鄭向陽,張領科,符少波

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院,江蘇 南京210094;2.西安北方惠安化學工業(yè)有限公司,陜西 西安710300)

火炮的內彈道設計是整個武器系統設計的核心,設計的目標是確定滿足指標的裝填條件和膛內構造參數等。為了提高發(fā)射藥裝填密度,通常將粒狀發(fā)射藥表面用石墨處理增加光滑度[1]。因此,摩擦系數的測定對研究發(fā)射藥顆粒間摩擦系數對裝填密度的影響具有重要的意義?；瑒幽Σ恋难芯亢屠碚撦^為成熟,對于滾動摩擦的研究和測量相對較少,如何測定滾動摩擦系數是核心和重點[2]。

在顆粒摩擦系數研究中,離散單元法發(fā)揮了越來越重要的作用。Zhao等[3]通過離散單元法探討了滑動摩擦系數及滾動摩擦系數對堆積形成的影響,發(fā)現顆粒堆的形態(tài)是由滑動摩擦和滾動摩擦共同決定的;Nakashima等[4]得出顆粒的滾動摩擦系數對沙堆堆積角起決定作用,兩者近似呈線性關系,受重力和顆粒半徑影響很小;Ai等[5]對比了各種滾動阻力模型下模擬的沙堆堆積模型,認為傳統的離散單元法將法向和切向的顆粒接觸簡化為阻尼和彈簧組合模型,對沙堆測量具有適用性;Ann-Sofie等[6]通過點源法模擬顆粒的堆積過程,得出顆粒間的滑動和滾動摩擦系數會對顆粒的流動性和堆積角產生較大影響;李貝等[7]提出一種滾動摩擦系數工程化測量方法,并通過對比實際堆積角與模擬堆積角,驗證了測量的準確性。

本文以表面涂有石墨的發(fā)射藥顆粒為研究對象,采用傳統的斜面儀來測量發(fā)射藥間的靜摩擦系數。對于滾動摩擦系數的測定,基于離散單元法,模擬了一種點源式的堆積過程,獲得模擬堆積角與滾動摩擦系數間的線性擬合方程,并基于實驗堆積角進行參數標定來確定滾動摩擦系數,最后通過二次模擬來驗證所測參數的準確性。

1 靜摩擦系數的測定

1.1 實驗原理

靜摩擦系數測量原理如圖1所示,A為可調節(jié)角度的斜面儀,為了測量物體B與A接觸面間的靜摩擦系數μs,將物體B放置在A的斜面上,調節(jié)斜面的角度,當B剛好處于將要滑動的狀態(tài)時,記斜面與水平面間的夾角為α,則

式中:W為物體B所受的重力。

圖1 靜摩擦系數測量原理圖

1.2 實驗方法

本實驗采用如圖2(a)所示的斜面儀測量發(fā)射藥顆粒間的靜摩擦系數。該裝置包括:可調節(jié)支架、平板、雙面貼和發(fā)射藥顆粒。首先,將雙面貼粘貼在平板上,再選取圓柱形發(fā)射藥緊湊排列地粘貼在雙面貼上,如圖2(b)所示,再將平板放置在可調節(jié)支架上,通過可調節(jié)支架來調整平板的傾斜角,最后隨機選取幾粒梅花形發(fā)射藥放置在排列的圓柱形發(fā)射藥上(圓柱形與梅花形發(fā)射藥表面均為石墨材料,實驗表明它們的靜摩擦系數近似相等),改變可調節(jié)支架的傾角使發(fā)射藥剛好處于有滑動趨勢的狀態(tài),再用量角儀測量此時斜面儀的夾角。

圖2 靜摩擦系數測量實驗圖

進行多次實驗測量并取平均值,得出斜面傾斜角為9°～9.5°,從而可得發(fā)射藥顆粒間靜摩擦系數μs為0.158～0.167。

2 滾動摩擦系數的測定

目前,對非圓顆粒滾動摩擦系數的測定還沒有準確成熟的測量方法,當顆粒的某參數未知時,參數標定的方法是一種有效便捷的研究手段,當模擬過程中調節(jié)或擬合出的顆粒參數值符合實驗結果時,可認為該值為顆粒參數值。

文獻[8-9]通過改變斜面傾角測量出橢球形糙米顆粒的靜摩擦系數,基于離散單元法模擬顆粒堆積過程,得出模擬堆積角與動摩擦系數的線性關系,再運用實驗所測堆積角進行參數標定;王云霞等[10]通過設計2種不同的玉米顆粒堆積實驗,分別測出堆積角,再經過離散元模擬后得出2種實驗各自的模擬堆積角與靜摩擦系數和滾動摩擦系數的二元回歸方程,將實驗所測堆積角分別代入各自方程,聯立計算出靜摩擦系數與滾動摩擦系數。

