孫婷婷

[摘? ?要]通過(guò)對(duì)關(guān)系映射反演方法基本概念的介紹，探討關(guān)系映射反演方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育價(jià)值，并結(jié)合具體案例淺析如何階段性地培養(yǎng)這種數(shù)學(xué)思想方法.

[關(guān)鍵詞]關(guān)系映射反演;數(shù)學(xué)思想方法;教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0005-02

一、 關(guān)系映射反演方法的概念

關(guān)系映射反演方法是數(shù)學(xué)中一個(gè)極其普遍的方法.數(shù)學(xué)學(xué)科里的各個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一開始基本上是獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的，后來(lái)，研究者察覺(jué)到其中一些系統(tǒng)之間有著諸多的聯(lián)系，有的甚至還可以一一對(duì)應(yīng)起來(lái).于是，尋找、構(gòu)思這類系統(tǒng)間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系.例如，古希臘人就喜歡用長(zhǎng)度表示數(shù)，并把一些代數(shù)運(yùn)算映射到長(zhǎng)方形面積上，得到了以幾何術(shù)語(yǔ)表示的一系列代數(shù)恒等式.

關(guān)系映射反演方法的基本含義可以用框圖表示如下：

二、關(guān)系映射反演方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教育價(jià)值

1.提高對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)并不是孤立存在的，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的每一個(gè)章節(jié)，看似獨(dú)立，實(shí)際上都有著緊密的聯(lián)系.例如，數(shù)學(xué)知識(shí)中的函數(shù)、方程與不等式，指數(shù)與對(duì)數(shù)，復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，解析幾何，等等.數(shù)學(xué)方法中的數(shù)形結(jié)合法、復(fù)數(shù)法、參數(shù)法等，都體現(xiàn)了關(guān)系映射反演的原則.中學(xué)數(shù)學(xué)涉及許多數(shù)學(xué)系統(tǒng)領(lǐng)域，從關(guān)系映射反演的角度來(lái)看，這些數(shù)學(xué)系統(tǒng)間的同構(gòu)與對(duì)應(yīng)，是關(guān)系映射反演的基礎(chǔ)，極大地豐富了數(shù)學(xué)方法.對(duì)關(guān)系映射反演方法的掌握也有助于學(xué)生構(gòu)建一個(gè)完整的、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.關(guān)系映射反演方法就像一張網(wǎng)，將中學(xué)數(shù)學(xué)中的不同分支、不同內(nèi)容編織在了一起.如果學(xué)生能夠很好地認(rèn)識(shí)和理解這個(gè)方法，不僅能夠感受數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系性，還能夠觸類旁通，主動(dòng)建立更多的聯(lián)系，編織一張更大的網(wǎng).

2.提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

我們遇到實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，一般都是先解讀信息、分析事物間量與形的關(guān)系，再用數(shù)學(xué)邏輯演算作出解答，這就是映射的過(guò)程.相較于數(shù)學(xué)模型方法，關(guān)系映射反演方法更強(qiáng)調(diào)實(shí)際問(wèn)題中的關(guān)系屬于哪種類型，然后再去尋找與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去刻畫，這樣可以使問(wèn)題更加明了，接著通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)論反演到實(shí)際中去，能夠讓學(xué)生養(yǎng)成完整解決問(wèn)題的習(xí)慣.

3.提升多方面的思維能力

關(guān)系映射反演方法對(duì)思維能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在問(wèn)題解決的過(guò)程之中;尋找合適的關(guān)系結(jié)構(gòu)，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系和運(yùn)算，在另一關(guān)系結(jié)構(gòu)中構(gòu)建出問(wèn)題的合適模型，同時(shí)要注意這樣的映射是否有缺陷（例如，直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)到極坐標(biāo)上的點(diǎn)的映射，其間的一一對(duì)應(yīng)并不包括原點(diǎn)，故原點(diǎn)需另行檢驗(yàn)）.這一過(guò)程需要學(xué)生既有整體思考、有大局觀，又不遺漏部分的性質(zhì)，形成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣.關(guān)系映射反演方法的運(yùn)用中，“定映”（即尋找合適的關(guān)系結(jié)構(gòu)）這一步最難，但對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維和可逆思維的培養(yǎng)有著很大的教育價(jià)值.

