，，

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

近三十年，針對故障檢測與診斷技術(shù)研究的蓬勃發(fā)展，大量理論創(chuàng)新成果不斷被提出，研究框架也逐步完善[1-2]。故障檢測與診斷技術(shù)一般可為兩大類，基于系統(tǒng)模型的方法和不依賴系統(tǒng)模型的方法。基于模型的故障檢測與診斷技術(shù)通常包括殘差生成和殘差評價兩部分，其中經(jīng)典方法有基于觀測器的方法[3-7]、基于等價空間的方法[8-11]和基于參數(shù)估計的方法。

等價空間方法利用有限時間窗內(nèi)系統(tǒng)輸入與輸出(或部分輸出)之間的冗余關(guān)系構(gòu)造殘差，可實現(xiàn)殘差與系統(tǒng)初始狀態(tài)解耦。眾多學(xué)者對等價空間方法進行了深入的研究，文獻[12]將小波變換與等價空間方法結(jié)合，利用小波變換的時頻局部化特性和快速算法，有效降低等價階數(shù)，實現(xiàn)對較寬頻率范圍內(nèi)故障的檢測。文獻[13]針對線性離散時變系統(tǒng)計算量大的問題，將殘差評價函數(shù)的計算問題轉(zhuǎn)化為求解Krein空間投影問題，提出一種遞推的故障檢測快速算法，顯著降低運算量，提高了故障檢測系統(tǒng)實時性。文獻[14]應(yīng)用KL散度聯(lián)合故障距離函數(shù)和故障方向函數(shù)設(shè)計故障可診斷性指標，研究了線性離散系統(tǒng)的可診斷性問題。

基于易于應(yīng)用方面的考慮，設(shè)定一個保守型閾值可以使誤報率為零，從而避免錯誤報警的干擾。但發(fā)生微小故障(如在故障發(fā)生的初期)時，閾值過強的保守性會使故障檢測率大大下降。文獻[15]提出基于概率不等式方法的隨機化算法，能夠應(yīng)用蒙特卡羅模擬對性能指標進行有效估計，運用此方法可以將檢測系統(tǒng)性能評估問題轉(zhuǎn)化為對一系列隨機實驗的隨機化分析問題。文獻[16]分析了應(yīng)用主元分析窗口平滑和指數(shù)加權(quán)方法對檢測微小故障的檢測能力的提升效果，為閾值選取和提升故障檢測率提供了思路。

本研究以噪聲和擾動統(tǒng)計特性未知，但有限時間l2范數(shù)有界的系統(tǒng)為研究對象，研究隨機化分析輔助的等價空間故障檢測方法。為權(quán)衡誤報率和故障檢測率兩項性能指標，得到較高檢測效率，基于隨機化分析對誤報率和漏報率估計結(jié)果，給出了檢測閾值的選取方法。最后，以無人機縱向控制系統(tǒng)故障檢測平臺為例，驗證提出方法的有效性。

1 問題描述

考慮如下的線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rp，y(k)∈Rq分別為狀態(tài)向量、輸入向量以及輸出向量；d(k)∈Rl代表未知干擾和其他故障；f(k)∈Rm表示待檢測的故障向量；A,B,C,D,Ed,Ef,Fd,Ff為相應(yīng)維數(shù)的已知矩陣。

令

其中s為等價階數(shù)，可得

ys(k)=Hosx(k-s)+Husus(k)+Hdsds(k)+Hfsfs(k)。

其中

將Hfs中的{Ef,Ff}分別替換為{Ed,Fd}和{B,D}可得Hds和Hus。構(gòu)造如下的殘差生成器

r(k)=Vs[ys(k)-Husus(k)]=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]。

(2)

其中：r(k)為殘差向量；Vs∈Rγ×s·m為待設(shè)計的等價矩陣，且滿足VsHos=0；γ為等價空間Ρs(Hos的左零空間)的維數(shù)。

殘差對未知擾動的魯棒性和對故障的敏感度分別定義為：

(3)

