xiàn)，基于局部變量的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律形式會(huì)比較復(fù)雜，這是因?yàn)樗郊恿藦墓瘫谇熬壍睫D(zhuǎn)捩點(diǎn)之間的演化過程，而這一過程高度非線性，以及與物理工況相關(guān)(非普適)。由此產(chǎn)生的模型的復(fù)雜性很大，精度還不能令人滿意，同時(shí)又不能對(duì)不同轉(zhuǎn)捩機(jī)制(如來流湍流度，壓力梯度，局部分離轉(zhuǎn)捩，以及壁面擾動(dòng)等)進(jìn)行統(tǒng)一的刻畫。所以，對(duì)于工程師來說，對(duì)流場(chǎng)開展轉(zhuǎn)捩計(jì)算仍然是十分困難的事，更為困難的是高超聲速飛行器邊界層轉(zhuǎn)捩問題，由于飛行狀況的改變，涉及更多的復(fù)雜因素，Anderson[38]很早就指出，高超聲速轉(zhuǎn)捩的“雷諾數(shù)”ReT，與邊界層外沿的馬赫數(shù)、 為自由來流的單位雷諾數(shù)、飛行器頭部曲率半徑、壁面溫度、來流總溫、迎角、壁面質(zhì)量流量(由于吹吸或燒蝕)、物面粗糙度、環(huán)境因素、表物面外形特征(比如圓錐的半錐角)、壓力梯度、橫流速度梯度、化學(xué)反應(yīng)特征時(shí)間和程度等十三個(gè)因素有關(guān)。近年來，隨著高超聲速飛行器研究的開展，人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的工況，上述因素所起的作用沒有明顯的規(guī)律，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、飛行試驗(yàn)、穩(wěn)定性分析和數(shù)值模擬等研究方法，都僅能從一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)方面開展研究[39],并且研究發(fā)現(xiàn)，很多因素的影響上存在相互矛盾的地方[40]，我們認(rèn)為，適用于低雷諾數(shù)和高超聲速轉(zhuǎn)捩的湍流模型研究，需要在基礎(chǔ)理論認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的突破。結(jié)構(gòu)系綜理論在抓住壁湍流基本原理的基礎(chǔ)上，能夠以慢變量參數(shù)的緩慢變化，研究多種復(fù)雜效應(yīng)下壁湍流流動(dòng)，在轉(zhuǎn)捩模型研究中取得了突破性的進(jìn)展。

下面，我們介紹結(jié)構(gòu)系綜理論對(duì)于轉(zhuǎn)捩的刻畫。從系統(tǒng)的角度看，轉(zhuǎn)捩模型需要刻畫的是一個(gè)系列的不穩(wěn)定事件的綜合結(jié)果，如果在系綜層面上會(huì)發(fā)現(xiàn)其簡(jiǎn)單性。具體來說，在轉(zhuǎn)捩發(fā)生前后的任何一個(gè)位置上，流場(chǎng)在垂直壁面的方向上都受到壁面的對(duì)稱性約束。在層流區(qū)是Blasius對(duì)稱性，在充分發(fā)展的湍流區(qū)則是SED理論所發(fā)現(xiàn)的多層結(jié)構(gòu)對(duì)稱性。從平板前緣開始，序函數(shù)在流向方向的變化應(yīng)該是這二種對(duì)稱性之間的轉(zhuǎn)換。由于多層結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性比較弱，可以設(shè)想一個(gè)從后往前的變化策略，即從多層結(jié)構(gòu)變化到Blasius單層結(jié)構(gòu)的模型。我們發(fā)現(xiàn)，如果令多層結(jié)構(gòu)中的二個(gè)參數(shù)在流向也按照層流-湍流二層結(jié)構(gòu)的方式進(jìn)行如下變化：

(12)

(13)

(14)

其中臨界湍流度Tuc=0.65由圖3中的數(shù)據(jù)擬合經(jīng)驗(yàn)得來，它具有重要的物理意義，表征自然轉(zhuǎn)捩與旁路轉(zhuǎn)捩的分界線；在湍流度遠(yuǎn)小于0.65%時(shí)，Rex1≈3.3×106基本不變；在湍流度大于0.65%時(shí)，轉(zhuǎn)捩位置與湍流度成簡(jiǎn)單的-1.5的標(biāo)度關(guān)系。公式(12)和(13)中的參數(shù)相當(dāng)普適，于是，就構(gòu)成了(含轉(zhuǎn)捩的)SED-SL代數(shù)模型。