三、關(guān)系映射反演方法教學(xué)的階段性簡(jiǎn)析

學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法到底是怎么形成的呢？如何有針對(duì)性地加以培養(yǎng)？我們知道，數(shù)學(xué)思想方法可以分為許多層級(jí)，有些比較具體，可以正面闡述，或者加以充分展現(xiàn)，通過(guò)練習(xí)使之升華，但是有些如同關(guān)系映射反演方法這樣的比較抽象，且涵蓋了比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法，就必須長(zhǎng)期領(lǐng)會(huì)，點(diǎn)點(diǎn)滴滴地積累才能體現(xiàn)其中的奧秘.在這里，我們借鑒張奠宙先生對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的一些思考，將滲透關(guān)系映射反演方法過(guò)程分成四個(gè)階段.

1.隱性的操作感受階段

該階段是指學(xué)生初步接觸一些數(shù)學(xué)知識(shí)，屬于“順向思維”階段.這一階段，學(xué)生剛學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)，獲得了一些基本技能，盡管這些基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的后面蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想方法，然而學(xué)生的注意力往往在基礎(chǔ)知識(shí)的顯性一面.教師在這個(gè)階段的主要教學(xué)策略是“讓學(xué)生探索、構(gòu)建與掌握知識(shí)與技能”，至于背后的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)屬于“無(wú)聲語(yǔ)言”，由學(xué)生自己在探索、構(gòu)建與掌握知識(shí)中感悟.

這是小學(xué)數(shù)學(xué)“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”的教學(xué)中時(shí)常出現(xiàn)的例子.計(jì)算正方體表面兩點(diǎn)之間的距離屬于立體幾何問(wèn)題，超出了小學(xué)生的能力范圍，但是受所學(xué)知識(shí)的影響，大部分學(xué)生能夠比較自然地想到將紙展開，這樣就變成了之前已經(jīng)解決了的問(wèn)題.這種樸素的想法本質(zhì)上就是將問(wèn)題從立體幾何映射到平面幾何，在平面幾何系統(tǒng)中解決這個(gè)問(wèn)題以后，再反過(guò)來(lái)求得原問(wèn)題中立體幾何問(wèn)題的解決.這種無(wú)意識(shí)地使用關(guān)系映射反演方法的

行為可以追溯到更早的時(shí)候.例如，在學(xué)習(xí)減法“5-2”時(shí)，通常都是這樣一個(gè)思路：找一個(gè)數(shù)“？”，讓“2+？= 5”.這里本質(zhì)就是將減法映射成加法來(lái)運(yùn)算;又如，在學(xué)習(xí)整式加減運(yùn)算時(shí)引入了同類項(xiàng)的概念，將多項(xiàng)式的加減映射為有理數(shù)的加減.諸如此類的例子還有許多，在此不一一列舉.

在這個(gè)階段的教學(xué)中，教師不需要提及“關(guān)系映射反演”這個(gè)詞語(yǔ)，只需放手由學(xué)生自主探索和建構(gòu).在經(jīng)歷了一次又一次“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的反復(fù)滲透后，學(xué)生也能初步體會(huì)該數(shù)學(xué)方法的基本指導(dǎo)思想，即將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)，同時(shí)感悟數(shù)學(xué)知識(shí)、方法之間的緊密聯(lián)系.

2.正面的認(rèn)識(shí)和理解階段

盡管我們給了學(xué)生一個(gè)“隱性的操作感受階段”，但由于學(xué)生的年齡特征及知識(shí)和能力的局限，如果沒(méi)有進(jìn)行必要的點(diǎn)撥，他們也很可能無(wú)法“感悟到”知識(shí)背后的一些數(shù)學(xué)思想方法，所以教師應(yīng)該適時(shí)點(diǎn)撥，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授或數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，采用顯性的文字或口頭語(yǔ)言“道出”一些數(shù)學(xué)思想方法，并對(duì)學(xué)生有意識(shí)地訓(xùn)練，這個(gè)階段稱為“正面的認(rèn)識(shí)和理解階段”.這個(gè)階段的導(dǎo)向性比較明顯，是將內(nèi)隱性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想方法顯性化傳輸?shù)臅r(shí)期，也可能是學(xué)生有意識(shí)地“知覺(jué)”的階段，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法感悟和學(xué)習(xí)的重要階段.

