李新政 白占國 李燕

(河北科技大學(xué)理學(xué)院,石家莊 050018)

(2018 年12 月10 日收到; 2019 年1 月5 日收到修改稿)

采用雙層線性耦合Lengyel-Epstein 模型,在二維空間對簡單正四邊和超點陣四邊形進(jìn)行了數(shù)值分析. 結(jié)果表明: 當(dāng)兩子系統(tǒng)波數(shù)比N>1 時,隨耦合強(qiáng)度的增大,基模的波矢空間共振形式發(fā)生改變,系統(tǒng)由簡單六邊形自發(fā)演化為結(jié)構(gòu)復(fù)雜的新型斑圖,除已報道的超六邊形外,還獲得了簡單正四邊和多種超點陣四邊形,包括大小點、點線、白眼和環(huán)狀超四邊等斑圖. 當(dāng)耦合系數(shù)α 和β在一定范圍內(nèi)同步增大時,兩子系統(tǒng)形成相同波長的I 型簡單正四邊; 當(dāng)α 和β不同步增大時,由于兩圖靈模在短波子系統(tǒng)形成共振,系統(tǒng)斑圖經(jīng)相變發(fā)生I 型正四邊→II 型正四邊→超點陣四邊形的轉(zhuǎn)變; 當(dāng)系統(tǒng)失去耦合作用時,短波子系統(tǒng)波長為λ的I 型正四邊斑圖迅速失穩(wěn)并形成波長為λ/N的I 型正四邊,隨模擬時間的延長,兩子系統(tǒng)中不同波長的正四邊均會經(jīng)相變發(fā)生I 型正四邊→II 型正四邊→六邊形的轉(zhuǎn)變.

1 引 言

豐富多樣的斑圖廣泛存在于自然界和多個實驗系統(tǒng)中,如太空中的螺旋狀星系、云朵的條狀排列、心肌組織的螺旋波電信號、反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)和非線性光學(xué)系統(tǒng)中的超點陣斑圖等[1?5]. 它是系統(tǒng)發(fā)生動力學(xué)分岔和某種時空對稱性破缺的結(jié)果,一般在時間上靜止、空間上呈周期分布的靜態(tài)斑圖由圖靈失穩(wěn)引起,而隨時間呈周期變化的動態(tài)斑圖則由霍普夫失穩(wěn)或波失穩(wěn)引起. 圖靈斑圖主要有六邊形、四邊形和條紋等,在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中,因為振幅方程在臨界點附近不存在A→?A反向?qū)ΨQ,方程的二階項不為零,所以四邊形斑圖相對不穩(wěn)定較難獲得,成為研究的難點. 目前,研究人員已在不同實驗系統(tǒng)中獲得了正方形和多種超四邊斑圖.Gal 等[6]在Rayleigh-Bénard 對流系統(tǒng)中利用導(dǎo)熱系數(shù)較差的玻璃作為邊界獲得了穩(wěn)定的正方形斑圖; Wagner 等[7]利用外加驅(qū)動頻率在法拉第實驗中獲得了正四邊斑圖,并觀察到四邊形到六邊形的轉(zhuǎn)變; Yang 等[8]利用方形圖案觀察到周期性光驅(qū)動下CDMA (chlorine dioxide-iodine-malonic-acid)系統(tǒng)中的超四邊圖形; Dong 等[9,10]利用介質(zhì)阻擋放電裝置獲得了多種類型的超四邊形斑圖,并分析了圖形隨驅(qū)動電壓的變化. 除實驗研究外,人們在理論上也對四邊形斑圖做了大量研究工作.Page 等[11]利用Gierer-Meinhardt 方程加四邊形擋板獲得了大小點超四邊斑圖; Yang 等[12]利用Brusselator 模型外加周期性驅(qū)動獲得了振蕩正四邊形; Li 等[13]利用雙層耦合Lengyel-Epstein 模型獲得了圖靈失穩(wěn)下自發(fā)形成的一種穩(wěn)定正方形斑圖; Judd 和Silber[14]預(yù)言了格子態(tài)超四邊的存在,但未能利用理論模型獲得其斑圖. 可見利用反應(yīng)擴(kuò)散理論模型對自發(fā)形成的超四邊斑圖研究結(jié)果相對較少,有待進(jìn)一步深入研究.

本文利用雙層線性耦合Lengyel-Epstein 模型,通過調(diào)整兩圖靈模的波數(shù)比及層層耦合強(qiáng)度,不但獲得了簡單正四邊,還模擬了多種超點陣四邊形斑圖,包括大小點、白眼、點線和復(fù)雜超四邊等,并借助于圖形的中間過程對簡單正四邊與超四邊的形成原因進(jìn)行了分析.