下面，我們簡(jiǎn)單匯總SED-SL代數(shù)模型對(duì)一系列流動(dòng)進(jìn)行的計(jì)算結(jié)果，包括自然和強(qiáng)迫轉(zhuǎn)捩流動(dòng)(圖3)、充分發(fā)展的極高雷諾數(shù)邊界層(圖4)和可壓縮邊界層(圖5)等。SED-SL模型在這些算例中均取得了極好的計(jì)算效果。

首先對(duì)于不可壓縮平板轉(zhuǎn)捩流動(dòng)，精確地刻畫了整個(gè)轉(zhuǎn)捩過程，如圖3所示。一共對(duì)比了七組工況，其中四組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別為S&K平板邊界層轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)[34]以及T3系列平板實(shí)驗(yàn)[41-42]，兩者都是測(cè)試轉(zhuǎn)捩模型的基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)。S&K實(shí)驗(yàn)的湍流度非常低，為0.18%，所以對(duì)應(yīng)為自然轉(zhuǎn)捩；平板邊界層轉(zhuǎn)捩T3系列實(shí)驗(yàn)則給出了零壓力梯度平板流動(dòng)受不同來流湍流度影響下的轉(zhuǎn)捩剖面，分別為T3A-,T3A及T3B，自由來流湍流度分別為0.87%、3.5%和6.5%。不同來流積分尺度下對(duì)比的數(shù)據(jù)為Brandt等[41]所給出的DNS計(jì)算結(jié)果。

充分發(fā)展的極高雷諾數(shù)邊界層速度剖面的對(duì)比如圖4所示，對(duì)比的數(shù)據(jù)為普林斯頓超級(jí)圓管的邊界層實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[43]。在不同雷諾數(shù)下，模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的每一個(gè)點(diǎn)的偏差都在2%以內(nèi)，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差幾乎等同。

圖4 SED-SL模型(紅線)對(duì)充分發(fā)展的湍流邊界層平均速度剖面的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(黑色點(diǎn))的比較。結(jié)果顯示，模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在雷諾數(shù)全范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了精確刻畫[43]Fig.4 Comparison of the mean velocity profiles for fully developed turbulent boundary layers at available Reynolds number between SED-SL’s prediction (red lines) and experimental and numerical measurements (black filled symbols). Highly accurate descriptions cover the entire available range of the Reynolds number[43]

對(duì)于超聲速和高超聲速邊界層流動(dòng)，SED-SL模型同樣能夠?qū)D(zhuǎn)捩以及充分發(fā)展區(qū)的流動(dòng)行為進(jìn)行精確刻畫，如圖5所示。對(duì)比的數(shù)據(jù)為DNS(Ma=2.25)可壓縮平板流動(dòng)的計(jì)算結(jié)果[29]。此DNS算例所加的擾動(dòng)的方式為壁面吹吸擾動(dòng)，對(duì)應(yīng)地模型參數(shù)gamma1設(shè)置為20，轉(zhuǎn)捩位置的設(shè)置與DNS所加吹吸擾動(dòng)的位置一致。結(jié)果表明，SED-SL模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)平均場(chǎng)剖面(速度，溫度)的精確刻畫。其中Retau=230處的剖面為轉(zhuǎn)捩區(qū)的平均場(chǎng)剖面。計(jì)算的速度剖面及溫度剖面與DNS數(shù)據(jù)的偏差都在5%以內(nèi)。

SED-SL轉(zhuǎn)捩模型似乎像先前曾出現(xiàn)的低雷諾數(shù)湍流模式，它最大的特點(diǎn)是方便與成熟的CFD湍流模型進(jìn)行對(duì)接。有觀點(diǎn)認(rèn)為這只是一種數(shù)值上的巧合[31]。我們的研究表明，采用對(duì)轉(zhuǎn)捩位置的新的表述，有希望建立更為簡(jiǎn)單精確的湍流轉(zhuǎn)捩模型，在包括發(fā)動(dòng)機(jī)在內(nèi)的更為復(fù)雜的流場(chǎng)的研究中發(fā)揮作用。

