判別常數(shù)項級數(shù)斂散性易犯錯誤分析研究

景慧麗

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

引言

無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具[1]251.總體來說，無窮級數(shù)包括兩部分內(nèi)容：常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，而函數(shù)項級數(shù)的很多性質(zhì)和結(jié)論都是借助于常數(shù)項級數(shù)得到的，所以，常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別尤其重要.在高等數(shù)學(xué)課程中判斷常數(shù)項級數(shù)斂散性的方法有很多，如利用級數(shù)收斂與發(fā)散的概念、利用收斂級數(shù)的性質(zhì)、利用比值審斂法、利用萊布尼茨定理[1]265等等.每種方法也都有自己的使用條件和使用范圍,例如，比值審斂法只適用于正項級數(shù)，而萊布尼茨定理只適用于交錯級數(shù).但是，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在判斷常數(shù)項級數(shù)的斂散性時經(jīng)常出錯，他們不考慮判別法則成立的條件，誤用、亂用情況經(jīng)常發(fā)生.為了幫助學(xué)員掌握并能熟練應(yīng)用常數(shù)項級數(shù)斂散性判別方法，筆者把學(xué)員在解題時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行了分析總結(jié)，歸納了常見的錯誤類型，并且就每種錯誤給出了例題、錯解分析及正確解法.

1 利用級數(shù)收斂的必要條件來判斷級數(shù)收斂

2 顛倒級數(shù)收斂與級數(shù)的和的邏輯順序

[正確解法] 本題有兩種解法.

解法一：利用等比級數(shù)的結(jié)論，即由于該級數(shù)是公比q=2的等比級數(shù)，由于|q|=2>1，因此該級數(shù)發(fā)散.

3 用錯誤的性質(zhì)來判斷級數(shù)的斂散性

4 亂用比較審斂法(或比較審斂法的極限形式)

5 誤把比值審斂法理解為充要條件

[錯解] 令un=2-n+(-1)n，則

[正確解法] 本題應(yīng)用正項級數(shù)的根值審斂法進(jìn)行判定

令un=2-n+(-1)n，則

[正確解法] 本題應(yīng)用正項級數(shù)的比較審斂法進(jìn)行判定.

又u3即u3

下面用歸納法證明對任意的n，有un+1成立.

假設(shè)un則un+1即un+1成立.

注5 比較審斂法、比較審斂法的極限形式、比值審斂法及根植審斂法都只適應(yīng)于正項級數(shù)，而且這些判別法都是充分不必要的.萊布尼茨定理只適應(yīng)于交錯級數(shù)，而且也是充分不必要的，當(dāng)定理的條件成立時，只能得到級數(shù)收斂的結(jié)論，當(dāng)不滿足定理的條件時，是不能得到級數(shù)發(fā)散的結(jié)論的.

6 結(jié)語

以上就是學(xué)員在判別常數(shù)項級數(shù)斂散性時易犯的錯誤，其實只要學(xué)員理解了級數(shù)的概念、性質(zhì)，掌握了判別級數(shù)斂散性方法成立的條件及使用范圍，上述錯誤都是可以避免的.另外，教員要正確看待這些“錯題”資源，這些都是非常寶貴的教學(xué)資源，正如心理學(xué)家蓋耶所說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻.”[3]在教學(xué)中，教員要主動挖掘?qū)W員“錯題”中的“閃光點”，及時進(jìn)行探究、分析和講評，既可以為學(xué)員創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機會，提高教學(xué)質(zhì)量，還可以培養(yǎng)學(xué)員的問題意識，培養(yǎng)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力[4].