本文基于上述學者的研究,采用離散單元法[11]模擬發(fā)射藥顆粒的堆積過程,測定發(fā)射藥顆粒間的滾動摩擦系數。步驟如下:進行發(fā)射藥顆粒堆積實驗,建立發(fā)射藥顆粒離散元模型,確定顆粒接觸模型,進行離散元模擬和參數標定,二次模擬驗證。

2.1 發(fā)射藥顆粒堆積實驗

設計了一種點源式的顆粒堆積實驗,實驗原理如圖3所示。

圖3 顆粒堆積實驗原理示意圖

在平臺上方固定一漏斗,漏斗下口離地面約9 cm,在漏斗上口處傾倒發(fā)射藥顆粒,發(fā)射藥選用14/19梅花發(fā)射藥,顆粒在重力的作用下做自由落體運動,從漏斗下口處流出,逐漸在平臺上形成顆粒堆,然后測量顆粒堆的堆積角。為了排除發(fā)射藥顆粒與平臺之間的摩擦對顆粒堆形態(tài)產生的影響,事先在平臺上鋪滿了一層發(fā)射藥顆粒,這樣,顆粒的堆積可視為只有顆粒之間產生了堆積摩擦。形成的顆粒堆如圖4所示。

圖4 實驗顆粒堆

在測量顆粒堆堆積角時采用GetData圖像處理獲得邊界輪廓線,并獲取擬合方程,得到方程的斜率k,如圖5所示,圖中,x,y為圖像的像素點。

圖5 邊界輪廓圖像處理

令堆積角為θ,則

(1)

處理后得到的實驗堆積角θ=23.46°。

2.2 發(fā)射藥顆粒離散元模型

本文以實驗中的14/19梅花發(fā)射藥顆粒為研究對象,模擬所需的發(fā)射藥物性參數來自參考文獻[12],如表1所示,藥型參數數據由工廠提供,如表2所示,表中,ν為發(fā)射藥泊松比;ρ為發(fā)射藥密度;G為發(fā)射藥剪切模量;μs為發(fā)射藥間靜摩擦系數;e為發(fā)射藥間恢復系數;d0,e2,2c分別為發(fā)射藥孔徑、弧厚和長度。

表1 模擬所需材料物性參數

表2 14/19梅花發(fā)射藥藥型參數

EDEM為目前功能最強大、應用最廣泛的離散元建模模擬軟件[13],可導入SolidWorks所建立的發(fā)射藥三維模型,以此為顆粒模板建立發(fā)射藥離散元模型。根據表2藥型參數建立的SolidWorks三維模型如圖6所示,離散元模型如圖7所示。

圖6 14/19梅花發(fā)射藥三維模型

圖7 14/19梅花發(fā)射藥離散元模型

目前EDEM通過選用多個球形顆粒填充顆粒模板的方式來建立顆粒離散元模型,因此所建立的離散元模型與顆粒模板存在一定的差異,但顆粒模板對離散元模型的建立起著重要的約束和規(guī)劃作用。

2.3 顆粒接觸模型與離散單元法

發(fā)射藥顆粒模型視為軟球模型[11],即模擬顆粒間的碰撞過程時,視碰撞發(fā)生在一小段時間范圍內,半徑分別為R1和R2的顆粒發(fā)生了接觸碰撞,顆粒間碰撞面產生的法向重疊量為δn,接觸半徑為Ra,如圖8所示。再由接觸模型公式計算得到接觸力F和接觸力矩T,即力-位移關系。

圖8 軟球模型

發(fā)射藥顆粒視為非粘連顆粒,基于以上假設,顆粒的接觸模型采用Hertz-Mindlin無滑動接觸模型[14-15],如圖9所示。該模型將顆粒間在接觸點的碰撞分解到法向和切向2個方向,接觸力簡化為彈簧和阻尼器的并聯,Kn和Kt分別為法向和切向彈性系數,dn和dt分別為法向和切向的阻尼系數。

圖9 接觸力學模型

顆粒在堆積過程中主要受自身重力mig,顆粒間法向、切向碰撞接觸力Fn,Ft,法向、切向阻尼力Fn,d,Ft,d,還受切向力造成的力矩和滾動摩擦力矩Tt和Tr,根據牛頓第二定律,得到顆粒的運動方程:

(2)

在上述力和力矩的作用下顆粒發(fā)生移動和滾動,在運動過程中顆粒所受到的力和力矩[13]如下。

法向接觸力:

式中:E*為等效彈性模量;Ei,Ej分別為顆粒i,j的彈性模量;νi,νj分別為顆粒i,j的泊松比;R*為等效顆粒半徑;Ri,Rj分別為顆粒i,j的半徑。

法向阻尼力:

式中:

式中:β為與恢復系數e相關的參數,kn為法向彈性系數,m*為等效質量,vn,rel為法向相對速度。

切向接觸力:

Ft=-ktδt

式中:

式中:kt為切向彈性系數,δt為切向重疊量,G*為等效剪切模量。

南水北調中線工程渠漳古段SG3標道樁號74+660至75+095段屬于I型（輕微）—II（中等）級濕陷性黃土場地。該段渠道筑堤工程早已完成施工，后發(fā)現該段黃土地基具有濕陷性，不僅在南水北調工程中具有代表性，在其他水利工程中特別是處理舊有渠道地基問題上也具有廣泛的代表性。由于該段屬于筑堤完成后發(fā)現黃土的濕陷性，且該段筑堤高度在原地面以上均超過了6m，選擇方案時面臨著巨大的土方工程量增加的困難，加之南水北調中線工程工期和工地周邊土源緊張導致外購土困難，給解決該地基問題帶來了諸多制約因素。

切向阻尼力:

式中:vt,rel為切向相對速度。

力矩:

Tt=Ri×(Ft+Ft,d)
Tr=-μrFnRiωi

式中:μr為滾動摩擦系數,Ri為顆粒半徑,ωi為顆粒在接觸點處的單位角速度向量。

利用中心差分對式(2)進行數值積分得到顆粒的更新速度:

(3)

式中:Δt為時間步長。

對式(3)進行積分得到時間步長結束時的位移:

(4)

由此得到顆粒新的位移值,將該位移值代入力-位移關系中便可計算顆粒所受新的作用力。基于牛頓第二定律,新的作用力便用于求解下一時間步長顆粒新的位移值,如此進行循環(huán)計算,便可實現對顆粒運動的跟蹤,這便是離散單元法的基本求解過程,如圖10所示。

圖10 離散單元法計算循環(huán)

2.4 離散元模擬與參數標定

模擬方法和過程與實驗應盡量保證一致,如圖11所示,漏斗上口處為在EDEM中創(chuàng)建的顆粒工廠[13],用于生成發(fā)射藥顆粒的離散元模型。將顆粒工廠設置為生成位置隨機的14/19梅花發(fā)射藥顆粒,顆粒在重力的作用下做自由落體運動,最終落在地面上,逐漸形成顆粒堆。在模擬中所建立的漏斗模型與圖3中實驗所用的漏斗形狀尺寸完全相同。實驗中所傾倒的發(fā)射藥總質量為2 kg,14/19梅花發(fā)射藥單個顆粒質量約為1.36 g,因此,顆粒工廠大約生成1 500個顆粒。

圖11 模擬過程

為了分析滾動摩擦系數μr對模擬堆積角θ的影響,μr分別取0.04,0.06,0.08,0.10,其余參數取值均相同;靜摩擦系數μs取實驗測量值0.16。通過模擬獲得不同μr對應的模擬顆粒堆,如圖12所示。

圖12 不同μr的模擬顆粒堆

對圖12(a)～12(d)的顆粒堆進行邊界輪廓圖像處理,獲取模擬堆積角。為了提高模擬堆積角測量的精度,對顆粒堆4個方向(x,y軸正、負方向)的邊界輪廓進行圖像處理再取其斜率|k|的均值,結果如表3所示。

表3 斜率擬合結果

表3中μr對應的模擬堆積角θ分別為21.8°,22.7°,23.8°,24.6°,可見隨著顆粒滾動摩擦系數的增大,顆粒堆的堆積角近似呈線性增大趨勢,比較符合Nakashima的研究結果。將μr與θ的值進行線性擬合得到擬合方程:

θ=47.5μr+19.9

(5)

實驗中所測堆積角θ=23.46°,將其代入到式(5)中,得到滾動摩擦系數μr=0.076。

2.5 二次擬合

為了對該標定值進行驗證,取發(fā)射藥顆粒的滾動摩擦系數μr=0.076,其他參數取值不變,進行堆積過程的二次模擬,結果如圖13所示,由圖13可得模擬顆粒堆與圖4實驗顆粒堆的形態(tài)十分相似。

圖13 二次模擬顆粒堆

為了對比結果的相似程度,對圖13顆粒堆的邊界輪廓進行圖像處理,得到的模擬堆積角約為23.61°,接近實驗值23.46°,說明參數標定法測量滾動摩擦系數可行,同時也是一種有效便捷的研究手段。

