坐標(biāo)變換在建筑限界測量中的應(yīng)用

趙夢，范宇，楊赫，丁道祥，崔高峰

（中國鐵路沈陽局集團(tuán)有限公司科學(xué)技術(shù)研究所，沈陽110013）

1 引言

鐵路沿線建筑限界是直接影響行車安全的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，是保證鐵路運(yùn)輸安全的基本要素。隨著高鐵車站的建設(shè)、既有站場改造工程的實(shí)施，客運(yùn)車站高站臺(tái)的普及，原有線路上的測量方式不僅存在操作難、誤差大等問題，且線路上檢測限界容易造成人身安全隱患繼而影響行車安全。若能開發(fā)一項(xiàng)檢測技術(shù)既能實(shí)現(xiàn)在軌道線路外側(cè)測量鐵路建筑限界又能滿足鐵路標(biāo)準(zhǔn)TB/T 3308—2013《鐵路建筑實(shí)際限界測量和數(shù)據(jù)格式》中對測量中數(shù)據(jù)的各項(xiàng)要求，則可以實(shí)現(xiàn)在安全距離內(nèi)測量鐵路建筑限界的方法，從而達(dá)到在不影響列車正常運(yùn)行的情況下對站臺(tái)、雨棚等建筑進(jìn)行測量的目的。

2 應(yīng)用理論與可行性研究

數(shù)學(xué)中為考慮同一圖形在不同坐標(biāo)系下的關(guān)系，出現(xiàn)了坐標(biāo)變換的問題。根據(jù)鐵路標(biāo)準(zhǔn)TB/T 3308—2013《鐵路建筑實(shí)際限界測量和數(shù)據(jù)格式》中對測量的量及輸出標(biāo)準(zhǔn)有詳細(xì)的規(guī)定，故可將該實(shí)際問題看作同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)問題，又因其為靜態(tài)測量，故僅考慮平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換。直角坐標(biāo)變換可以分解成移軸和轉(zhuǎn)軸2個(gè)步驟。具體如下。

如果 2 個(gè)標(biāo)架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原點(diǎn)O與O′不同，O′在（O，i，j）中的坐標(biāo)為（x0，y0），但 2 個(gè)標(biāo)架的坐標(biāo)基向量相同，即有i′=i，j′=j，那么標(biāo)架（O′，i′，j′）可以看成是由標(biāo)架（O，i，j）將原點(diǎn)平移到O′點(diǎn)而得來的（見圖1），這種坐標(biāo)變換叫做移軸。

若 2 個(gè)標(biāo)架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原點(diǎn)相同，即O=O′，但坐標(biāo)基向量不同，且有∠（i，i′）=α，則標(biāo)架（O′，i′，j′）可以看成是由標(biāo)架（O，i，j）繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn) α 角而得來的（見圖 2），這種由標(biāo)架（O，i，j）到標(biāo)架（O′，i′，j′）的坐標(biāo)變換叫做轉(zhuǎn)軸。

圖1 移軸詳圖

圖2 轉(zhuǎn)軸詳圖

圖 1 中，設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對標(biāo)架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐標(biāo)分別為（x，y）與（x′，y′），則有

圖 2 中，設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐標(biāo)分別為（x，y）與（x′，y′），即有

式中，α為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角。

式（2）也可看成是由標(biāo)架（O′，i′，j′）繞圓點(diǎn)旋轉(zhuǎn) α 角變到（O，i，j）的轉(zhuǎn)軸公式。

在一般情況下，由舊坐標(biāo)系xOy變成新坐標(biāo)系x′O′y′，總可以分2步完成。即先移軸使坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′重合，變成坐標(biāo)系x″O′y″，然后再由輔助坐標(biāo)系x″O′y″轉(zhuǎn)軸而成新坐標(biāo)系x′O′y′（見圖3）。

圖3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)平面上任一點(diǎn)P的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為（x，y）與（x′，y′），而在輔助坐標(biāo)系x″O′y″中的坐標(biāo)為（x″，y″），那么由式（1）與式（2）分別得：

3 實(shí)際問題的解決

測量環(huán)境如圖4，將設(shè)備置于坐標(biāo)系xOy中坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)位置，測量限界時(shí)設(shè)備輸出數(shù)據(jù)分為2種情況：

輸出數(shù)據(jù)為待測物體某點(diǎn)距離原點(diǎn)O的兩點(diǎn)距離r和該兩點(diǎn)所在直線與x軸角度α；坐標(biāo)系x″O′y″左側(cè)鋼軌測量點(diǎn)距離原點(diǎn)O的兩點(diǎn)距離a所在直線與x軸角度β；

輸出數(shù)據(jù)為待測物體某點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)值（x，y）；坐標(biāo)系x″O′y″左側(cè)鋼軌測量點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)值（x1，y1）；

根據(jù)鐵路標(biāo)準(zhǔn)TB/T 3308—2013《鐵路建筑實(shí)際限界測量和數(shù)據(jù)格式》要求，若根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出上述描述中某點(diǎn)在坐標(biāo)系x″O′y″中的坐標(biāo)值（x′，y′）即為所求。

通過以上理論測量鋼軌數(shù)據(jù)確定坐標(biāo)系x″O′y″中坐標(biāo)原點(diǎn)O′坐標(biāo)系xOy的數(shù)據(jù)，從而確定2個(gè)坐標(biāo)系的變換數(shù)據(jù)。在推導(dǎo)得出公式為：

式（4）為第1種情況計(jì)算公式，式（5）為第2種情況計(jì)算公式。理論上坐標(biāo)存在正負(fù)值，而實(shí)際檢測中以設(shè)備返回?cái)?shù)據(jù)符號為準(zhǔn)調(diào)整符號。

圖4 現(xiàn)場測量環(huán)境簡圖

在該測量技術(shù)的應(yīng)用中，設(shè)備儀器的精度，測量人員的操作習(xí)慣，計(jì)算方式及步驟產(chǎn)生的誤差等均影響測量精度，若欲達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)中要求的精度需在設(shè)備選型與模型建立上進(jìn)行研究改進(jìn)。