以解析幾何的教學(xué)為例，橢圓這一節(jié)是用解析方法研究一個(gè)新的曲線，主要知識(shí)點(diǎn)有：“橢圓”的定義，由定義到方程，由方程再回到幾何圖形的性質(zhì).那么，為什么要按照這樣的知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行教學(xué)呢？此時(shí)，教師有必要正面顯化背后所隱藏的思想方法.在解析幾何中，利用坐標(biāo)系建立了平面點(diǎn)集（幾何結(jié)構(gòu)）與二元有序?qū)崝?shù)組（代數(shù)結(jié)構(gòu)）之間的對(duì)應(yīng)，這樣，就把幾何問(wèn)題整體性地映射成代數(shù)問(wèn)題了.通過(guò)這種方法的滲透，學(xué)生把握住了每一環(huán)節(jié)的意圖所在，從而對(duì)本章結(jié)構(gòu)有了清晰的認(rèn)識(shí)，在接下來(lái)雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)中也能更加得心應(yīng)手.

3.主動(dòng)運(yùn)用的訓(xùn)練積累階段

數(shù)學(xué)思想和方法貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中.每個(gè)概念的引出、命題的證明、問(wèn)題的求解，無(wú)不需要運(yùn)用一定的思想方法.這時(shí)，數(shù)學(xué)方法需要有意識(shí)地培養(yǎng).教師在這個(gè)階段的教學(xué)行為需要有明顯的導(dǎo)向性，不僅使用顯性而明確的語(yǔ)言概括出數(shù)學(xué)活動(dòng)中的數(shù)學(xué)思想和方法，還需要設(shè)計(jì)一些問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用這種思想方法的意識(shí).當(dāng)然問(wèn)題并非越多越好，需要結(jié)合這種數(shù)學(xué)思想方法的特征，把握其本質(zhì).

關(guān)系映射反演方法的重要特點(diǎn)在于它的一般性，主要體現(xiàn)在它不只是解決某些具體的問(wèn)題，例如三角函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常使用到的映射有方程、不等式，當(dāng)然向量也同樣適用.因此，某一知識(shí)與其他知識(shí)轉(zhuǎn)化越多，可能尋找的途徑也越多，如此就能解決更多類型的問(wèn)題.因此在該方法的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)盡可能地鼓勵(lì)學(xué)生不要局限于一種思路，應(yīng)進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)化.

這個(gè)問(wèn)題直接證明有一些困難，考慮使用關(guān)系映射反演方法將其轉(zhuǎn)化成更容易解決的問(wèn)題，可以有如下兩種思路.

（1）映射成幾何問(wèn)題

這個(gè)例子說(shuō)明，對(duì)于同樣的問(wèn)題，盡可能多地去尋求與問(wèn)題相關(guān)的元素、情境是非常重要的.即使學(xué)生一時(shí)難以想全面，教師在總結(jié)階段也應(yīng)對(duì)這種方法進(jìn)行多角度的提煉，以引起學(xué)生的重視，這樣才能起到深化這一數(shù)學(xué)思想方法的目的.

4.感悟文化修養(yǎng)的階段

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了許多積累，這時(shí)我們需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，將思想方法提升為學(xué)生的文化感悟，乃至寶貴的文化素質(zhì).

在經(jīng)歷了對(duì)關(guān)系映射反演方法的深入學(xué)習(xí)后，我們可以先試著將眼光放到日常生活中去，溫度計(jì)將氣溫的測(cè)量變換為水銀柱脹縮的測(cè)量，機(jī)械鐘表把時(shí)間的測(cè)量變換為鐘擺的周期運(yùn)動(dòng)的度量.從數(shù)學(xué)的角度看待這些充滿智慧的設(shè)計(jì)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這實(shí)質(zhì)上就是把一個(gè)領(lǐng)域、一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)中的問(wèn)題映射到另一個(gè)領(lǐng)域、關(guān)系結(jié)構(gòu)中去加以解決.此時(shí)，學(xué)生會(huì)意識(shí)到關(guān)系映射反演方法并不是一個(gè)枯燥的數(shù)學(xué)名詞，而是一種具有普遍規(guī)律的科學(xué)方法，存在于我們生活的方方面面，從而學(xué)會(huì)了如何用數(shù)學(xué)的眼光去看待世界.

（責(zé)任編輯 易志毅）