3 模塊裝填模擬

為了探究發(fā)射藥顆粒間摩擦系數對裝填密度的影響,將摩擦系數取不同值,對口徑為122 mm的模塊進行發(fā)射藥裝填模擬。模塊裝藥為目前大口徑火炮裝藥技術的發(fā)展方向,裝填密度的計算主要基于每個模塊的裝藥量,而模塊的裝藥量主要取決于模塊形狀、發(fā)射藥的藥形、摩擦系數和裝填狀態(tài)等。因此,運用EDEM進行裝填過程的模擬,應保證除摩擦系數外的其他因素相同,裝填狀態(tài)初步設為自然裝填,未發(fā)生振動。此外,還需建立模塊的幾何模型,模塊為圓柱形容器,經實驗測量,口徑為122 mm,高度為150 mm,如圖14所示。

圖14 口徑為122 mm的模塊

建立的模塊幾何模型如圖15所示,模型上方的圓柱形區(qū)域為顆粒工廠,用于生成發(fā)射藥顆粒的離散元模型。生成的顆粒模型在重力的作用下做自由落體運動,最終落到模塊容器中,直至裝滿模塊,以此來模擬自然裝填過程。最后根據裝滿模塊所需生成發(fā)射藥顆粒的數量及單顆發(fā)射藥顆粒的質量,來近似計算模塊的裝藥量和裝填密度。

顆粒工廠生成的是14/19梅花發(fā)射藥模型。模擬時將發(fā)射藥顆粒間靜摩擦系數μs取實驗測量值0.16,滾動摩擦系數μr取標定值0.076。當發(fā)射藥裝滿模塊時,模擬結果如圖16所示,大約需要1 220個顆粒,經實驗測量得到的單顆平均質量約為1.36 g,可得此時的裝藥量約為1.660 kg。

圖15 模塊幾何模型及模擬過程

圖16 裝滿發(fā)射藥的模塊

為了探究摩擦系數對裝填密度的影響,改變μs與μr的值,其他模擬條件不變,模擬模塊裝滿發(fā)射藥所需的顆粒數(裝藥量)。實驗中所選取的發(fā)射藥顆粒表面已涂有石墨材料,比較光滑,因此可將μs與μr的值調大,來模擬顆粒表面比較粗糙時(可視為未涂有石墨材料)的情況。

先將μs的值調大,取模擬值0.4,μr的值不變,重復模擬過程?？紤]到若生成原有顆粒數1 220時可能產生較多的顆粒溢出,因此設置顆粒工廠先生成1 155個顆粒,觀察模擬結果,如圖17所示。

圖17 μs調大后的模擬結果

可見,當μs的值調大后,雖然生成的顆粒數比之前少了,但發(fā)射藥依然裝滿了模塊,甚至略有溢出。

再將μr的值調大,取模擬值0.2,μs不變,取模擬值為0.4,當同樣生成1 155個顆粒時,觀察模擬結果,如圖18所示。

可見,當μr的值調大后,同樣生成1 155個顆粒時,模塊所裝發(fā)射藥的狀態(tài)較之前顯得更加飽滿,且有部分顆粒溢出。

圖18 μr調大后的模擬結果

在發(fā)射藥自然裝填模塊的模擬中,可以觀察到,通過改變μs與μr的值,模塊裝滿發(fā)射藥的模擬結果產生了較大的差異。顆粒間的摩擦系數較小時,模塊可以裝更多的發(fā)射藥顆粒,即裝藥量和裝填密度比較大;當摩擦系數調大后,由于顆粒表面的粗糙程度加大,模塊的裝藥量也隨之產生了明顯的下降,這說明摩擦系數對裝填密度的影響是一個不可忽略的因素。

4 結論

①模擬結果與所設計實驗的結果較接近,這說明了模擬中顆粒的物性參數、離散元模型和接觸模型等選擇的合理性。

②SolidWorks所建立的發(fā)射藥三維模型可導入到EDEM中,作為顆粒模板為顆粒離散元模型的建立起著重要的約束和規(guī)劃作用。

③發(fā)射藥顆粒堆積實驗和模擬結果說明,顆粒堆積角隨著顆粒間滾動摩擦系數的增大而增大,二次擬合驗證了參數標定法測量滾動摩擦系數的可行性。

④對模塊裝填的模擬初步揭示了發(fā)射藥顆粒間的摩擦系數對裝填密度的影響,結果表明,隨著摩擦系數的增大,模塊所裝發(fā)射藥的顆粒數越小,裝填密度越小,說明摩擦系數對裝填密度的影響是一個不可忽略的因素。