探析數(shù)學(xué)概念在幾何最值問題中的有效應(yīng)用

蘇海青

【摘要】? ? 本文將立足幾何最值問題，探析數(shù)學(xué)概念在幾何最值問題中的有效應(yīng)用，以期為有識之士提供一些參考，把握幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，構(gòu)建幾何最值問題的邏輯方法體系。

【關(guān)鍵詞】? ? 數(shù)學(xué)概念? ? 幾何學(xué)? ? 最值問題

引言：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要堅(jiān)持以數(shù)學(xué)概念作為指引。認(rèn)識數(shù)學(xué)概念是把握數(shù)學(xué)公式、理解數(shù)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)鉆研的前提。只有充分認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，才能在無涯學(xué)海中乘風(fēng)破浪，獲得研究實(shí)績。因此在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該熟知數(shù)學(xué)概念、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念、應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。

一、幾何概念的應(yīng)用

1.1幾何概念的發(fā)展

在數(shù)學(xué)思維中，最先作為語言符號的是數(shù)量與圖形。從某個(gè)角度來看，幾何圖形是數(shù)學(xué)學(xué)科最基礎(chǔ)的研究對象，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展以幾何圖形研究作為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維方法的形成以幾何圖形研究作為前提條件。隨著時(shí)代的不斷更迭，數(shù)學(xué)思維由算數(shù)層面轉(zhuǎn)向了代數(shù)層面，以幾何圖形為主要內(nèi)容的空間思維形式得到發(fā)展[1]。

在數(shù)學(xué)發(fā)展之路上，數(shù)量與空間存在緊密聯(lián)系，人類在最先認(rèn)識社會時(shí)，總是將著眼點(diǎn)放在數(shù)量和空間上，探索數(shù)量與空間的關(guān)系。我國古代先賢提出了空間觀念，如長度、面積等，使數(shù)量和空間真正結(jié)合到一起。《九章算術(shù)》是我國最具價(jià)值的數(shù)學(xué)古書之一，其中有大量例證，體現(xiàn)了數(shù)量思維與空間思維的整合。以勾股定理為例，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽依靠數(shù)量與空間這兩個(gè)概念，論證了勾股定理，并繪制了勾股定理圖示，對其進(jìn)行了注釋。對世界數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)各國數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建基本上都是以幾何圖形作為發(fā)端。幾何圖形是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，幾何圖形對世界數(shù)學(xué)作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。歐幾里得最早對空間觀念進(jìn)行了發(fā)展，將幾何學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科，使數(shù)量和空間相對獨(dú)立。在古希臘時(shí)期，代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)還沒有正式分家，嚴(yán)密的邏輯體系尚未形成。直到公元三世紀(jì)，幾何學(xué)研究越來越多，且研究者數(shù)不勝數(shù)，使代數(shù)學(xué)處于從屬位置。古希臘學(xué)者偏好對直觀圖形進(jìn)行觀察，對幾何學(xué)知識進(jìn)行推導(dǎo)，對圖形關(guān)系進(jìn)行探究，并從中歸納幾何學(xué)概念、推導(dǎo)幾何學(xué)定理等等?？臻g思維方法逐漸成為一個(gè)時(shí)代的先導(dǎo)，助推了科學(xué)學(xué)科的發(fā)展。與國外相比，我國雖然沒有形成以推理論證為依托的思維模式，但是幾何思維已經(jīng)初具雛形。《九章算術(shù)》“方田”章給出了若干空間概念，如正方形、三角形等，數(shù)學(xué)家在其中提出了不同圖形面積的計(jì)算方法，是對世界數(shù)學(xué)研究的重大突破。除了對圖形面積進(jìn)行計(jì)算外，《九章算術(shù)》還提出了立體圖形的體積計(jì)算方法，使數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展真正邁向了新的發(fā)展臺階[2]。

空間思維是解析幾何問題的重中之重，在今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，需要始終培養(yǎng)空間思維，以空間思維觀察數(shù)學(xué)問題，勘透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)問題的規(guī)律。古人尚能理解圖形的幾何直觀意義，今人更該努力。從某個(gè)角度來看，空間思維方式是數(shù)學(xué)學(xué)科的最重要思維方式之一，而這種思維方式的形成需要依賴長期學(xué)習(xí)、刻苦鉆研?？臻g思維模式從古希臘時(shí)期發(fā)展至今，已經(jīng)具備了嚴(yán)密的邏輯體系。在歐幾里得獲得成果之后，幾何學(xué)領(lǐng)域提出的問題越來越多，難度越來越大。如何超越前人的研究成果，使幾何學(xué)向前發(fā)展，成為數(shù)學(xué)家們關(guān)注的重要問題。幾何問題論證需要較高的技巧，且邏輯推理非常復(fù)雜，單一方法不足以解決問題。在十六世紀(jì)數(shù)量化思維得到發(fā)展，數(shù)學(xué)符號初步形成體系，方程問題得到了解決。此時(shí)數(shù)量化思維更盛，空間思維受到冷落。最先認(rèn)識到數(shù)量與空間關(guān)系的十六世紀(jì)學(xué)者是法國韋達(dá)，其將代數(shù)方法和空間幾何方法結(jié)合在一起，并提出應(yīng)用代數(shù)方程表示曲線的構(gòu)想，為數(shù)量化思維、空間思維的相融發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。后來的學(xué)者笛卡爾站在韋達(dá)的肩膀上開展研究，借鑒了其先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想，依靠坐標(biāo)系來表現(xiàn)平面上的數(shù)字，并將應(yīng)用代數(shù)方程表示曲線的構(gòu)想轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)。費(fèi)馬對這一課題較感興趣，也開展了數(shù)學(xué)論證，并最終提出數(shù)形結(jié)合的思維方法。解析幾何和代數(shù)結(jié)合相融，使幾何學(xué)朝著代數(shù)化的方向發(fā)展。代數(shù)和幾何在此時(shí)真正到達(dá)了統(tǒng)一水平面，坐標(biāo)系整合了數(shù)量思維與空間思維，更新了數(shù)學(xué)學(xué)科的思維模式，打破了空間結(jié)構(gòu)與形式的限制。