2 理論模型

自從圖靈[15]利用包含反應(yīng)和擴(kuò)散項的數(shù)學(xué)模型成功解釋某些圖紋的產(chǎn)生機(jī)理后,多個理論模型被提出并用于研究不同系統(tǒng)中的斑圖動力學(xué)行為[16?20],如Brusselator 模型、Schnackenberg 模型、復(fù)Ginzburg-Landau 理論方程、FitzHugh-Nagumo模 型 和Lengyel-Epstein 模 型 等,其 中,Lengyel-Epstein 模型在研究反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的圖靈斑圖中應(yīng)用最廣. 文中采用雙層線性耦合的Lengyel-Epstein 反應(yīng)擴(kuò)散方程,在無量綱的情況下,該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中u和v分別為活化子和阻塞子的濃度;Du和Dv分別為變量u和v的擴(kuò)散系數(shù);α和β為兩子系統(tǒng)的活化子和阻塞子之間的線性耦合強(qiáng)度;a和b為動力學(xué)控制參數(shù),文中固定a1=a2=15 和b1=b2=9 . 系統(tǒng)的均勻定態(tài)解:(u10,v10,u20,v20)=利用微擾對定態(tài)解做線性穩(wěn)定性分析得到本征值方程:

利用本征值方程可以獲得系統(tǒng)的色散曲線(如圖1 所示). 因控制參數(shù)[21]7.3,所以系統(tǒng)為局域漸近穩(wěn)定,通過調(diào)節(jié)擴(kuò)散系數(shù)Du和Dv的比值,使b滿足系統(tǒng)發(fā)生圖靈失穩(wěn),又因bH

圖1 兩子系統(tǒng)圖靈模型的色散曲線Fig. 1. Dispersion curves of Turing mode in two subsystems.

在本文的數(shù)值模擬中,采用歐拉向前差分的方法進(jìn)行積分,數(shù)值模擬在一個含有N×N(128 × 128)個格子的二維平面上進(jìn)行,時間積分步長?t=0.02個時間單位,空間積分步長為 ?x=?y=1.0 ,邊界條件選用周期性邊界條件.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

3.1 簡單正四邊的數(shù)值分析

因復(fù)雜斑圖均是由簡單斑圖相互作用構(gòu)成,所以研究簡單正四邊對于超四邊斑圖的了解非常重要,但反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的振幅方程中二階項不為零,所以系統(tǒng)一般不會選擇正方形斑圖,而是六邊形或條紋斑圖. 文中利用兩個不同波長的模通過線性耦合使系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的簡單正四邊斑圖,兩子系統(tǒng)的擴(kuò)散參數(shù): (Du1,Dv1,Du2,Dv2) =(23.75,326.85,46.30,671.25). 圖2(a)和圖2(b)分別為無耦合α=β=0時兩子系統(tǒng)生成的小點和大點簡單六邊形,空間尺度的波長比為從空間傅里葉頻譜顯示兩子系統(tǒng)基模的三個波矢均滿足空間共振形式:k3=?k1?k2; 當(dāng)同步增大耦合強(qiáng)度時,系統(tǒng)逐漸形成簡單正四邊斑圖,圖2(c)給出當(dāng)層層耦合強(qiáng)度α=β=0.10 時,兩子系統(tǒng)生成相同空間尺度波長為λ的I 型簡單正四邊斑圖,空間傅里葉頻譜顯示基模的兩個波矢:k1⊥k2(|k1|=|k2|),兩波矢雖不能滿足空間共振形式,但系統(tǒng)斑圖可穩(wěn)定存在,Dong 等[22]利用介質(zhì)阻擋放電實驗裝置在一定的實驗條件下觀察到隨驅(qū)動電壓的升高放電絲斑圖經(jīng)歷六邊形→正四邊形的相變現(xiàn)象.

圖2 無耦合時兩子系統(tǒng)生成的六邊形(a),(b)及耦合時生成的正四邊形(c)Fig. 2. Hexagonal patterns (a),(b) without coupling and square pattern (c) with coupling in the two subsystems.

圖3 失去耦合后兩子系統(tǒng)中正四邊斑圖的自發(fā)演化Fig. 3. Spontaneous evolution of square patterns in two subsystems after loss of coupling.