3.2 翼型流動(dòng)的預(yù)測(cè)

(a)

(b)

進(jìn)一步，對(duì)于大迎角分離情況下的翼型流動(dòng)，通過對(duì)應(yīng)力長(zhǎng)的多層結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行少許的優(yōu)化，增加能夠反映逆壓梯度效應(yīng)的主流分離層以后，SED-SL模型同樣獲得對(duì)于大迎角分離流動(dòng)的精確刻畫。圖8與圖9展示了以NACA4412大迎角分離流動(dòng)[46]和NACA0012臨界迎角下周期性渦脫落流動(dòng)[45]的計(jì)算結(jié)果。圖8展示NACA4412尾部分離泡附近，六個(gè)位置處的速度剖面對(duì)比；圖9則展示NACA0012在臨界迎角發(fā)生周期性渦脫落時(shí)，某一時(shí)刻的平均場(chǎng)行為與相關(guān)DNS數(shù)據(jù)[47]的對(duì)比。

初步應(yīng)用于三維機(jī)翼流動(dòng)，SED-SL模型也取得了不錯(cuò)的結(jié)果，如圖10所示。對(duì)比的數(shù)據(jù)為M6三維機(jī)翼實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，出自AGARD Report[48]，圖10給出了某一位置處表面壓力系數(shù)的對(duì)比結(jié)果。值得指出的是，該結(jié)果還可以繼續(xù)優(yōu)化，因?yàn)榭陀^上存在橫流，而橫流對(duì)于多層結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響是可以考慮的，最終能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)每一個(gè)剖面的激波位置的精確預(yù)測(cè)，而這一點(diǎn)目前任何湍流模型都做不到。

圖6 RAE2822翼型不同迎角下的升阻力系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，黑點(diǎn)線是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，紅色是SED-SL計(jì)算結(jié)果，藍(lán)色是SA模型計(jì)算結(jié)果，綠色是BL模型計(jì)算結(jié)果Fig.6 Comparison of lift coefficients (CL) and drag coefficients (CD) for RA2822 airfoil flow under different attack angles. Black filled symbols are experimental measurements[44]; red open symbols are from SED-SL model, green from BL model, and blue from SA model

圖7 NACA0012翼型不同迎角下的升阻力系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比。圖例同圖6Fig.7 Comparison of lift coefficients (CL) and drag coefficients (CD) for NACA0012 airfoil flow under different attack angles. Legend is as same as Fig.6

(a) 實(shí)驗(yàn)測(cè)量(沿黑線)的分離區(qū)流場(chǎng)

(b) 分離區(qū)不同位置((a)中黑線所標(biāo)示)的平均速度剖面

(a) SED-SL模型計(jì)算的非定常分離的某一瞬間的流場(chǎng)

(b) 某一瞬態(tài)的DNS計(jì)算結(jié)果

(a)

(b)

SED-SL模型的成功具有示范性的意義。它表明，平衡流動(dòng)中典型的沿垂向的多層結(jié)構(gòu)可以通過引進(jìn)多層結(jié)構(gòu)參數(shù)沿流向(甚至展向)的變化來刻畫非平衡的復(fù)雜流動(dòng)。我們相信，這一思想可以推廣至包含激波和分離等具有二維和三維效應(yīng)的流動(dòng)，因?yàn)橹灰瘫诖嬖冢到y(tǒng)的對(duì)稱性依然是存在的，而更加復(fù)雜的流動(dòng)行為可以通過引進(jìn)參數(shù)的空間變化來實(shí)現(xiàn)。更加值得指出的是，一旦通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較得到精確的力學(xué)效應(yīng)(如升阻力系數(shù))的預(yù)測(cè)的同時(shí)，我們同時(shí)獲得了多層結(jié)構(gòu)參數(shù)沿空間的變化規(guī)律，后者正是對(duì)湍流邊界層的物理刻畫。

