吳玉彬，張合新，朱開銳，李國(guó)梁，惠俊軍

（1. 火箭軍工程大學(xué)控制工程系，陜西 西安 710025；2. 中國(guó)人民解放軍陸軍重慶軍代局，重慶 400060；3. 中國(guó)人民解放軍96037部隊(duì)，陜西 寶雞 721013）

時(shí)滯現(xiàn)象常存在于導(dǎo)彈的制導(dǎo)、飛行器的控制與航天系統(tǒng)當(dāng)中，例如某液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)的燃燒過程就包含了非常明顯的時(shí)滯，其動(dòng)態(tài)模型可簡(jiǎn)化為一個(gè)不穩(wěn)定的時(shí)滯系統(tǒng)[1-2]。在系統(tǒng)的分析與控制器的設(shè)計(jì)中，如果忽略時(shí)滯的影響，往往導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定以及性能的下降。因而近年來，時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制問題成為一個(gè)熱點(diǎn)的研究領(lǐng)域[3-7]。而對(duì)于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)而言，燃燒不穩(wěn)定性問題一直是困擾其技術(shù)發(fā)展的難題。當(dāng)發(fā)生不穩(wěn)定燃燒時(shí)，燃燒室內(nèi)壓力振蕩會(huì)給系統(tǒng)的敏感制導(dǎo)元件以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)帶來破壞性的影響[8]。因此，如何設(shè)計(jì)反饋控制器以改善燃燒過程的穩(wěn)定性能，成為學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)問題[9-11]。

文獻(xiàn)[12-14]討論了在狀態(tài)反饋控制器作用下系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，但所給出的控制器都要求能夠精確實(shí)現(xiàn)，不具有魯棒性。在控制器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)中，由于硬件和軟件等原因，不同程度上或多或少都存在一定的不確定性[15]。當(dāng)控制器參數(shù)存在攝動(dòng)時(shí)，常規(guī)的魯棒控制器表現(xiàn)出高度的脆弱性，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)的性能下降甚至控制器失效。非脆弱控制[16]的提出，彌補(bǔ)了這一不足，它不僅考慮被控對(duì)象的不確定性，而且考慮控制器增益本身的不確定性，因而更具適應(yīng)性。文獻(xiàn)[17-19]和文獻(xiàn)[20-21]分別針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問題和非脆弱保性能控制問題進(jìn)行了深入研究。在這些研究中，主要圍繞如何降低所得結(jié)論的保守性和滿足一定的性能指標(biāo)而展開。因此，如何選取合適的L-K泛函和界定條件，進(jìn)一步得到保守性更小的時(shí)滯相關(guān)條件從而設(shè)計(jì)有效的控制器便成為目前時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制綜合的首要問題。

本文中針對(duì)某液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)燃燒模型，在假定控制器增益存在加性不確定的條件下，提出一個(gè)形式簡(jiǎn)單、保守性更低的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)。該判據(jù)借助于一種新型的時(shí)滯分割法，把時(shí)滯區(qū)間分割成不均勻的兩部分，針對(duì)每一分割區(qū)間構(gòu)造新的L-K泛函，并采用新的積分不等式和交互式凸組合技術(shù)給出不包含任何多余參量的LMI形式結(jié)論。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了魯棒非脆弱控制器。模擬結(jié)果表明，該控制器允許控制器增益存在一定范圍內(nèi)的攝動(dòng)，改善了傳統(tǒng)魯棒控制器的鎮(zhèn)定效果，具有更強(qiáng)的魯棒性。

1 問題描述

考慮帶有反饋伺服機(jī)構(gòu)的單一燃料液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)系統(tǒng)，系統(tǒng)描述見文獻(xiàn)[9-10]。在假定非恒穩(wěn)流動(dòng)并考慮一致滯后情況下，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程[1-2]為：

圖1 燃燒室燃燒過程的自由運(yùn)動(dòng)曲線Fig. 1 Free motion of combustion in chambers

針對(duì)系統(tǒng)(1)定義如下性能指標(biāo)

為了方便穩(wěn)定性判據(jù)的證明，現(xiàn)將下一步需用到的引理歸納如下：

引理1[4]。假定任意的正定矩陣，標(biāo)量和向量函數(shù)：，則有以下不等式成立：

引理2[6]。假定任意的正定矩陣，標(biāo)量h＞0和向量函數(shù)：，則有以下不等式成立：

引理3[7]。假定任意的正定矩陣，標(biāo)量，，向量函數(shù)：，則有以下不等式成立：

式中：

引理4[21]。給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣和，則有，對(duì)任意滿足的成立的充要條件是存在標(biāo)量，使得：

2 時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)

