胡善超，李 河，王玉雅，張 偉

(商丘工學(xué)院 土木工程學(xué)院，河南 商丘 476100)

引言

在車輛行駛過程中，路面條件對車輪及車輛性能具有較大的影響.通常在對輪胎強(qiáng)度、壽命等分析中，把路面看成一個(gè)平面.實(shí)際上，一些人為設(shè)置的臺階路面具有一定的不平整性.當(dāng)車輛行駛在上面時(shí)，輪胎會(huì)與臺階發(fā)生碰撞，產(chǎn)生碰撞力，不僅會(huì)影響乘車人的舒適性，而且磨損車輛輪胎.因此，研究車輛行駛過程中輪胎與臺階之間的動(dòng)力響應(yīng)具有重要的意義.

對于路面不平整度引起的動(dòng)力響應(yīng)問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作.如Chiu Liu[1]基于黏彈性地基梁模型，分析剛性路面不平整度引起的路面動(dòng)力響應(yīng).Alaswadko N[2]把路面不平整度分解成若干頻帶，通過分析頻帶與車輛對路面動(dòng)荷載的相關(guān)關(guān)系，得到了與車輛對路面動(dòng)荷載最相關(guān)的不平整度頻率范圍. Lee D, Chatti K[3]通過車輛對路面動(dòng)荷載的分析，提出了新的動(dòng)荷載評價(jià)指標(biāo).鐘陽[4]、孫璐[5]、陶向華[6]等人利用隨機(jī)過程理論得到了路面不平整度的功率譜密度，并以此作為輸入，把車輛簡化為兩自由度體系，分析了行駛車輛作用于路面的隨機(jī)動(dòng)壓力.徐建平[7]把路面不平整度視為正弦函數(shù)并建立了一個(gè)四自由度的車輛模型，同時(shí)考慮了汽車側(cè)傾因素，據(jù)此計(jì)算了車輛對路面的動(dòng)荷載.

本文通過對路面臺階的幾何分析，考慮車輪在行駛時(shí)與臺階發(fā)生碰撞，得到碰撞力表達(dá)式.利用傅立葉函數(shù)，將碰撞過程的瞬時(shí)力轉(zhuǎn)化為連續(xù)力.結(jié)果不僅清晰地展示了臺階路面角度一定時(shí)碰撞力與車速的關(guān)系，而且得出不同臺階路面的夾角應(yīng)采取不同的行駛速度，以減少路面對車輪的傷害，同時(shí)也可以減少車輛的能量損失，具有良好的應(yīng)用前景.

1 車輛與路面的幾何關(guān)系

車輛通過臺階路面時(shí)受力是一個(gè)復(fù)雜的過程，為了簡單直接地分析車輪在臺階路面行駛時(shí)情況，將車輛行駛過程進(jìn)行簡化.如圖1所示，車輛在通過臺階路面時(shí)，可簡化成輪胎、彈簧、頂板組成的簡易系統(tǒng).

圖1 車輪在臺階路面運(yùn)動(dòng)圖

由于臺階的長度、高低及坡度的不同，導(dǎo)致車輛行駛的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有所差異.因此，在分析其集合關(guān)系時(shí)需要考慮多種情況.正常的臺階路面導(dǎo)致車輪的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2示.

圖2 不同情況下的運(yùn)動(dòng)軌跡圖

從圖2中可以看出，當(dāng)車輪的半徑R為定值，臺階的長度L和高度H不同時(shí)，車輪從一個(gè)臺階運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)臺階路面會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果： 1)2R小于臺階的長度L時(shí)，臺階高度H與其長度L為任意比例時(shí)車輪運(yùn)動(dòng)軌跡為圖2的第二情況； 2)2R大于臺階的長度L時(shí)，車輪運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)出現(xiàn)圖2中兩種運(yùn)動(dòng)軌跡.

生活中，為了避免車輛的顛簸，設(shè)計(jì)的臺階多數(shù)使得車輪在其上運(yùn)動(dòng)軌跡為圖2中第二種情況.因此本文重點(diǎn)研究圖2中第二種車輪運(yùn)動(dòng)軌跡下的車輛受力情況.

2 車輪行駛過程力學(xué)分析

2.1 車輪行駛過程接觸分析

車輛勻速通過每一個(gè)臺階為一個(gè)周期，車輛在和臺階碰撞時(shí)，忽略水平摩擦力.碰撞的時(shí)間非常短暫(若△t3→0，則根據(jù)沖量定理F→∞)，為了所求力的合理性，令△t3=T/10.

