連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性與一一對應(yīng)性等價

（安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

0 引言

函數(shù)的單調(diào)性與一一對應(yīng)性是我們非常熟悉的概念，中學(xué)數(shù)學(xué)中就開始涉及。為行文方便，現(xiàn)將其定義敘述如下：

而本文要指出的是，對于單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)而言，一一對應(yīng)和嚴(yán)格單調(diào)這兩個概念是等價的。

在現(xiàn)行的大多數(shù)數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)教材中，關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性定理以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理，定理條件中均要求函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，定理的完整敘述如下。

定理1.3：反函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格單增（減）且連續(xù)，則它的反函數(shù)x=f(f)也在相應(yīng)的區(qū)間I={y：y=f(x)，x∈I}上嚴(yán)格單增（減）且連續(xù)。

首先我們要注意到，一方面，這兩個定理主要是為了證明初等函數(shù)的連續(xù)性以及對初等函數(shù)求導(dǎo)，就這個目的而言，嚴(yán)格單調(diào)的要求并不高；另一方面，假設(shè)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，會讓證明過程簡潔得多。正是出于這兩個考慮，所以現(xiàn)行教材上大多采用這個版本。但是就理論的嚴(yán)謹(jǐn)性而言，我們也要知道，嚴(yán)格單調(diào)這個條件是多余的。下文我們將證明定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只要有反函數(shù)，則必定是嚴(yán)格單調(diào)的。

1 連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性與一一對應(yīng)性

本節(jié)中，我們指出，對于單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，其嚴(yán)格單調(diào)性與一一對應(yīng)性是等價的。事實上，若嚴(yán)格單調(diào)必定一一對應(yīng)，這是顯然的，我們只需證明另一面即可。對此我們分三步，以三個命題的形式給出證明。

證 明：不 妨 假 設(shè)f(a)＜f(b)。反 證 法。如 果f(x)＜f(a)，則有f(x)＜f(a)＜f(b)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在E∈(x，b)，使得f(E)=f(a)，與一一對應(yīng)矛盾；類似地，如果f(x)＞f(b)，則有f(a)＜f(b)＜f(x)，從而存在E∈(a，x)，使得f(E)=f(b)，與一一對應(yīng)矛盾。因此，f(a)＜f(x)＜f(b)。證畢。

命題1.2：設(shè)y=f(x)是定義在閉區(qū)間[a，b]上的一一對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)，則f(x)嚴(yán)格單調(diào)。

證明：不妨假設(shè)f(a)＜f(b)，下證f(x)嚴(yán)格單增。（若f(a)＞f(b)，完全類似地可以證明f(x)嚴(yán)格單減。）

命題1.3：設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的一一對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)，則f(x)嚴(yán)格單調(diào)。

證明：區(qū)間I上任取兩點a＜b，

若f(a)＜f(b)，下證f(x)在I上嚴(yán)格單增。

令m=min{a，b，u，v}，M=max{a，b，u，v}，由 命題2.2可知，f(x)在[m，M]上嚴(yán)格單調(diào)。又已知a＜b，f(a)＜f(b)，因此f(x)在[m，M]上嚴(yán)格單增，故f(u)＜f(v)。

若f(a)＞f(b)，類似可證f(x)在I上嚴(yán)格單減。

綜上，f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)。證畢。

2 反函數(shù)的連續(xù)性與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在命題1.3的基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在可以對反函數(shù)連續(xù)定理以及反函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理稍作改進(jìn)，得到下述命題。

命題2.1：定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)若存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也連續(xù)。

最后，值得指出的是本文涉及到的命題中的條件“單個區(qū)間”和“一一對應(yīng)”不可缺少。