SED-SL是一個(gè)簡(jiǎn)潔的代數(shù)模型，代數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)是以合適的函數(shù)(常見的是各類應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù))來刻畫湍流黏性系數(shù)，從而封閉求解RANS方程，而確定這一函數(shù)的形式需要先驗(yàn)的對(duì)流動(dòng)的特性有豐富的認(rèn)識(shí)，而傳統(tǒng)代數(shù)模型參數(shù)固定且無(wú)具體物理意義(混合長(zhǎng)與流動(dòng)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系不明確)，這也是其適用范圍狹窄，精度有限的原因。而SED-SL模型通過考察各種流動(dòng)中多層結(jié)構(gòu)的具體表達(dá)，發(fā)展個(gè)性化的精確的參數(shù)化方案，并由此可以給出流動(dòng)的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而對(duì)各類流動(dòng)開展定量預(yù)測(cè)。這一模型發(fā)展的前景是樂觀的。

3.3 超聲速流動(dòng)(氣動(dòng)力+氣動(dòng)熱)的預(yù)測(cè)

高超聲速飛行涉及到高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)帶來的黏性干擾效應(yīng)，同時(shí)還存在由于分子距離增大而帶來的真實(shí)氣體效應(yīng)和稀薄氣體效應(yīng)。在這些應(yīng)用問題中，突出的是對(duì)高速飛行所帶來的氣動(dòng)加熱問題的預(yù)測(cè)。真實(shí)的情況還涉及到由此帶來的振動(dòng)激勵(lì)、離解、電離、化學(xué)反應(yīng)等一系列效應(yīng)，要完成對(duì)這一系列效應(yīng)的精確預(yù)測(cè)，沿著傳統(tǒng)的修修補(bǔ)補(bǔ)的思路前進(jìn)是難以實(shí)現(xiàn)大突破的，需要從理論層次上探索這些現(xiàn)象背后的普適物理原理[1]。這里我們聚焦在關(guān)于熱流的預(yù)測(cè)問題。

結(jié)構(gòu)系綜理論認(rèn)為，在可壓縮邊界層運(yùn)動(dòng)中，不僅存在決定動(dòng)量輸運(yùn)的應(yīng)力長(zhǎng)函數(shù)，而且擁有針對(duì)能量(內(nèi)能)輸運(yùn)的溫度長(zhǎng)函數(shù)，它們的定義如下：

(15)

(16)

由于兩個(gè)過程都受到壁面的約束，因此它們都滿足廣義李群拉伸對(duì)稱性。實(shí)踐證明，這些函數(shù)是分析可壓縮邊界層DNS數(shù)據(jù)的有力工具。例如，吳斌等[29]發(fā)現(xiàn)，在引入溫度加權(quán)因子之后，

(17)

動(dòng)量方程的總應(yīng)力和能量方程的總熱流在邊界層外區(qū)具有相同虧損形式的拉伸不變解，也同樣存在與規(guī)范壁湍流類似的多層結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)給出了一個(gè)雷諾比擬理論[29，49]，完成了對(duì)平均速度和溫度剖面的精確刻畫(詳見參考文獻(xiàn)[28])。

引入廣義雷諾比擬[49]，SED-SL模型可以開展對(duì)于熱流的預(yù)測(cè)，構(gòu)成對(duì)可壓縮平板流動(dòng)的完整預(yù)測(cè)框架[45]。如圖11～圖13所示，涵蓋的流況包括存在熱流的可壓縮平板流動(dòng)DNS算例(圖11)和實(shí)驗(yàn)流動(dòng)(圖12)，以及高超聲速尖錐流動(dòng)實(shí)驗(yàn)算例(圖13)。

對(duì)于存在壁面熱流的可壓縮平板流動(dòng)，以Ma=4.5的冷壁算例為例，圖11給出了模型計(jì)算的不同流向位置處的平均速度剖面以及平均溫度剖面與DNS數(shù)據(jù)[29]的對(duì)比，可以看到SED-SL模型預(yù)測(cè)與DNS數(shù)據(jù)的偏差在5%以內(nèi)[31]，預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)高于BL以及SA模型。