車輛通過臺階的過程，事實(shí)上在每個(gè)周期內(nèi)并不是勻速的，車輛行駛過程十分復(fù)雜，臺階的變化導(dǎo)致車輛外力和內(nèi)力作用也是變化的.本文為了更好地借助數(shù)學(xué)模型描述車輛在臺階上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在此將車輛在臺階上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)簡化.

車輛在臺階上運(yùn)動(dòng)可以簡化成如圖3所示的三個(gè)過程： 1)t0→t1，△t1.勻加速運(yùn)動(dòng).車輛從碰撞點(diǎn)時(shí)刻t0到頂點(diǎn)t1，速度由u1→v1； 2)t1→t2，△t2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng).t1時(shí)車輪以臺階的頂點(diǎn)為軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直到接觸到下一個(gè)臺階發(fā)生碰撞； 3)t2→t3，△t3.碰撞回彈.車速由v1→u1.

2.2 碰撞下的力學(xué)控制方程

車輛的總質(zhì)量為m，剛性臺階的質(zhì)量為M(M→∞)，v1為碰撞前速度，u1為碰撞后速度，θ為碰撞前速度與臺階的夾角.

由于碰撞角和臺階路面自身的夾角相關(guān)，可得夾角關(guān)系為：

(1)

式中：θ為碰撞時(shí)速度與臺階的夾角，α為相鄰臺階的夾角.

如圖4所示.

圖4 車輪在臺階上碰撞瞬時(shí)圖

臺階的質(zhì)量M→∞，因此，在碰撞前速度v1與碰撞速度后u1未發(fā)生改變，二者皆為0.恢復(fù)系數(shù)k關(guān)系式為式(2).

(2)

因碰撞力沿n-n法線方向，故臺階斜面方向的動(dòng)量不變，得

mv1cosθ=mu1cosβ

(3)

解聯(lián)立方程，求得：

(4)

由此可得車輛碰撞后的速度u1的大小和方向決定于k.

2.3 車輪碰撞力

由圖4可見，碰撞的過程中，水平方向摩擦?xí)a(chǎn)生沖量，由于條件的限制，水平上的動(dòng)量不發(fā)生變化，只有垂直臺階平面的動(dòng)量發(fā)生變化，因此沿著斜面方向并沒有沖量的存在.

車輛碰撞力沿著法線n-n方向，而沿著切線方向的動(dòng)量不變.根據(jù)沖量定理可得：

-FΔt3=mu1sinβ-mv1sinθ

(5)

于是可以求得碰撞力F的大小為：

(6)

3 碰撞力與車輛速度及臺階路面的關(guān)系

3.1 碰撞力的傅立葉轉(zhuǎn)換

車輛所受的力與車輛在臺階上的行駛相關(guān)，當(dāng)車輛與臺階發(fā)生碰撞的時(shí)候，受到碰撞力的作用產(chǎn)生顛簸.碰撞的時(shí)間極其短暫，在一個(gè)周期內(nèi)是可以忽略不計(jì)的.

而在實(shí)際問題中，系統(tǒng)是受一種非簡諧的周期函數(shù)激勵(lì)作用，然而只要滿足某些條件，任何周期函數(shù)都可以用簡諧的收斂級數(shù)來表示.這種由簡諧函數(shù)組成的級數(shù)稱為傅立葉(Fourier)級數(shù)，對應(yīng)級數(shù)就是簡諧激勵(lì)作用的響應(yīng)問題，利用疊加原理，周期激勵(lì)的響應(yīng)則等于各簡諧分量引起響應(yīng)的總和.

本文中，由于路面不平整導(dǎo)致車輪發(fā)生碰撞，從而產(chǎn)生碰撞力.車輛在運(yùn)動(dòng)過程中受碰撞力的作用產(chǎn)生振動(dòng).周期激勵(lì)函數(shù)滿足：

F(t)=F(t±jT) (j=1,2,3,…)

(7)

式中T為周期.

將F(t)展開為傅立葉級數(shù)：

(8)

式中頻率ω=2π/T為函數(shù)F(t)的基頻，基頻的整數(shù)倍稱為諧頻，其基本頻率作為第一頻率.上式表明一個(gè)復(fù)雜的周期激勵(lì)函數(shù)可以表示為一系列諧頻的多個(gè)簡諧函數(shù)的疊加.式(8)中的系數(shù)a0、aj、bj可由下式確定.

