荷載橫向作用位置對(duì)偏心荷載分解法影響分析

李夏元， 萬水， Y.L. Mo

(1.東南大學(xué) 交通學(xué)院， 江蘇 南京 210096； 2.Civil and Environmental Engineering, University of Houston)

1 前言

薄壁箱梁截面因其抗彎、抗扭性能好，廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)。近年來，隨著預(yù)應(yīng)力技術(shù)在橋梁領(lǐng)域的發(fā)展與應(yīng)用，箱梁截面大量采用腹板間距較大的寬箱形式。結(jié)構(gòu)承受車輪荷載作用時(shí)，荷載多偏離箱形梁扭轉(zhuǎn)中心，箱形梁將發(fā)生截面扭轉(zhuǎn)，而寬箱截面因其箱室較寬，偏心距大，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)更為明顯。文獻(xiàn)[2]表明箱形梁在扭轉(zhuǎn)過程中，由剛性扭轉(zhuǎn)和截面畸變產(chǎn)生的縱向翹曲應(yīng)力可達(dá)到縱向總應(yīng)力的24%～26%。薄壁箱梁因偏心布置的汽車荷載而產(chǎn)生的附加翹曲應(yīng)力在活載總應(yīng)力中占有較大的比例，已成為大跨箱梁橋設(shè)計(jì)計(jì)算中必須考慮的問題。

近年來，關(guān)于橫向偏心荷載作用下箱形梁的力學(xué)性能研究主要分為有限單元法和理論解析法。有限單元法隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展,在土木工程中應(yīng)用越來越廣泛，但不易對(duì)箱形梁的工作性能獲得明確的物理概念, 對(duì)于參數(shù)分析與方案選擇無法給出直觀說明；理論解析法的主要思路是：箱形梁在偏心荷載作用下，根據(jù)線彈性疊加原理，將荷載分解為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載分別進(jìn)行計(jì)算，然后兩者疊加，偏心荷載分解法概念明確，適用于橫截面任意荷載作用的情況。盡管偏心荷載分解法存在諸多優(yōu)勢，但當(dāng)前文獻(xiàn)在介紹偏心荷載分解時(shí)，均基于力的平移定理，偏心荷載分解與截面參數(shù)無關(guān)，只與偏心距有關(guān)，忽略了腹板剛度對(duì)頂板的約束情況，這與實(shí)際情況存在一定的偏差。荷載橫向作用位置變化對(duì)偏心荷載分解法的影響因素研究尚未見報(bào)導(dǎo)。目前，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)箱形梁空間效應(yīng)理論(剪力滯、扭轉(zhuǎn)和畸變)進(jìn)行了大量的試驗(yàn)和理論研究，并取得了一定的成果，而相關(guān)研究的發(fā)展都是基于特殊的力學(xué)加載模式下開展的——外荷載以各種形式作用于箱梁腹板上，具有工程應(yīng)用的局限性，荷載橫向作用位置對(duì)偏心荷載分解法影響的研究恰恰能夠解決這樣的局限性，拓寬理論的適用范圍，對(duì)工程實(shí)際具有重要的指導(dǎo)意義和現(xiàn)實(shí)意義。

該文以單箱單室薄壁混凝土箱形梁為研究對(duì)象，理論論證當(dāng)前偏心荷載分解法的局限性。依托Abaqus有限元數(shù)值分析軟件，選取箱形梁頂板厚度、腹板厚度、梁寬、梁高等因素進(jìn)行參數(shù)化建模，基于控制變量原則，分析橫向荷載作用位置對(duì)偏心荷載分解法的影響，提出任意橫向位置下偏心荷載分解的簡化計(jì)算方法。

2 橫向偏心荷載分解法理論分析

文獻(xiàn)[11]給出如圖1所示的偏心荷載分解模式，分解思路:作用于箱梁頂板的偏心荷載P，根據(jù)力的平移定理，將偏心荷載P平移到箱形梁的扭轉(zhuǎn)中心，外加一個(gè)扭矩P·e。作用于扭轉(zhuǎn)中心的集中力P和扭矩P·e可以分解成正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載，相鄰腹板的合力可以等效成外荷載F1、F2。

圖1 偏心荷載分解示意圖

由圖1可列出橫向偏心荷載分解下F1、F2、Psym,load(對(duì)稱荷載)、Pasym,load(反對(duì)稱荷載)這4個(gè)未知分量的力的平衡方程：

(1)

由式(1)可得：

由于未知數(shù)數(shù)量超過平衡方程數(shù)目，文獻(xiàn)[11]增設(shè)一個(gè)力矩平衡方程：

Pasym,load·b=P·αb

Pasym,load=αP

(2)

現(xiàn)論證式(2)的合理性。F1、F2可表示為：

(3)

(4)

其中：0≤α≤0.5。

比較F1、F2的值，可以發(fā)現(xiàn)，偏心荷載分解法的結(jié)果與兩端簡支約束下的內(nèi)力分配一致，如圖2所示。

圖2 等效簡支梁示意圖

上述結(jié)論表明：傳統(tǒng)偏心荷載分解法忽略了腹板剛度對(duì)頂板的約束情況，僅僅以簡支約束代替，實(shí)際上腹板剛度對(duì)頂板存在著約束作用。因此，僅僅用簡支約束來代替邊界條件是不合理的，即式(2)的假設(shè)有待商榷。