(a) 平均速度剖面

(b) 平均溫度剖面

對(duì)于存在壁面熱流的可壓縮平板流動(dòng)，對(duì)比參照的實(shí)驗(yàn)算例為Mee提供的超聲速風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果[50]，包含馬赫數(shù)5.5～6.3，雷諾數(shù)1.6×106～4.9×106冷壁下四個(gè)自然轉(zhuǎn)捩的算例，來流湍流度為0.4%，壁面溫度為常溫300 K，其他參數(shù)如表1所示。計(jì)算結(jié)果如圖12所示，可以看到SED-SL模型對(duì)于不同來流雷諾數(shù)下的熱流轉(zhuǎn)捩過程都進(jìn)行了細(xì)致精確的刻畫。

表1 超聲速平板實(shí)驗(yàn)算例的參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting for case of supersonic plate experiment

對(duì)于超聲速尖錐流動(dòng)，計(jì)算對(duì)比的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為NASA蘭利研究中心在馬赫數(shù)6超聲速風(fēng)洞所測(cè)量的數(shù)據(jù)[50]，包含八組不同流況下的尖錐流動(dòng)數(shù)據(jù)。尖錐模型長(zhǎng)635 mm，半頂角為5°，前緣鼻尖的鈍化半徑為0.002 54 mm。實(shí)驗(yàn)雷諾數(shù)的變化范圍為(0.3～2.03)×107，壁面溫度為來流總溫的0.59倍，壁溫與無(wú)窮遠(yuǎn)溫度的比值為4.838(冷壁)，來流湍流度為0.4%，具體流動(dòng)參數(shù)如表2所示。壁面熱流的計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖13所示，SED-SL模型同樣實(shí)現(xiàn)了對(duì)于不同來流雷諾數(shù)下壁面熱流的精確刻畫。

圖12 SED-SL模型(實(shí)線)對(duì)冷壁可壓縮邊界層不同雷諾數(shù)下壁面熱流的預(yù)測(cè)結(jié)果符號(hào)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[50]; 紅線為SED-SL模型的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.12 Prediction of Stanton number for compressible transitional flat plate flow under cold wall boundary conditionThe black symbols are experimental measurements [50]; the red lines are from SED-SL model

CaseReT0/KT∞/KTwall/KA2.03×107519.2663.32306.36B1.77×107519.2663.32306.36C1.41×107505.3761.63298.16D1.05×107505.3761.63298.16E9.19×106505.3761.63298.16F9.19×106449.8254.86265.39G7.22×106505.3761.63298.16H3.61×106491.4859.94289.97

對(duì)未來展望，即使在稀薄氣體中，壁面約束產(chǎn)生的對(duì)稱性約束依然存在，因此，依然可以用序函數(shù)分析方法進(jìn)行驗(yàn)證。但是，對(duì)于復(fù)雜效應(yīng)的出現(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)新的對(duì)稱破缺，需要添加新的預(yù)設(shè)，考察多層結(jié)構(gòu)在不同維度(不同統(tǒng)計(jì)量)上的表現(xiàn)。這一設(shè)想需要通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行驗(yàn)證。

針對(duì)超高空飛行器實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)難以獲取這一難題，值得指出，結(jié)構(gòu)系綜理論所實(shí)現(xiàn)的最主要的成功在于Re數(shù)的相似解。因此，從實(shí)驗(yàn)室測(cè)量結(jié)果向?qū)嶋H飛行結(jié)果進(jìn)行外推，是結(jié)構(gòu)系綜理論的一個(gè)最主要的應(yīng)用。未來，我們將針對(duì)相關(guān)工況，在刻畫壁面約束下的能量輸運(yùn)過程中，依據(jù)序函數(shù)給出的定量預(yù)測(cè)，給出雷諾數(shù)、馬赫數(shù)變化的預(yù)測(cè)。

圖13 SED-SL模型(實(shí)線)對(duì)超聲速尖錐流動(dòng)壁面熱流的預(yù)測(cè)結(jié)果。符號(hào)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[50]; 紅線為SED-SL模型的計(jì)算結(jié)果Fig.13 Prediction of wall heat flux for transitional supersonic straight cone flow. The black symbols are experimental measurements [50]; the red lines are from SED-SL model

