無(wú)解線性方程組的一題多解方法

符和滿

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1 問(wèn)題提出

已知數(shù)域P上的線性方程組

其中,a1,a2,a3,a4互不相等.證明該方程組無(wú)解.

此問(wèn)題可見(jiàn)于文獻(xiàn)[1].下面從多個(gè)角度探討其證明過(guò)程.

2 方法探討

2.1 運(yùn)用消元法求解

消元法是求解線性方程組最常用的方法.我們可以使用消元法證明一個(gè)線性方程組無(wú)解.首先用初等變換將線性方程組化為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出現(xiàn)的話）去掉.如果剩下的方程中最后1個(gè)等式是零等于1個(gè)非零的數(shù)，則方程組無(wú)解[2]111.當(dāng)然，這些初等變換過(guò)程也可以通過(guò)矩陣形式完成.即對(duì)增廣矩陣作初等行變換，化成階梯形矩陣.若階梯形矩陣的最后1個(gè)非零行的末位元素非零，而該行的其余元素為0，則原方程組無(wú)解.

證 因?yàn)閍1,a2,a3,a4互不相等，所以aj-ai≠0,其中1≤i＜j≤4.

由階梯形矩陣的最后1行可知，出現(xiàn)了矛盾方程“0=1”，所以原方程組無(wú)解.

2.2 運(yùn)用線性方程組有解判別定理求解

定理1[2]137線性方程組AX=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A與增廣矩陣有相同的秩,其中=(Ab).

定理1提供了判別線性方程組無(wú)解的最直接方法,即一個(gè)線性方程組無(wú)解當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)矩陣與增廣矩陣不等秩.由此將問(wèn)題歸結(jié)為判別系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等.

因?yàn)?/p>

以及a1,a2,a3,a4互不相等，所以但系數(shù)矩陣 A是個(gè) 4×3矩陣，顯然秩(A)≤3，因此秩(A)≠秩根據(jù)定理1，可知該方程組無(wú)解.

2.3 轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組求解

通過(guò)引入一個(gè)“額外”變量，將非齊次線性方程組轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組.然后借助齊次線性方程組的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行證明.

定理2[3]53設(shè)A是數(shù)域P的1個(gè)n級(jí)方陣.齊次線性方程組AX=0只有零解,當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式|A|≠0.

證 假設(shè)原方程組有解，設(shè)為(c1,c2,c3)，則(c1,c2,c3,-1)就是齊次線性方程組（1）的1個(gè)非零解.

當(dāng)a1,a2,a3,a4互不相等時(shí)，齊次線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行列式

由定理2，上述的齊次線性方程組（1）只有零解,矛盾.因而原方程組無(wú)解.

2.4 轉(zhuǎn)化為一元多項(xiàng)式求解

基于本問(wèn)題中線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的特殊性，若將“變量”與“系數(shù)”的地位反轉(zhuǎn)，則原方程組有解可視為多項(xiàng)式f(t)=x1+x2t+x3t2-t3有4個(gè)根a1,a2,a3,a4.為了采用多項(xiàng)式證明原問(wèn)題，需要應(yīng)用多項(xiàng)式理論中的1個(gè)基本結(jié)論.

定理3[2]25數(shù)域P上的n次多項(xiàng)式(n≥0)在數(shù)域P中的根不可能多于n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算.

證 考慮數(shù)域P上關(guān)于t的一元多項(xiàng)式f(t)=x1+x2t+x3t2-t3.

倘若原方程組有解，則a1,a2,a3,a4是多項(xiàng)式f(t)的4個(gè)互異的根；但注意到多項(xiàng)式f(t)的次數(shù)為3，由定理3可知，3次多項(xiàng)式不可能有4個(gè)互異的根，所以原方程組無(wú)解.

3 問(wèn)題推廣

一般地，此問(wèn)題還可以推廣到n個(gè)變量的情形.已知數(shù)域P上的線性方程組

其中,a1,a2,…,an+1互不相等.證明該方程組無(wú)解.

同理，運(yùn)用上述的各種方法進(jìn)行證明，此處不再贅述.