則殘差產(chǎn)生器的設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為如下的最小化問題：

(4)

由式(4)求得殘差評價量以后，依據(jù)未知干擾的類型(統(tǒng)計特性已知，如白噪聲；或有限時間內(nèi)范數(shù)有界)，選擇適當?shù)拈撝礘th，并基于如下邏輯判斷故障的發(fā)生：

如果未知擾動在有限時間內(nèi)能量有上確界，則利用未知擾動的上確界可以確定故障檢測系統(tǒng)的零誤報率檢測閾值：

由于被檢測對象所處環(huán)境和狀態(tài)的不確定性，很難獲得準確的未知擾動的上確界。即使已知未知擾動的上確界，設(shè)置Jth,FAR=0為檢測閾值，不可避免會帶來一定的故障漏報率。檢測系統(tǒng)的漏報率和故障的大小有很直接的關(guān)系，微小故障和早期故障的漏報率對閾值的選取比較敏感。當系統(tǒng)發(fā)生微小故障時，適當降低檢測閾值保守性會改善系統(tǒng)的檢測性能。設(shè)定合適閾值，使檢測系統(tǒng)的誤報率和漏報率性得到最優(yōu)權(quán)衡是一個設(shè)計難點。

2 故障檢測系統(tǒng)設(shè)計

2.1 殘差生成器設(shè)計

在殘差生成器設(shè)計時，設(shè)計殘差向量r(k)=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]且將等價矩陣Vs的求解過程轉(zhuǎn)化為性能指標的最小化問題：

(5)

式中Ws為待設(shè)計等價矩陣，滿足Vs=WsNsbasis.性能指標也相應(yīng)改寫為：

S=diag(σ1,…,σγ)。

根據(jù)2范數(shù)的定義：

由矩陣范數(shù)的相容條件

得到如下的引理。

2.2 隨機化算法與閾值選取

若擾動d(k)不滿足白噪聲，但在有限時間內(nèi)l2范數(shù)存在上界，那么殘差評價量Js(k)必然存在上界Js(k)≤δ2。假設(shè)殘差評價量Js(k)的分布函數(shù)為FJs(k)(·)，顯然FJs(k)(δ2)=1。如何設(shè)計采樣復(fù)雜度M對δ2進行估計，不僅影響估計結(jié)果的可信度，并且很大程度影響算法的工程可實現(xiàn)性。文獻[15]給出了一種估計分布極值取樣復(fù)雜度的計算方法。

設(shè)定檢測閾值為Jth,2=δ2，可以有效避免誤報的發(fā)生，但當有微小故障發(fā)生時，故障的漏報率會顯著升高。顯然，此時選擇Jth,2=δ2為檢測閾值保守性是過強的。適當降低閾值的保守性會改善故障漏報率高的問題，但是降低過多同樣會引起誤報率指標的上行。如果能夠獲取當前設(shè)定閾值的誤報率漏報率的準確信息，將對閾值的最優(yōu)選取提供理論參考。文獻[15]給出了一種估計系統(tǒng)性能指標的隨機化算法。此方法可以應(yīng)用于對誤報率進行估計。

引理3[15](Chernoff界引理)： 給定任意ε∈(0,1),δ∈(0,1),如果

證明：對于隨機變量序列x1,…，xN,由于

假定未知擾動d(k)是各采樣點相互獨立的隨機過程向量，根據(jù)引理3的Chernoff界中采樣復(fù)雜度的計算方法，通過如下的統(tǒng)計試驗估計無故障時相應(yīng)檢測閾值的誤報率。