(9)

(10)

式(9)和(10)分別表示函數(shù)F(t)中簡諧分量cos(jωt)和sin(jωt)的參與程度，注意到a0/2代表F(t)的平均值.只要定義的aj和bj的積分存在，用傅立葉級數(shù)表示函數(shù)F(t)總是可能的.如果F(t)不能以函數(shù)表示，可以近似模擬計(jì)算.

當(dāng)車輛在臺階上出現(xiàn)碰撞時(shí)，雖然碰撞產(chǎn)生的力是瞬時(shí)的，但是坐在車上的人所感受到的卻并不是瞬時(shí)力，這是因?yàn)檐嚿嫌休S承，而軸承的作用就像一根彈簧.當(dāng)車輛碰撞那一瞬間，相當(dāng)于對彈簧產(chǎn)生力的作用，而彈簧需要將這個(gè)力傳遞給坐在車上的人.所以人感受到的力為一個(gè)變化的函數(shù)，通過對感受到的力進(jìn)行傅立葉(Fourier)變換，可以得到人受到水平和豎直兩個(gè)方向力的方程.

水平力經(jīng)過傅立葉變換，為：

(11)

豎直力經(jīng)過傅立葉變換，為：

(12)

當(dāng)車輛發(fā)生碰撞時(shí)，可將車輛簡化如圖5所示，該模型中車輛在水平和豎直的方向力可以簡化成兩個(gè)具有彈性的軸承結(jié)構(gòu)的力FX和Fy，其中簡化的彈性軸承的彈性系數(shù)分別為kx=2KN/m，ky=1KN/m.

圖5 車輛模型簡化圖

利用達(dá)朗博原理構(gòu)建如下微分方程：

(13)

在式(13)中bx和by為阻尼系數(shù)，又因?yàn)楸疚闹锌紤]的是無阻尼系統(tǒng)，故bx和by為零.由上式(11)和式(12)可知，可將式(13)轉(zhuǎn)換為一階微分方程組:

(14)

這個(gè)方程組是用每個(gè)狀態(tài)變量的變化率來描述系統(tǒng)狀態(tài)的變化規(guī)律的.將式(14)改寫成如下矩陣形式：

(15)

3.2 車輛運(yùn)行仿真

臺階路面角度一定時(shí)，產(chǎn)生的碰撞力與車速相關(guān)，△t3與車速成反比關(guān)系，車速越大，△t3的時(shí)間越短.因此，采用沖量定理求碰撞力，碰撞力與速度的關(guān)系如圖6.

圖6 豎直碰撞力與速度的變化曲線

從圖6中可以看出，速度為5 m/s時(shí)，隨著臺階路面的角度的增加，碰撞力逐漸加大；臺階角度一定時(shí)，豎直碰撞力隨著車輛的行駛速度的增加而增大.

4 結(jié)語

本文研究了車輛通過臺階路面的受力情況，首先分析了車輪尺寸與臺階尺寸之間的幾何關(guān)系；其次分析了車輪與臺階路面碰撞過程的力學(xué)關(guān)系；最后運(yùn)用MATLAB對力學(xué)關(guān)系式進(jìn)行求解，可以得到以下結(jié)論：

1)分析表明，臺階路面的角度和車輛行駛的速度對碰撞力有一定的影響，表現(xiàn)為臺階路面的角度一定時(shí)，隨著速度的增大，碰撞力越大，從而碰撞力的水平分力和豎直分力就越大.速度為10 m/s時(shí)的豎直碰撞力最大值為速度為5 m/s豎直碰撞力最大值的4倍.因此，在保證能通過臺階路面的情況下，速度要盡可能的小.

2)速度一定時(shí)，隨著臺階路面的角度的變化，碰撞力不斷增大.增長速率隨著角度的增大不斷的減小.

3)碰撞的水平分力和豎直分力與臺階路面的夾角有關(guān)，臺階路面的夾角越大，水平碰撞力就越大，由于車輛是水平運(yùn)行的，其碰撞后的加速度是沿著水平方向的，因此，在臺階路面的角度較大時(shí)，保持低速行駛，可以減少路面對車輪的傷害，同時(shí)也可以減少車輛的能量損失.