為分析正四邊形成的原因,本文在系統(tǒng)形成穩(wěn)定的簡單正四邊后(圖3(a1)和圖3(b1)),令α=β=0,去掉耦合作用,發(fā)現(xiàn)短波子系統(tǒng)中的正四邊迅速失穩(wěn)并演化為波長為的I 型簡單正四邊斑圖,長波子系統(tǒng)斑圖空間尺度不變(圖3(a2)和圖3(b2)),隨模擬時間延長兩子系統(tǒng)中的I 型簡單正四邊先后經(jīng)相變演化為II 型簡單正四邊斑圖,但空間尺度不變(圖3(a3)和圖3(b3)),生成的II 型簡單正四邊不能長時間穩(wěn)定存在,斑點位置隨模擬時間逐漸發(fā)生變化,并最終演化為六邊形(圖3(a4)和圖3(b4)). 從穩(wěn)定正四邊到六邊形的演化過程來看: 耦合項的存在會消除振幅方程中二階項的影響,從而改變原波矢的空間共振形式,使兩系統(tǒng)形成簡單正四邊斑圖,因為長波模的失穩(wěn)強(qiáng)度大于短波模(如圖1 所示),所以長波模為主動模,短波模為從動模,兩子系統(tǒng)形成空間尺度相同的四邊形; 當(dāng)去掉耦合作用后,短波模由從動模變?yōu)橹鲃幽?且兩模在各自系統(tǒng)中的波矢大小和方向不會瞬間改變,因此短波模會形成新的I 型正四邊,且與原圖形的空間尺度比為而長波子系統(tǒng)斑圖的空間尺度保持不變; 耦合作用消失后,由于兩子系統(tǒng)振幅方程中的二階項的影響,系統(tǒng)會重新選擇穩(wěn)定模式,因此I 型正四邊發(fā)生失穩(wěn),并經(jīng)過相變演化為II 型正四邊,隨II 型正四邊斑點位置的移動,兩波矢不再相互垂直,同時系統(tǒng)會產(chǎn)生一個新的模,逐漸滿足三波共振形式,系統(tǒng)最終形成穩(wěn)定的六邊形斑圖,并且發(fā)現(xiàn)長波子系統(tǒng)斑圖的失穩(wěn)時間早于短波子系統(tǒng),可見II 型正四邊是I 型正四邊由穩(wěn)定到不穩(wěn)定的一個過渡態(tài). 若短波子系統(tǒng)出現(xiàn)空間尺度為的I 型正四邊后,令α=β=0.10,讓兩子系統(tǒng)恢復(fù)耦合,長波模會再次起主導(dǎo)作用,短波子系統(tǒng)會重新形成波長為λ的穩(wěn)定I 型簡單正四邊. 在其他整數(shù)倍波數(shù)比時也有相同的模擬結(jié)果.

3.2 超點陣四邊形的數(shù)值分析

兩個不同波長的模相互作用時可形成新的空間共振關(guān)系,從而系統(tǒng)出現(xiàn)包含多個空間尺度模的復(fù)雜超點陣斑圖[23],本文利用兩個不同尺度的模經(jīng)線性耦合后,獲得了大小點、白眼和點線等復(fù)雜超四邊,其中大小點和白眼超四邊已在介質(zhì)阻擋放電實驗中觀察到[9?10,24].

圖4 (a)—(f)大小點超四邊的形成過程,模擬時間順序為463.8,827.9,893.2,927.8,957.4,975.0; (g) 空間傅里葉頻譜; (h) 波形空間分布(α=0.085 ,β=0.11 ,其余參數(shù)見圖2)Fig. 4. (a)?(f) Formation process of big-small spot square pattern,and the simulation time sequence is as follows: 463.8,827.9,893.2,927.8,957.4,and 975.0; (g) Fourier spectrum; (h) waveform diagram (α=0.085 ,β=0.11 ,the other parameters is the same value of Fig. 2).