針對(duì)系統(tǒng)（1）～（2），考慮如下一類具有區(qū)間變時(shí)滯的線性系統(tǒng)：

則系統(tǒng)(5)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的擾動(dòng)抑制水平。

式（6）中：

式中：

由引理1與引理2可得：

式中：

由引理3可得：

同樣可以得到：

式中：

即

如果

那么

式中：

式中：

式中：

如果

那么

對(duì)式(19)或式(30)應(yīng)用引理3，則其等價(jià)于式(6)。證畢。

針對(duì)式（1）～（2）描述的系統(tǒng)，考慮如下一類不確定時(shí)滯系統(tǒng)：

針對(duì)系統(tǒng)（34），本節(jié)在上一節(jié)有界實(shí)判據(jù)的基礎(chǔ)上，給出非脆弱控制器的設(shè)計(jì)方法。

則不確定系統(tǒng)(34)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的擾動(dòng)抑制水平,且控制器增益。

式中：

證明：由于定理1中式(6)給出的條件為非線性矩陣不等式，不能直接得到控制器的解。下面給出控制器的設(shè)計(jì)方法，首先將式(6)中的不確定項(xiàng)（即含項(xiàng)）分離，即

進(jìn)而對(duì)式(37)應(yīng)用Schur補(bǔ)可得

4 火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程仿真

4.1 自由系統(tǒng)穩(wěn)定性能分析

MADB (maximum allowable delay bound) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界值，是時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論保守性最普遍的衡量標(biāo)準(zhǔn)；MAPI (minimum allowable performance index) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最小允許性能指標(biāo)值，是時(shí)滯系統(tǒng)在零初始條件下所具有的擾動(dòng)抑制水平的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

下面考慮一類具有區(qū)間變時(shí)滯的線性系統(tǒng)，形如式（1）所示，其系統(tǒng)參數(shù)如下：

表1 不同的H 性能指標(biāo)ρ，模擬給出的MADB值hMTable 1 The maximum allowable delay bound hM for a given ρ

表1 不同的H 性能指標(biāo)ρ，模擬給出的MADB值hMTable 1 The maximum allowable delay bound hM for a given ρ

hM ρ=2.0 ρ=2.5 ρ=3.0 ρ=3.5 ρ=4.0文獻(xiàn)[16] 0.405 7 0.466 0 0.504 7 0.531 6 0.551 5文獻(xiàn)[17] 0.405 7 0.466 0 0.504 6 0.531 6 0.551 5文獻(xiàn)[18] 0.420 3 0.477 9 0.514 6 0.540 1 0.558 9文獻(xiàn)[4] 0.473 4 0.523 7 0.554 5 0.575 4 0.590 4文獻(xiàn)[19] 0.662 0 0.704 0 0.730 0 0.747 0 0.759 5定理1 0.957 1 1.013 6 1.056 5 1.081 2 1.092 7來源

表2 不同的MADB值hM，仿真給出的MAPI值ρTable 2 The minimum allowable performance index ρ for a given hM

4.2 參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性

將非脆弱控制器代入燃燒過程方程，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 非脆弱H∞控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig. 2 Response of system under non-fragile H∞ controller

從圖2可知，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)和控制器增益存在不確定性時(shí)，該系統(tǒng)不僅具有魯棒性而且是非脆弱的，燃燒過程得到了較好的鎮(zhèn)定，系統(tǒng)能滿足一定的性能指標(biāo)要求，控制器具有足夠的調(diào)節(jié)余地，系統(tǒng)的可靠性更高。

圖3 不同控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)Fig. 3 Response of under different controller

圖4 控制器對(duì)時(shí)滯參數(shù)的魯棒性Fig. 4 Robust performance of controller to variation of

5 結(jié) 論

（1）通過構(gòu)造包含四重積分項(xiàng)的L-K泛函以及采用新穎的積分不等式來界定交叉項(xiàng)，給出了保證燃燒過程穩(wěn)定并具有給定性能指標(biāo)的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)引理；

（2）在有界實(shí)引理的基礎(chǔ)上，通過求解線性矩陣不等式的可行解來獲得控制器的參數(shù)化表達(dá)式，進(jìn)而設(shè)計(jì)了一種無需參數(shù)調(diào)整并易于求解的魯棒非脆弱控制器；

（3）通過仿真實(shí)例對(duì)比驗(yàn)證了所提出的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)引理的有效性以及所設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱控制器的優(yōu)越性。

從圖4可以清晰地看到，在本文設(shè)計(jì)控制器作用下，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)δ逐漸增大時(shí)，燃燒過程中狀態(tài)變量x2(t)逐漸趨于不穩(wěn)定，但是在內(nèi)，燃燒過程狀態(tài)變量x2(t)仍然是可鎮(zhèn)定的；需要說明的是，上面的模擬是在并且的情形下進(jìn)行的，也就是說本文所設(shè)計(jì)控制器增益值滿足一定攝動(dòng)性，因而提升了燃燒過程的可靠性和魯棒性。