奧氏體不銹鋼超低溫屈服強度的概率分布

劉小寧 劉 岑 陳 剛 劉 兵 楊 帆 張紅衛(wèi)

(1.武漢軟件工程職業(yè)學院 湖北 武漢：430205；2.湖北輕工職業(yè)技術學院 湖北 武漢：430070)

深冷容器是醫(yī)療、航空航天與能源等領域經(jīng)常使用的承壓設備，非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408是制造深冷容器的常用鋼材[1]，探索奧氏體不銹鋼S30408超低溫機械性能參數(shù)的概率分布，即探索其分布規(guī)律與確定其分布參數(shù)是構建深冷容器強度可靠性設計方法的基礎工作[2]。

奧氏體不銹鋼S30408超低溫的機械性能參數(shù)主要包括抗拉強度、屈服強度與屈強比(屈服強度與抗拉強度之比)，研究表明[3-4]，奧氏體不銹鋼S30408超低溫抗拉強度與屈強比，分別是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。但是，目前對奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度概率分布的研究似不深入，有待于進一步加強。

為了推動深冷容器強度可靠性設計方法的建立，文中應用概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識[2,5-9]，基于非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408的有限有效試驗數(shù)據(jù)[1,10-12]，對其超低溫屈服強度的分布規(guī)律與分布參數(shù)進行了探索。

1 基本理論與方法

1.1 分布規(guī)律的假設檢驗

(1)計算有效試驗數(shù)據(jù)的準確度與精密度。當通過試驗測得奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度R的n組有效試驗數(shù)據(jù)Ri(i=1，2，…，n)時，其準確度與精密度分別為：

(1)

(2)

(2)假設超低溫屈服強度R的分布規(guī)律。假設超低溫屈服強度R是符合正態(tài)分布的隨機變量。

(3)預分組檢驗。

①列表分組計算理論概率與理論頻數(shù)。根據(jù)有效數(shù)據(jù)個數(shù)n，把其為M個組：

M=1+3.3lgn

并取整數(shù)。對于符合正態(tài)分布的隨機變量R，其統(tǒng)計量Ri落在分組[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內(nèi)的理論概率為：

(3)

式中，φ(·)為標準正態(tài)積分；a1=(Ri)min，aM+1=(Ri)max，(Ri)min、(Ri)max分別為Ri中的最小與最大值。

對于n個有效試驗數(shù)據(jù)，Ri位于分組[aj，aj+1]內(nèi)的理論頻數(shù)為n×pj。

②列表試算分組的皮爾遜統(tǒng)計量并計算其之和。第j個分組的實際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計量為：

(4)

M個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和為：

(5)

其檢驗條件為：若符合

(6)

則在顯著度為δ時，假設成立，否則存在分組不合理引起檢驗不符合假設的可能，需要重新進行合理分組，然后再一次檢驗。

(4)重新分組檢驗。

當重新分組后的組數(shù)為m，每組的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)分別為Ni與n×pi，第i個分組的實際頻數(shù)Ni與理論頻數(shù)n×pi差異的皮爾遜統(tǒng)計量為：

(8)

m個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和為：

(9)

(10)

則在顯著度為δ時，假設成立，否則在現(xiàn)有條件下假設不成立。本文取顯著度δ=0.05，所用的χ2系數(shù)見表1[2,5-6]。

表1 χ2與t系數(shù)

1.2 分布參數(shù)的取值區(qū)間

若奧氏體不銹鋼S30408的超低溫屈服強度基本符合正態(tài)分布，當雙側置信度為(1-α)時，其分布參數(shù)的取值區(qū)間按如下方法計算。

1.2.1 均值

屈服強度均值的取值區(qū)間為：

μ∈[μmin，μmax]

(11)

其中

(12)

(13)

式中，μ為屈服強度R的均值；μmin與μmax分別為μ在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限；tn-1, 1-0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(n-1)與0.5α查得。

α=0.02時，文中所用的t分布系數(shù)值見表1[2,5-6]。

1.2.2 標準差

屈服強度R標準差σ的取值范圍為：

σ∈[σmin，σmax]

(14)

其中

(15)

(16)

α=0.02時，文中所用的χ2分布系數(shù)值見表1[2,5-6]。

1.2.3 變異系數(shù)

屈服強度R變異系數(shù)C的取值范圍為：

C∈[Cmin，Cmax]

(17)

其中

Cmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin

(18)

式中，C為材料性能R的變異系數(shù)；Cmin與Cmax分別為C在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限。

2 分布規(guī)律的假設檢驗

深冷容器常用非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408制造[1]，下面分別討論其超低溫屈服強度的分布規(guī)律。