1.2幾何概念的重要性

在解決幾何最值問題時(shí)把握幾何概念，具有重要意義。第一，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時(shí)追溯根源。古希臘歐幾里得學(xué)者提出的數(shù)學(xué)概念類屬于靜態(tài)幾何學(xué)的范疇，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，靜態(tài)幾何學(xué)朝著動(dòng)態(tài)幾何學(xué)的方向發(fā)展，圖形運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榍€，而曲線變成了點(diǎn)的軌跡。在學(xué)習(xí)過程中追溯歷史，能夠形成動(dòng)態(tài)思維，真正勘透幾何圖形的變化。第二，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時(shí)融合數(shù)學(xué)方法。幾何概念的發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)量思維與空間思維的整合，人們對圖形的主觀認(rèn)識發(fā)生變化，經(jīng)驗(yàn)性的知識不再準(zhǔn)確，人們需要開展邏輯推理，使個(gè)人思維朝著抽象層面過渡?，F(xiàn)實(shí)空間有三維特征，但是抽象空間卻被無限延長無限放大。在抽象世界學(xué)者可以對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行大膽創(chuàng)新，拓展傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。第三，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時(shí)獲得研究思路。今人應(yīng)該將數(shù)學(xué)研究作為己任，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上開疆?dāng)U土。理解幾何概念，能夠賦予圖形新的內(nèi)容，對代數(shù)結(jié)果有更加直觀的思維追求。數(shù)學(xué)研究需要?jiǎng)?chuàng)新性思維，空間思維與代數(shù)思維的整合能夠助力學(xué)術(shù)發(fā)展，摘取研究果實(shí)[3]。

空間思維與代數(shù)思維相融，使數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域有了新的突破，幾何代數(shù)方法逐漸成為數(shù)學(xué)問題解析的最常見方法，數(shù)量關(guān)系經(jīng)常表達(dá)抽象模型概念，代數(shù)與幾何緊密相連，使人們從不同角度把握了數(shù)學(xué)知識。幾何最值問題實(shí)際上也是由幾何學(xué)基礎(chǔ)知識衍生而來的，想要真正解決這一類問題，就必須把握空間思維的發(fā)展脈絡(luò)。空間思維發(fā)展證明，歐幾里得式的空間并不固定，空間可以是彎曲的，甚至可以是折疊的，空間不僅存在于現(xiàn)實(shí)當(dāng)中，也存在于想象當(dāng)中。解析幾何出現(xiàn)之后，代數(shù)幾何思想融合，靜態(tài)幾何朝著動(dòng)態(tài)方向發(fā)展，變量這一概念引入了數(shù)學(xué)，微積分相應(yīng)產(chǎn)生。變量實(shí)際上也是最值問題的鋪墊，在依靠數(shù)學(xué)知識解答幾何最值問題時(shí)，必須把握變量這一概念，具備數(shù)形結(jié)合的思維方法?？臻g思維擴(kuò)展了幾何領(lǐng)域，也發(fā)展了代數(shù)領(lǐng)域。線性空間等概念形成，助力了幾何學(xué)的飛速發(fā)展。曲線與曲面研究相繼開展，數(shù)學(xué)家們在科學(xué)探究之路上馬不停蹄，最終使近代代數(shù)幾何學(xué)體系構(gòu)建起來。