3.4 關(guān)于流動(dòng)控制機(jī)理的研究

當(dāng)前流動(dòng)控制與湍流結(jié)構(gòu)研究密切相關(guān)，近年來隨著計(jì)算實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，對(duì)于壁面渦結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生、演化從定性上有了豐富的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到馬蹄渦、條帶渦結(jié)構(gòu)、大尺度相干結(jié)構(gòu)等多種湍流結(jié)構(gòu)，這些相干結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是時(shí)間和空間上穩(wěn)定的，與邊界層質(zhì)量、動(dòng)量、熱量的輸運(yùn)密切相關(guān)。但是盡管大多數(shù)人都認(rèn)同相干結(jié)構(gòu)對(duì)于理解壁湍流極為重要，但是對(duì)相干結(jié)構(gòu)究竟是什么，以及其在流動(dòng)中所扮演的角色依然存在著爭(zhēng)議[12]。

3.5 關(guān)于CFD技術(shù)發(fā)展

目前，CFD的發(fā)展距離高精度、高效率、高可靠性的理想依然有一定差距，其原因在于CFD理論的湍流數(shù)學(xué)模型部分基礎(chǔ)依然薄弱[3]。近年來，我國(guó)學(xué)者在CFD計(jì)算的網(wǎng)格和算法技術(shù)上已經(jīng)有了豐富的積累研究[54]，主要瓶頸還是集中在湍流模型上，此時(shí)，可靠的解析解的存在對(duì)于CFD的驗(yàn)證起著特別重要的作用。尤其在涉及大分離和轉(zhuǎn)捩等流動(dòng)的計(jì)算時(shí)。主流意見認(rèn)為，RANS方法不可能正確模擬分離，因此，國(guó)際學(xué)術(shù)界趨向于研究LES或者DES等非定常的混合算法。但是建立在空間濾波基礎(chǔ)上的LES，與建立在時(shí)間平均基礎(chǔ)上的RANS計(jì)算，其混合尚處于經(jīng)驗(yàn)的范圍[55]。我們認(rèn)為，建立在對(duì)湍流邊界層深刻認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的RANS研究仍然有廣闊的前景。隨著對(duì)規(guī)范壁湍流認(rèn)識(shí)的推進(jìn)，人們一定會(huì)從基礎(chǔ)研究層次上加深對(duì)于湍流邊界層分離的物理機(jī)理的理解，從而使工程湍流模型對(duì)分離的預(yù)測(cè)更加精準(zhǔn)。

即使對(duì)于LES或混合算法，高效的計(jì)算依然依靠對(duì)復(fù)雜流動(dòng)中的壁函數(shù)的認(rèn)識(shí)[3]，因此，結(jié)構(gòu)系綜理論對(duì)壁函數(shù)的精確刻畫會(huì)對(duì)LES和DES等混合算法的研究起到重要的作用。這也將成為今后一個(gè)階段的重要研究課題。

4 結(jié) 論

近年來，隨著計(jì)算和測(cè)量技術(shù)的進(jìn)步，湍流研究已經(jīng)積累了大量的數(shù)據(jù)。由于理論上一直沒有實(shí)質(zhì)性的突破，導(dǎo)致在湍流模型的開發(fā)中，還是一直停留在對(duì)已有模型的修補(bǔ)上。大量的修補(bǔ)使得工程應(yīng)用的湍流模型變得越來越復(fù)雜、也越來越難以控制模擬效果。針對(duì)這樣尷尬的研究現(xiàn)況，必須下大力氣，尋求根本性的突破。本文報(bào)告了結(jié)構(gòu)系綜理論在實(shí)現(xiàn)這一突破上已經(jīng)產(chǎn)生的可喜進(jìn)步。

湍流理論的突破，以能夠充分挖掘大量數(shù)據(jù)背后的普適規(guī)律為標(biāo)志。一個(gè)好的理論不僅能夠描述一種流動(dòng)，而是要能夠描述一系列工況下的流動(dòng)，尤其是要能夠比較容易地將一類型流動(dòng)的規(guī)律向其他流動(dòng)進(jìn)行推廣。結(jié)構(gòu)系綜理論已經(jīng)初步實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)，它建立的規(guī)律順利地從圓管和槽道流動(dòng)推廣到邊界層流動(dòng)，并從低速推廣到高速流動(dòng)，以及從光滑壁流動(dòng)到粗糙面(乃至大氣)的流動(dòng)。這些流動(dòng)都擁有普適的多層結(jié)構(gòu)，只是多層結(jié)構(gòu)參數(shù)隨流動(dòng)的不同而呈現(xiàn)有規(guī)律的變化。一旦從經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中確定了這些參數(shù)的變化規(guī)律，它將立刻形成一個(gè)對(duì)于相關(guān)流動(dòng)的精確刻畫。

