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      基于亥姆霍茲線圈的旋轉(zhuǎn)磁場設(shè)計方法和COMSOL 有限元仿真

      2019-04-11 05:21:50范程穎
      科技與創(chuàng)新 2019年6期
      關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)磁場磁場導(dǎo)線

      范程穎

      (同濟(jì)大學(xué),上海 200000)

      1 旋轉(zhuǎn)磁場定義

      旋轉(zhuǎn)磁場的方向可以由旋轉(zhuǎn)面的法向即旋轉(zhuǎn)軸方向唯一確定,如圖1 所示,在空間坐標(biāo)系中磁場的中心處于原點,旋轉(zhuǎn)磁場方向矢量與z 軸的夾角為γ,→在xoy 平面的投影與x 軸的夾角為α.

      圖1 旋轉(zhuǎn)平面的空間坐標(biāo)表示

      其中,k 和φ是將三角函數(shù)中間項和差化積后的結(jié)果,可由下式給出:

      2 亥姆霍茲線圈的磁場計算

      亥姆霍茲線圈是一對彼此平行的相同線圈,兩個線圈間距等于線圈半徑,線圈繞線方式同向,且電流方向相同使得線圈產(chǎn)生的磁場方向一致[2]。如圖2 所示,一對亥姆霍茲線圈軸線重合且沿x 軸方向,以兩個線圈的中心為起始點的軸線線段中點處于坐標(biāo)原點。令線圈半徑為R,線圈中心到原點的距離為a,xoy 平面為工作平面,其上一點p:(x0,y0,0)處于線圈對中間。取左線圈上一段微元記作m,將右線圈上對稱位置的微元記作n,對p 點的距離向量分別為,微元與線圈連線與y 軸正方向成θ角。

      根據(jù)畢奧薩伐爾定律,p 點處的磁場由兩個線圈產(chǎn)生的磁場疊加得到:

      亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布如圖3 所示。根據(jù)圖3,m 點和n 點的坐標(biāo)表示為m(-a,Rcosθ,Rsinθ),n(a,Rcosθ,Rsinθ).

      為了簡化計算,對包含p 點坐標(biāo)x0,y0的項進(jìn)行換元[3]:

      p 點處的磁場為:

      其中:

      圖2 一維亥姆霍茲線圈磁場計算

      圖3 亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布

      3 三維亥姆霍茲線圈旋轉(zhuǎn)磁場參數(shù)建模

      3.1 亥姆霍茲線圈磁場的結(jié)構(gòu)參數(shù)

      在實際設(shè)計亥姆霍茲線圈時,由于線圈有一定的厚度,必須考慮線圈的實際尺寸,假設(shè)線圈內(nèi)徑為R1,外徑為R2,左右線圈內(nèi)端面到z 軸中軸線的距離分別為c,外端面到中軸線的距離為l.假設(shè)導(dǎo)線的橫截面積為σ,導(dǎo)線均勻緊密地繞在線圈上,匝數(shù)為N,則單位截面內(nèi)電流密度J 等于總電流與截面積的比值[4]:

      將面元ds 內(nèi)的電流Jds 作為一個電流環(huán),再對位置進(jìn)行積分,令:

      由上式可知,亥姆霍茲線圈磁場磁場強度與電流成正比,因此獨立出結(jié)構(gòu)參數(shù)ψ,為:

      三維亥姆霍茲線圈由三對兩兩正交的亥姆霍茲線圈組成,如圖4 所示,深灰色、黑色、淡灰色線圈分別對應(yīng)到三維坐標(biāo)軸X,Y,Z,工作區(qū)域為最小線圈的均勻區(qū)。

      圖4 X,Y,Z 軸線圈磁場

      設(shè)計三維亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu),要考慮以下兩個方面:①內(nèi)外線圈之間不能交疊,即內(nèi)線圈組外邊界到磁場中心的距離不小于外線圈組內(nèi)邊界到磁場中心點的距離;②三對線圈產(chǎn)生的磁場在中心區(qū)域大小與電流的比例相等,保證相同電流下產(chǎn)生的磁場強度相等。因此,線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計應(yīng)滿足如下關(guān)系[5]:

      3.2 亥姆霍茲線圈的電流參數(shù)

      亥姆霍茲線圈截面由N 匝導(dǎo)線構(gòu)成,盡管導(dǎo)線排列緊密,但導(dǎo)線之間仍存在一定空隙。令單根導(dǎo)線面積為σ0,將N 匝導(dǎo)線總面積與線圈橫截面積的比值定義為占空系數(shù)λ[6]:

      其中,kη和kβ分別表示排繞系數(shù)和疊繞系數(shù)[7],他們的數(shù)值取決于導(dǎo)線直徑,表示導(dǎo)線在線圈上排列、疊繞后的長度與導(dǎo)線直徑成比例關(guān)系。線圈的徑向厚度為內(nèi)外徑之差H=R2-R1,端面寬度W=l-c.已知含絕緣外皮直徑φ0,則單位厚度上的匝數(shù)n1、單位寬度上的匝數(shù)n2為:

      3.3 亥姆霍茲線圈的效率系數(shù)

      磁場強度與電流成正比,線圈的發(fā)熱正比于電流密度的平方,而且交變電流在線圈中會帶來自感和與其他線圈的互感,增加了線圈的功率損耗。同時,線圈發(fā)熱會使導(dǎo)線絕緣漆加速蒸發(fā)變薄,增加被擊穿的風(fēng)險,縮短線圈壽命。因此對線圈的功率損耗的分析有利于優(yōu)化亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和電流設(shè)計,提高線圈功率因數(shù)。引入亥姆霍茲線圈的效率系數(shù)G(α,β,ζ):

      從上式可知,效率系數(shù)G 是只和線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量,與線圈的實際尺寸無關(guān)。系數(shù)G 也稱作法布里系數(shù)[8],法布里第一次將線圈的功率損耗和空心圓柱線圈中心磁場聯(lián)系起來,可以表征亥姆霍茲線圈產(chǎn)生磁場效率的高低。

      4 三維亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)磁場COMSOL 有限元仿真

      COMSOL Multiphysics 5.3 是一款強大的多物理場仿真模擬有限元分析軟件,對三維亥姆霍茲線圈的幾何模型進(jìn)行建模,COMSOL 提供了友好的幾何建模工具。在上述計算基礎(chǔ)上,基于COMSOL 有限元仿真對三維亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場進(jìn)行了分析。首先分析了三軸線圈對的通以恒定電流的靜態(tài)磁場,然后分析了對線圈通時變電流時,亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場的準(zhǔn)確度。

      4.1 靜態(tài)磁場仿真

      現(xiàn)目標(biāo)磁場的工作空間為24 mm×24 mm 的正方形區(qū)域,磁感應(yīng)強度最大值為20 mT,磁場均勻度不高于0.3%,經(jīng)計算,三維亥姆霍茲線圈的參數(shù)設(shè)計如表1 所示。

      4.2 旋轉(zhuǎn)磁場

      上述模型確定后,對x,y 軸通相位相差90°的正弦交流電,頻率為1 Hz,則在xoy 平面內(nèi)形成旋轉(zhuǎn)磁場,1 s 內(nèi)原點磁場的變化如圖5 所示,磁場旋轉(zhuǎn)時可保持很好的形狀。

      表1 三維亥姆霍茲線圈參數(shù)表

      圖5 xoy 平面旋轉(zhuǎn)磁場,T=1 s

      5 總結(jié)

      本文介紹了旋轉(zhuǎn)磁場的計算和基于亥姆霍茲線圈的實現(xiàn)方法。首先給出了旋轉(zhuǎn)磁場的數(shù)學(xué)描述,分析了亥姆霍茲線圈的磁場,給出了一維亥姆霍茲線圈磁場的計算方法,并分析了亥姆霍茲線圈磁場的空間分布特性,然后基于一維線圈的計算,拓展到三維,詳細(xì)分析了三維亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和電流參數(shù)建模,最后基于三維亥姆霍茲線圈的參數(shù)計算使用COMSOL 有限元分析軟件對三維亥姆霍茲線圈的磁場進(jìn)行了仿真分析。

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