考慮非關(guān)鍵線路影響的PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃完工概率分析

丁 雨 琦

(桂林理工大學(xué)土建學(xué)院，廣西 桂林 541004)

隨著工程建設(shè)的不斷發(fā)展，項(xiàng)目規(guī)模愈加增大、影響因素愈加復(fù)雜，工程項(xiàng)目的計(jì)劃與控制變得愈加重要。進(jìn)度管理一直是工程項(xiàng)目管理重難點(diǎn)，由于工程項(xiàng)目受影響因素繁多，完工是一個(gè)不確定的事件，一般以(給)完工概率來(lái)表示項(xiàng)目能在指定時(shí)間內(nèi)完成的可能性。研究工程項(xiàng)目的完工概率對(duì)工程項(xiàng)目的計(jì)劃與控制、項(xiàng)目資源的分配與節(jié)約有著重大意義。復(fù)雜工程項(xiàng)目中均存在因經(jīng)驗(yàn)不足、不確定因素過(guò)多導(dǎo)致活動(dòng)持續(xù)時(shí)間不確定的問(wèn)題?，F(xiàn)代的項(xiàng)目管理中廣泛應(yīng)用計(jì)劃評(píng)審技術(shù)PERT(Program/Project Evaluation and Review Technique)進(jìn)行工程項(xiàng)目的計(jì)劃與控制。PERT由美國(guó)學(xué)者M(jìn)alcolm等[1]于1950年提出，美國(guó)海軍運(yùn)用計(jì)劃評(píng)審制度成功縮短了2年“北極星”導(dǎo)彈計(jì)劃的制造時(shí)間，最終在世界上得到廣泛的推廣與應(yīng)用。但運(yùn)用經(jīng)典PERT法計(jì)算工程項(xiàng)目的完工概率時(shí)，通行的做法是以網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中關(guān)鍵路線的完工概率作為項(xiàng)目的完工概率，不考慮非關(guān)鍵線路。而實(shí)際上，非關(guān)鍵路線的方差較大時(shí)非關(guān)鍵線路的完工概率有可能小于關(guān)鍵線路的完工概率，此時(shí)項(xiàng)目的完工概率可能會(huì)由非關(guān)鍵線路決定。因此，分析PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中非關(guān)鍵路線與關(guān)鍵路線的完工概率，討論何種情況下非關(guān)鍵線路會(huì)主導(dǎo)工程項(xiàng)目完工概率的，是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。

1 基本概念和計(jì)算方法

(1)

(2)

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中每一個(gè)工序的持續(xù)時(shí)間Tij計(jì)算完成后，用期望值

代表工序持續(xù)時(shí)間，可將不確定性網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃，因此可用關(guān)鍵路徑法尋找關(guān)鍵路徑及關(guān)鍵工作。關(guān)鍵線路上各個(gè)工作的持續(xù)時(shí)間之和即為項(xiàng)目工期的期望值，由中心極限定理可知，項(xiàng)目工期近似服從正態(tài)分布，其均值與方差即為關(guān)鍵路線上各工序工期持續(xù)時(shí)間期望值之和、方差之和。因此項(xiàng)目的工期持續(xù)時(shí)間期望值和方差為:

TE=∑Tij

(3)

(4)

項(xiàng)目在給定的要求工期T0下的完工概率可按下式計(jì)算:

(5)

(6)

根據(jù)λ值，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表[4]上查得的數(shù)值即為要求工期為T0時(shí)工程項(xiàng)目的完工概率。

2 典例分析

某施工項(xiàng)目的各項(xiàng)工作持續(xù)時(shí)間估計(jì)值如表1所示，項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖見(jiàn)圖1，各個(gè)工序的持續(xù)時(shí)間見(jiàn)表1。

表1 各項(xiàng)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間估計(jì)值 d

表2 各工作期望時(shí)間和方差匯總表

圖1中網(wǎng)絡(luò)圖有三條線路，可分別計(jì)算每條線路的完工時(shí)間期望值分別為：22 d(線路A-C-E)、20.83 d(線路A-D)、16.16 d(線路B-E)，其中最長(zhǎng)線路A-C-E為關(guān)鍵線路，其線路完工時(shí)間的期望值為22 d，方差為2.072。如要求項(xiàng)目在25 d內(nèi)完工，此時(shí)完工概率為：

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得:

P(λ≤1.45)=92.65%。

即該項(xiàng)目在25 d內(nèi)完工的概率為92.65%。

以上分析過(guò)程即為PERT計(jì)算項(xiàng)目完工概率的一般做法，直接用關(guān)鍵線路分析完工概率，放棄分析非關(guān)鍵線路。這種做法是否妥當(dāng)，可結(jié)合算例來(lái)具體分析。算例中非關(guān)鍵線路有兩條，計(jì)算兩條線路完工時(shí)間的方差，并結(jié)合其完工時(shí)間的期望值進(jìn)行分析，見(jiàn)表3。兩條非關(guān)鍵線路在25 d內(nèi)的完工概率分別為83.54%(線路A-D)、99.99%(線路B-E)。而前已算得關(guān)鍵線路A-C-E的完工概率為92.65%，顯然整個(gè)項(xiàng)目能在25 d內(nèi)完工的可能性不是關(guān)鍵線路的92.65%，而是非關(guān)鍵線路的83.54%，即算例項(xiàng)目的完工概率是由非關(guān)鍵線路確定的。因此利用PERT進(jìn)行項(xiàng)目完工概率計(jì)算時(shí)，不考慮非關(guān)鍵線路的影響是不完善的。關(guān)鍵線路的完工概率不一定決定項(xiàng)目的完工概率，計(jì)算時(shí)需考慮非關(guān)鍵線路對(duì)完工概率的影響。

表3 非關(guān)鍵線路工期、方差和完工概率

是不是每個(gè)項(xiàng)目的完工概率計(jì)算都要考慮非關(guān)鍵線路的影響，答案顯然是不一定的，以下繼續(xù)討論什么情況下需要考慮非關(guān)鍵線路，什么情況下可不考慮非關(guān)鍵線路，直接用關(guān)鍵線路分析即可。

3 非關(guān)鍵線路決定完工概率的條件

由以上算例可知，非關(guān)鍵線路有可能會(huì)決定項(xiàng)目的完工概率，只考慮關(guān)鍵線路的做法是不完善的，有必要討論何種情況下必須考慮非關(guān)鍵線路，以便得到科學(xué)準(zhǔn)確的項(xiàng)目完工概率。繼續(xù)對(duì)算例進(jìn)行深入分析，考慮不同要求工期T0下的完工概率，設(shè)關(guān)鍵線路的工期期望值為TE，對(duì)以下情形進(jìn)行具體分析。

1)T0=TE時(shí)。

算例中，即T0=TE=22 d，可計(jì)算各線路的完工概率如表4所示。

此時(shí)施工項(xiàng)目的完工概率由關(guān)鍵線路A-C-E決定。

2)T0

例如要求工期T0=21 d時(shí)，項(xiàng)目完工概率，分析了當(dāng)要求工期T0為21 d時(shí)，各線路的完工概率如表5所示。

表4 各線路工期、方差和完工概率(T0=TE=22 d)

表5 各線路工期、方差和完工概率(T0=21 d)

此時(shí)施工項(xiàng)目在21 d內(nèi)完工的概率由關(guān)鍵線路A-C-E決定?？梢岳^續(xù)分析，取T0=20 d,19 d，…，1 d，分析結(jié)果都是一樣的結(jié)論，關(guān)鍵線路決定此項(xiàng)目的完工概率。

3)T0>TE時(shí)。

當(dāng)要求工期T0為23 d時(shí)，各線路的完工概率見(jiàn)表6。

表6 各線路工期、方差和完工概率(T0=23 d)

此時(shí)施工項(xiàng)目的完工概率依然由關(guān)鍵線路A-C-E決定，但非關(guān)鍵線路A-E的完工概率逐漸趨近于關(guān)鍵線路A-C-E的完工概率。

要求工期T0為24 d時(shí)，各線路的完工概率如表7所示。

此時(shí)施工項(xiàng)目的完工概率不再由關(guān)鍵線路A-C-E決定，而是由非關(guān)鍵線路A-D決定。繼續(xù)增大要求工期T0，得到的結(jié)論也是一致的，都是非關(guān)鍵線路決定項(xiàng)目完工概率。這是由于非關(guān)鍵線路的方差較大，工期的概率分布較為分散所致。

綜上，該施工項(xiàng)目運(yùn)用PERT方法計(jì)算項(xiàng)目完工概率時(shí)，若要求工期不小于24 d時(shí)，非關(guān)鍵線路決定項(xiàng)目的完工概率，單獨(dú)分析關(guān)鍵線路會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，必須考慮非關(guān)鍵線路對(duì)項(xiàng)目完工概率的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析可知，在PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中，要求工期T0不大于關(guān)鍵線路的工期持續(xù)時(shí)間期望值TE時(shí)，關(guān)鍵線路的完工概率小于任意非關(guān)鍵線路的完工概率，此時(shí)直接分析關(guān)鍵線路即可得到項(xiàng)目的完工概率；要求工期大于關(guān)鍵線路的工期期望值TE時(shí)，且非關(guān)鍵線路方差明顯大于關(guān)鍵線路的方差時(shí)，必須考慮非關(guān)鍵線路對(duì)工程項(xiàng)目完工概率的影響，對(duì)關(guān)鍵線路與非關(guān)鍵線路都進(jìn)行按時(shí)完工的可能性分析，以便得到正確結(jié)論，更好的指導(dǎo)工程項(xiàng)目管理。