二、最值概念的應(yīng)用

在解析幾何最值問題時(shí)，需要把握最值這一概念。在理解最值概念時(shí)，需要將函數(shù)最值作為基礎(chǔ)，因?yàn)樵谇髱缀巫钪档倪^程中，經(jīng)常需要將其面積表達(dá)為函數(shù)，通過函數(shù)性質(zhì)確定取值范圍，求出最后的結(jié)果。最值包括兩個(gè)：第一個(gè)是最大值，第二個(gè)是最小值。函數(shù)最大值和最小值都存在于定義域中，最大值是定義域中的最大數(shù)，最小值是定義域中的最小數(shù)。函數(shù)最大值和最小值都有圖形意義，分別為縱坐標(biāo)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。解決幾何最值問題，首先要判斷函數(shù)類型，根據(jù)函數(shù)概念開展具體的解析工作。以一次函數(shù)為例，一次函數(shù)又被稱為線性函數(shù)，在坐標(biāo)中即是直線，當(dāng)變量確定，另一個(gè)變量也可以表達(dá)出來。一次函數(shù)分為正比例函數(shù)和普通一次函數(shù)，在自變量有范圍的情況下，最大值和最小值都可以順利求出。當(dāng)然，當(dāng)表達(dá)式中的常數(shù)有正負(fù)之分，需要對最大值最小值進(jìn)行區(qū)分。以二次函數(shù)為例，二次函數(shù)又被稱為二次項(xiàng)函數(shù)，其中有一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等等，自變量的最高次數(shù)為二。未知數(shù)是一個(gè)數(shù)，其在范圍之內(nèi)取值。微分方程等是未知函數(shù)，存在未知數(shù)的概念[4]。二次函數(shù)的最值同樣與常數(shù)有關(guān)，與一次函數(shù)最值的解析路徑存在相似之處。以反比例函數(shù)為例，反比例函數(shù)存在兩個(gè)變量，兩個(gè)變量分別是自變量和因變量，自變量的取值不能等于零。反比例函數(shù)的最值在求解過程中仍然和一次函數(shù)、二次函數(shù)存在相通之處，需要考察常數(shù)的取值范圍。與二次函數(shù)相比，反比例函數(shù)的最值并不固定。與一次函數(shù)相比，反比例函數(shù)的最值求解同樣需要確定自變量范圍。

在解析幾何最值問題時(shí)把握最值概念，具有重要意義。第一，把握最值概念，能夠開拓問題解析的思路。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，需要不斷拓展學(xué)習(xí)思路，開拓理論研究領(lǐng)域。最值概念是解析幾何最值問題的依據(jù)，在充分理解概念后可以對問題進(jìn)行創(chuàng)新型闡釋，從基礎(chǔ)方法出發(fā)去探索新的解析路徑，從而把握數(shù)學(xué)知識的發(fā)展規(guī)律，形成概念化的方法體系。第二，把握最值概念，能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)解析思維。幾何學(xué)經(jīng)過發(fā)展，與代數(shù)學(xué)的聯(lián)系更加緊密，最值問題實(shí)際上是對幾何學(xué)知識、代數(shù)學(xué)知識的融合，對研究者的空間思維、代數(shù)思維提出要求。掌握最值概念的過程，實(shí)際上就是思維訓(xùn)練的過程，有利于簡化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在幾何空間代數(shù)研究中有所突破。

三、幾何最值概念的應(yīng)用

在把握幾何概念、最值概念之后，可以正視幾何最值概念。幾何最值問題指的是將幾何圖形轉(zhuǎn)化成為函數(shù)形式，依靠代數(shù)建構(gòu)模型，整合空間思維和代數(shù)思維，并依靠函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解。函數(shù)有自變量和因變量，因此有取值范圍，范圍內(nèi)的最大值和最小值，就是幾何最值。一般來說，幾何最值求解方式包括以下幾種：第一，可以采用線段最小方法，對圖形進(jìn)行平移、對稱旋轉(zhuǎn)等等，使點(diǎn)在線段不同側(cè)。第二，可以采用線段最長方法，對圖形進(jìn)行平移、對稱旋轉(zhuǎn)等等，使點(diǎn)在線段相同側(cè)。第三，可以采用轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新圖形方法，使目標(biāo)線段與定長線段形成新圖形（一般為三角形）。學(xué)術(shù)研究不斷深入，幾何最值概念也在不斷發(fā)展。在新的時(shí)代背景下，應(yīng)該學(xué)習(xí)學(xué)術(shù)研究的最新知識，對幾何最值概念進(jìn)行深化，對幾何最值求解方法進(jìn)行創(chuàng)新。

結(jié)論：綜上所述，我國的教育事業(yè)不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)研究工作更進(jìn)一步。幾何最值問題是一個(gè)重要問題，數(shù)學(xué)概念在問題解析中占據(jù)重要位置。在理論研究過程中，應(yīng)該培養(yǎng)空間思維、代數(shù)思維，把握幾何學(xué)、最值和幾何最值的概念。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]朱建良.問題驅(qū)動(dòng)? 模型識別? 揭示本質(zhì)——基于求解初中幾何最值問題的探究與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（06）：7-10.

[2]夏培培.以問題為“驅(qū)動(dòng)”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力——以“幾何最值問題”的專題探究為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（06）：44-46.

[3]葉春泉.析疑難之諸因，探求解之通法——反思求解一類幾何最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（24）：80-82.

[4]吉宏軍.構(gòu)造隱形圓，妙求幾何最值——以一道幾何最值問題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（29）：71-73.