本文進(jìn)一步分析了波數(shù)比為整數(shù)時雙層耦合系統(tǒng)形成超四邊的情形,發(fā)現(xiàn)在波數(shù)比大于1 時可形成更為復(fù)雜的四邊形,如圖5 所示. 當(dāng)波數(shù)比為2 : 1 時,系統(tǒng)形成類似于大小點的復(fù)雜超四邊,也是由大小點嵌套形成,不同的是每一個小點的邊緣有一圈暗環(huán),屬于復(fù)雜斑點; 當(dāng)波數(shù)比為3 : 1 時,系統(tǒng)形成點線超四邊,大點成正四邊排列,大點的中心為亮點、外面是一暗環(huán),每一個大點由8 個小斑點圍繞,并平均地分布在四邊,同側(cè)的小斑點呈直線排列; 當(dāng)波數(shù)比為4 : 1 時,系統(tǒng)生成環(huán)狀超四邊,單元點呈正四邊排列,每一個單元點分成三層,其中心為一亮點,中間是一暗環(huán),最外面是一個大的亮環(huán); 當(dāng)波數(shù)比為5 : 1 時,系統(tǒng)生成白眼超四邊,每一單元的中心為白色斑點,外面則是一暗環(huán).從二維傅里葉頻譜可以看到: 波數(shù)比為整數(shù)時超四邊的兩基模波矢相互平行(qi//ki),在兩套基矢qi和ki間有新的次諧振波矢出現(xiàn),這是由于基模間相互作用可產(chǎn)生新的次諧振模,次諧振模與基模間滿足三波共振關(guān)系. 波數(shù)比2 : 1 時最為簡單,只顯示一個大小為的次諧振模(見圖5(a2)),這是因qi與?ki相互 作 用 時 會 產(chǎn) 生 新 的次 諧振 波矢又因所以與ki重合,因此未顯示,基模ki與垂直方向上的次諧振模相互作用會產(chǎn)生新的次諧振模,如當(dāng)波數(shù)比N大于2 時,兩基模qi和?ki相互作用生成大小為的次諧振模,次諧振模與基模?ki相互作用又會產(chǎn)生尺度為的模,直至一倍新生模為止,兩垂直方向的模相互作用,又會產(chǎn)生非整數(shù)次諧振模,因此傅里葉頻譜圖顯示除整數(shù)倍模外,還有多個非整數(shù)倍尺度模產(chǎn)生,并且隨波數(shù)比的增大新生次諧振模的數(shù)量增加明顯.

圖5 不同波數(shù)比時系統(tǒng)形成的超四邊形 (a)復(fù)雜大小點四邊,Du1 =11.885,Dv1 =163.425, Du2 =46.30,Dv2 =671.25,α=0.075 ,β=0.11 ; (b) 點 線 四 邊,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =25.75,Dv2 =382.05,α=0.085 ,β=0.11 ; (c)環(huán) 狀 四 邊,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =45.90,Dv2 =677.05,α=0.085 ,β=0.11 ; (d)白 眼 四 邊,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =71.0,Dv2 =1065.25,α=0.075 ,β=0.11Fig. 5. Square superlattice pattern at different wavenumber ratios: (a) Complex big-small spot square pattern,Du1 =11.885,Dv1 =163.425,Du2 =46.30,Dv2 =671.25,α=0.075 ,β=0.11 ; (b) spot-line square pattern,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =25.75,Dv2= 382.05,α=0.085 ,β=0.11 ; (c) ring square pattern,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =45.90,Dv2 =677.05,α=0.085 ,β=0.11 ; (d) white-eye square pattern,Du1 =2.95,Dv1 =41.15,Du2 =71.0,Dv2 =1065.25,α=0.075 ,β=0.11 .

4 結(jié) 論

本文利用雙層線性耦合Lengyel-Epstein 模型,通過分析斑圖的演化過程,研究了簡單正四邊和超點陣四邊形斑圖的形成機(jī)制. 發(fā)現(xiàn)在控制參數(shù)a和b確定時,兩子系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度和波數(shù)比在四邊形斑圖的形成過程中發(fā)揮了重要作用. 隨耦合系數(shù)的增加,系統(tǒng)可實現(xiàn)簡單六邊形到簡單正四邊形的相變,耦合項的存在會消除振幅方程中二次項的影響,研究表明生成的I 型正四邊經(jīng)相變轉(zhuǎn)化為相同空間尺度的II 型正四邊,當(dāng)兩基模在短波子系統(tǒng)發(fā)生共振時,其系統(tǒng)會形成包含多個尺度模的超點陣正四邊,通過調(diào)節(jié)兩圖靈模的波數(shù)比獲得了多種超四邊,包括大小點、點線、環(huán)狀和白眼等超四邊; 在失去耦合作用時,因為四邊形的波矢不滿足空間共振形式,所以系統(tǒng)會重新選擇斑圖的穩(wěn)定存在形式,隨模擬時間延長兩子系統(tǒng)中II 型正四邊的單元點空間位置逐漸發(fā)生改變,將會出現(xiàn)一個新的模,使系統(tǒng)的模滿足三波共振形式. 本文的研究結(jié)果對于非線性系統(tǒng)超點陣斑圖的深入研究具有重要的借鑒作用.