步驟1在無故障時對殘差評價進行M次獨立采樣Js(k),k=1,2,…，M。

步驟2選定待估計的系統(tǒng)閾值Jth,2。

步驟3做如下的次數(shù)統(tǒng)計：

步驟4計算系統(tǒng)閾值Jth,2的誤報率為：

利用Chernoff界計算不等式可以得到以下結(jié)論：

3 仿真實驗

為驗證以上方法的有效性，在MATLAB仿真環(huán)境下，以某固定翼無人機縱向飛行控制系統(tǒng)故障檢測仿真平臺為例進行驗證。無人機系統(tǒng)線性化模型[12-17]如下：

(6)

式中：

Ac=[

-0.0127.5230-9.80-0.0009-1.86561000.0035-10.97-0.33600001000-124.920124.920

Bc=[

-0.020 10.065-0.002 30-0.212 8-0.001 90000

考慮系統(tǒng)量測噪聲為互不相關(guān)的均值為0，方差為0.1的白噪聲。取采樣周期為0.01 s，將線性化后的無人機縱向系統(tǒng)模型離散化，得到無人機縱向離散化系統(tǒng)模型為

(7)

1)無人機執(zhí)行器故障

將無人機執(zhí)行器故障描述為如下的加性故障：

uf(k)=u(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時間，kend為故障消失時間，u(k)為執(zhí)行器輸入指令，f(k)為執(zhí)行器故障信號，uf(k)為執(zhí)行器的實際輸出。則無人機縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(8)

設(shè)定仿真時間為180 s，步長為0.01 s，利用上文提出的方法設(shè)計故障檢測系統(tǒng)，其中，等價階數(shù)設(shè)置為30。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入升降舵部分失效故障，分別為失效10%和失效8%。前100 s無故障飛行時，對殘差評價量JS(k)構(gòu)造如下的統(tǒng)計量：

利用以上統(tǒng)計量構(gòu)建如下的三個檢測閾值：

以Jth,1,Jth,2,Jth,3為檢測閾值，設(shè)計故障檢測系統(tǒng)，檢測結(jié)果如圖1所示。

圖1 升降舵部分失效故障檢測波形Fig.1 Waveforms of elevator partial failure fault detection

表1 執(zhí)行器故障系統(tǒng)閾值及其誤報率漏報率Tab.1 Threshold value of actuator fault dection system and its false alarm rate and missing alarm rate

2)無人機傳感器故障

將無人機傳感器故障描述為如下的加性故障：

yf(k)=y(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時間，kend為故障消失時間，y(k)為輸出變量真實值，f(k)為傳感器故障信號，yf(k)為傳感器的實際輸出。則無人機縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(9)

式中，F(xiàn)f為適當維數(shù)的單位陣。

使用上文實驗中故障檢測系統(tǒng)對飛行器傳感器故障進行檢測。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入飛行高度傳感器增益故障，增益分別為2.0和1.8。檢測波形和實驗結(jié)果分別如圖2和表2所示。

對于無人機其他類型故障，如傳感器以及執(zhí)行器的偏差故障和卡死故障，均可以轉(zhuǎn)化為加性故障信號，本研究提出的方法同樣適用于以上類型的故障檢測。

圖2 飛行高度傳感器增益故障檢測波形Fig.2 Waveforms of flight altitude sensor gain fault detection

系統(tǒng)閾值Jth,1=1.510 7Jth,2=1.288 7Jth,3=1.424 9誤報率00.153 00.002 72.0增益故障漏報率0.442 00.030 00.167 51.8增益故障漏報率0.681 50.019 50.340 5

4 結(jié)論

本研究提出一種隨機化分析輔助的等價空間故障檢測方法的設(shè)計問題。應(yīng)用概率不等式的方法，通過蒙特卡洛模擬估計故障檢測性能指標、誤報率和漏報率，并依據(jù)估計結(jié)果設(shè)定檢測閾值的方法。在保證誤報率指標較低的條件下，應(yīng)用所提方法可以提高故障檢測系統(tǒng)對微小故障的故障檢測率。最后利用無人機縱向控制系統(tǒng)故障檢測模型對所提方法進行了仿真驗證。