于是，從具體流動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中驗(yàn)證對(duì)稱性原理的有效性和提取多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，就成為結(jié)構(gòu)系綜理論應(yīng)用于未來湍流研究的一個(gè)主要內(nèi)容。值得指出的是，這正是一個(gè)成熟理論的標(biāo)志，即具有將一個(gè)規(guī)律呈現(xiàn)在人們面前的同時(shí)(即驗(yàn)證原理)，還有相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析方法(即提取參數(shù))，能夠從數(shù)據(jù)中挖掘規(guī)律，并指導(dǎo)工程模型的建立。從這一點(diǎn)上來說，結(jié)構(gòu)系綜理論實(shí)現(xiàn)了一個(gè)理論上的重大突破。

于是，從結(jié)構(gòu)系綜理論出發(fā)所產(chǎn)生的湍流模型，具有傳統(tǒng)湍流模型所不具備的一個(gè)特點(diǎn)，即參數(shù)具備明確的物理意義。因此，在與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比過程中，一旦一些參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，人們立刻清楚地認(rèn)識(shí)到湍流邊界層的物理變化(例如擬渦層厚度的變化)，甚至可以追溯到流動(dòng)的哪些物理要素出現(xiàn)了變化。這一知識(shí)正是在應(yīng)用中所急需的，因?yàn)橛辛诉@樣的框架，工程師便可以大膽地對(duì)未知流動(dòng)開展參數(shù)調(diào)節(jié)的試驗(yàn)，從而有針對(duì)性的對(duì)湍流模型進(jìn)行細(xì)致而準(zhǔn)確的調(diào)整。目前，結(jié)構(gòu)系綜理論只是針對(duì)有限的一些標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行了參數(shù)確定和驗(yàn)證，相信在未來一段時(shí)間內(nèi)，隨著更多研究者的參與，它會(huì)在大量復(fù)雜流動(dòng)的計(jì)算中得到驗(yàn)證和推廣，從而建立起從規(guī)范流動(dòng)到工程標(biāo)模(翼形、壓縮拐角等)，再到實(shí)際工程復(fù)雜流動(dòng)的一條龍的多層結(jié)構(gòu)演變圖，從而實(shí)現(xiàn)各類復(fù)雜流動(dòng)的精確預(yù)測(cè)。特別需要指出的是，在這一過程中，不但工程流動(dòng)的預(yù)測(cè)會(huì)變得非常準(zhǔn)確(直抵實(shí)驗(yàn)測(cè)量的極限精度)，還會(huì)帶來工程邊界層流動(dòng)的物理信息。這些信息的日積月累，將為湍流研究提供一個(gè)不斷擴(kuò)展的知識(shí)和數(shù)據(jù)庫(kù)，從而有希望回答諸如決定轉(zhuǎn)捩點(diǎn)位置的關(guān)鍵因素是什么，有多個(gè)壁面存在下的流動(dòng)特性等關(guān)鍵的問題。

復(fù)雜系統(tǒng)研究的方法論注重經(jīng)驗(yàn)研究與理論研究之間的互相銜接和迭代。序函數(shù)概念的誕生，產(chǎn)生了一個(gè)由實(shí)驗(yàn)/計(jì)算數(shù)據(jù)出發(fā)，通過計(jì)算序函數(shù)來系統(tǒng)分析湍流結(jié)構(gòu)效應(yīng)的研究平臺(tái)。這一平臺(tái)填補(bǔ)了一個(gè)長(zhǎng)期缺失的空白，即在定性的物理機(jī)理研究與定量的工程湍流模型研究之間的空白，這一空白的填補(bǔ)使得數(shù)值模擬基礎(chǔ)研究的大量知識(shí)可以用于提升工程湍流模型的質(zhì)量?？傊?，只要有(DNS或LES或?qū)嶒?yàn))數(shù)據(jù)，序函數(shù)分析方法就能夠進(jìn)行多層結(jié)構(gòu)的定量刻畫，給出精確的參數(shù)化方案，從參數(shù)的變化當(dāng)中，可以提取流動(dòng)結(jié)構(gòu)的變化，這些物理機(jī)制的認(rèn)識(shí)，最終可以應(yīng)用到湍流模型的設(shè)置當(dāng)中。這將迎來工程湍流研究的新階段。