2.1 9%預應變奧氏體不銹鋼的超低溫屈服強度

在超低溫(液氮溫度即-196℃)時，文獻[1]獲得了9%預應變奧氏體不銹鋼S30408屈服強度的43組試驗數(shù)據(jù)，在雙側置信度為99%時，經(jīng)用文獻[10-12]的方法判別，其中42組是有效的，見表2。

將42組有效試驗數(shù)據(jù)代入式(1)與式(2)中，可得到其平均值與精密度，一并列入表2。

假設9%預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

表2 9%預應變S30408鋼超低溫屈服強度的有效試驗數(shù)據(jù)

表3 9%預應變S30408鋼超低溫屈服強度預分組檢驗的皮爾遜統(tǒng)計量

根據(jù)以上分析，可先將第3組與第4組、第5組與第6組分別合并，然后重新分組檢驗。

重新分組后的組數(shù)m=4，第i個分組的實際頻數(shù)Ni、理論概率pi、理論頻數(shù)n×pi、以及反映每個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量及其之和見表4。

4個組的自由度為f=4-1-2=1，取顯著度δ=0.05，

顯然，預分組檢驗是重新分組檢驗基礎，重新分組檢驗是預分組檢驗的補充與完善。

2.2 非預應變奧氏體不銹鋼的超低溫屈服強度

在超低溫時，文獻[1]通過試驗，也獲得了非預應變奧氏體不銹鋼S30408屈服強度的60組試驗數(shù)據(jù)，在雙側置信度為99%時，經(jīng)用文獻[10-12]建立的方法判別，這些數(shù)據(jù)都是有效的，見表5。將60

表4 9%預應變S30408鋼超低溫屈服強度重新分組檢驗的皮爾遜統(tǒng)計量

組有效試驗數(shù)據(jù)代入式(1)與式(2)中，可得到其平均值與精密度，一并列入表5。

表5 非預應變S30408鋼超低溫屈服強度的有效試驗數(shù)據(jù)

采用與上面相同的方法，在顯著度為0.05時可以證明，非預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

3 分布參數(shù)的取值區(qū)間

根據(jù)以上分析，在超低溫時，非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408屈服強度分別是符合正態(tài)分布的隨機變量，因此，在雙側置信度為98%時，可根據(jù)式(11)～式(18)分別計算其分布參數(shù)的取值區(qū)間。

3.1 9%預應變奧氏體不銹鋼的超低溫屈服強度

將表2中有效試驗數(shù)據(jù)的平均值與精密度代入式(11)～式(18)，可得到9%預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度分布參數(shù)的取值區(qū)間。

均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[546MPa，583MPa]

(19)

標準差σ的取值范圍為：

σ∈[39.50MPa，66.52MPa]

(20)

變異系數(shù)C取值范圍為：

C∈[0.0678，0.1218]

(21)

3.2 非預應變奧氏體不銹鋼的超低溫屈服強度

將表5中有效試驗數(shù)據(jù)的平均值與精密度代入式(11)～式(18)，可得到非預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度分布參數(shù)的取值區(qū)間。

均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[487MPa，526MPa]

(22)

標準差σ的取值范圍為：

σ∈[51.42MPa，79.25MPa]

(23)

變異系數(shù)C的取值范圍為：

C∈[0.0978，0.1627]

(24)

3.3 討論

相對于非預應變而言，9%預應變是在深冷容器制造前對奧氏體不銹鋼S30408的一種處理工藝。根據(jù)文獻[14-15]建立的兩個正態(tài)隨機變量分布參數(shù)的比較與評價方法，分別比較式(19)與式(22)、式(21)與式(24)可知，在超低溫時，9%預應變是顯著提高奧氏體不銹鋼S30408屈服強度均值的有效方法，盡管其變異系數(shù)(精度)沒有顯著變化，但存在變異系數(shù)減小即精度提高的趨勢。

4 結語

應用概率論與數(shù)理統(tǒng)計方法，對分布規(guī)律的假設檢驗方法進行了補充完善。在雙側置信度為99%時，分析了試驗數(shù)據(jù)的有效性；基于有限的有效試驗數(shù)據(jù)及98%的雙側置信度，探索了非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度的分布規(guī)律與分布參數(shù)。

1)顯著度為0.05時，非預應變與9%預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度基本符合正態(tài)分布。

2)雙側置信度為98%時，9%預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度的均值位于546MPa與583MPa之間，標準差位于39.50MPa與66.52MPa之間，變異系數(shù)位于0.0678與0.1218之間。

3)雙側置信度為98%時，非預應變奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度的均值位于487MPa與526MPa之間，標準差位于51.42MPa與79.25MPa之間，變異系數(shù)位于0.0978與0.1627之間。

4)在變異系數(shù)(精度)沒有顯著變化時，9%預應變是顯著提高奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度均值的有效方法。