為什么結(jié)構(gòu)系綜理論能夠?qū)崿F(xiàn)研究方法上的突破？在于結(jié)構(gòu)系綜理論抓住了壁湍流運(yùn)動(dòng)中物理結(jié)構(gòu)的生成法則——即某種廣義拉伸不變性所描述的對(duì)稱破缺是湍流結(jié)構(gòu)生成過程中的宏觀體現(xiàn)。今天，高分辨率的數(shù)值計(jì)算給出了整個(gè)流場(chǎng)的所有細(xì)節(jié)，為我們尋找或驗(yàn)證這樣的廣義拉伸不變性提供了良好的條件。但是，這里所說的生成法則(即廣義拉伸對(duì)稱性所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱破缺)是隱藏在湍流隨機(jī)場(chǎng)中的有序物理結(jié)構(gòu)背后的，是在系綜層面上的。過去，關(guān)于湍流級(jí)竄過程的經(jīng)典描述，也屬于這一類的生成法則，在描述均勻各向同性湍流的耗散過程時(shí)受到理論家的關(guān)注。而貼近流體物理的擬序結(jié)構(gòu)研究，雖然增進(jìn)了人們對(duì)湍流物理機(jī)制的形象理解，卻忽略了背后的湍流系綜的生成法則的探討[15]，因而并沒有產(chǎn)生對(duì)應(yīng)用研究有極大推動(dòng)意義的定量結(jié)果。

結(jié)構(gòu)系綜理論所揭示的是普適的對(duì)稱破缺原理(或生成法則)，這是關(guān)于湍流脈動(dòng)場(chǎng)與平均場(chǎng)背后公共的物理機(jī)制，也就是對(duì)稱性約束的意義。對(duì)稱破缺決定了湍流平均場(chǎng)的行為，也同時(shí)約束了湍流脈動(dòng)結(jié)構(gòu)。以往關(guān)于湍流RANS方程的對(duì)稱性研究，將相似變量鎖定在平均速度上，所以長(zhǎng)期未能得到有益的結(jié)果。結(jié)構(gòu)系綜理論定義的相似變量是長(zhǎng)度序函數(shù)，是由平均場(chǎng)(平均剪切)與脈動(dòng)場(chǎng)(雷諾應(yīng)力)共同決定的。這一序函數(shù)物理上刻畫了湍流渦結(jié)構(gòu)的尺度，數(shù)學(xué)上成為定義廣義李群拉伸不變量的關(guān)鍵相似變量。這樣的理論設(shè)置抓住了湍流運(yùn)動(dòng)的物理本質(zhì)，從而方便有效并完整地刻畫了壁湍流中真實(shí)存在的物理結(jié)構(gòu)-多層結(jié)構(gòu)。

值得指出的是，多層結(jié)構(gòu)是壁湍流的本質(zhì)性結(jié)構(gòu)，它把普適性和個(gè)性、簡(jiǎn)單性與復(fù)雜性進(jìn)行了有機(jī)的統(tǒng)一。任何固壁附近的湍流都擁有形式普適的多層結(jié)構(gòu)，但不同物理?xiàng)l件下的多層結(jié)構(gòu)在定量上略有變化；對(duì)于更加復(fù)雜的非平衡流動(dòng)，多層結(jié)構(gòu)參數(shù)可以表現(xiàn)出空間或時(shí)間上的緩慢變化。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論創(chuàng)建了可以應(yīng)用于各類復(fù)雜流動(dòng)的序函數(shù)分析方法，從經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取多層結(jié)構(gòu)參數(shù)在空間的變化，從而形成對(duì)于真實(shí)復(fù)雜工程流動(dòng)的系統(tǒng)化的建模方法，用于湍流模型的開發(fā)。