由式(1)結(jié)論可知：偏心荷載分解得到的正對(duì)稱荷載Psym,load值恒定為P/2，與外荷載橫向作用位置以及截面參數(shù)無關(guān)，而反對(duì)稱的荷載值Pasym,load與偏心荷載各腹板力F1、F2的分配有關(guān)，當(dāng)偏心荷載作用于A時(shí)(即α=0.5)，反對(duì)稱荷載值Pasym,load恒定為P/2，與截面參數(shù)無關(guān)。

3 研究方案確定

由式(1)可知：橫向荷載作用位置的變化對(duì)正對(duì)稱荷載的取值沒有影響(Psym,load=P/2)，僅影響反對(duì)稱荷載的取值，這是由邊界條件決定的。橫向荷載作用位置對(duì)偏心荷載分解法的影響主要表現(xiàn)在相鄰腹板荷載的分配，最終反應(yīng)到反對(duì)稱荷載Pasym,load的力的分配。因此，為研究橫向荷載作用位置對(duì)偏心荷載分解法的影響，可通過研究橫向荷載作用位置對(duì)反對(duì)稱荷載Pasym,load力的分配影響來實(shí)現(xiàn)。正對(duì)稱荷載下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可用彎曲應(yīng)力σsym,w表示，而反對(duì)稱荷載下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可用扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力σasym,w表示，偏心荷載下的縱向總應(yīng)力可用σPw來表示。三者之間必然滿足：

σPw=σsym,w+σasym,w

(5)

根據(jù)圖1 所示的偏心荷載分解圖，利用Abaqus有限元軟件分別建立偏心荷載P(α=0.25、0.375、0.5)、正對(duì)稱荷載Psym,load=P/2、反對(duì)稱荷載Pasym,load=P/4共3種加載工況下的有限元模型。式(1)中，Pasym,load荷載值是未知的，選取Pasym,load=P/4，可以利用式(6)得到橫向任意荷載作用下，反對(duì)稱荷載Pasym,load與偏心荷載P之間的數(shù)值關(guān)系k，繪制k的橫向影響線，提出反對(duì)稱荷載系數(shù)k的簡化計(jì)算方法。

(6)

3.1 截面參數(shù)

選取跨度為2.5 m的單箱單室薄壁箱梁為基準(zhǔn)模型，模型截面尺寸見圖3，材料的彈性模量E=3.45×104MPa，泊松比υ=0.2。力學(xué)加載模式為跨中截面分別作用圖1所示的偏心荷載P=25 kN、正對(duì)稱荷載P/2=12.5 kN以及反對(duì)稱荷載Pasym,load=25/4 kN。

圖3 薄壁箱梁橫截面圖(單位：mm)

以箱形梁頂板厚度t0、梁寬b、梁高H等參數(shù)作為變量，基于控制變量原則，利用Abaqus有限元軟件對(duì)上述力學(xué)加載模式分別進(jìn)行三維數(shù)值建模分析(圖4～6)。

圖4 偏心荷載加載模式

圖5 對(duì)稱荷載加載模式

3.2 測點(diǎn)選取

文獻(xiàn)[14]表明：正對(duì)稱荷載作用下，加載點(diǎn)截面底板出現(xiàn)正剪力滯，箱形梁彎曲正應(yīng)力最大值出現(xiàn)在底板角點(diǎn)D處；文獻(xiàn)[11]、[13]表明：反對(duì)稱荷載作用下扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲正應(yīng)力最大值出現(xiàn)在箱形梁底板角點(diǎn)D處。因此，選取D點(diǎn)作為研究對(duì)象，繪制箱形梁角點(diǎn)D處縱向應(yīng)力沿梁軸的變化規(guī)律。

圖6 反對(duì)稱荷載加載模式

4 參數(shù)分析

4.1 算例分析

以圖3為例，偏心加載點(diǎn)位置e=0.25b。分別提取偏心荷載作用下測點(diǎn)D沿梁軸方向的縱向應(yīng)力值σPw(Peccentric,load)、對(duì)稱荷載作用下測點(diǎn)D沿梁軸方向的彎曲應(yīng)力值σsym,w(Psym,load)、反對(duì)稱荷載Pasym,load=P/4作用下測點(diǎn)D梁軸方向的扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲應(yīng)力值σasym,w(Pasym,load)以及正對(duì)稱荷載彎曲應(yīng)力值σsym,w與反對(duì)稱荷載作用下的扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力值σasym,w和值，分別繪制于圖7。

圖7 沿梁軸方向的縱向應(yīng)力

由圖7可見：偏心荷載P作用下測點(diǎn)D的縱向應(yīng)力值大于正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載作用下的應(yīng)力和值，表明當(dāng)偏心距e=0.25b時(shí)，反對(duì)稱荷載Pasym,load=P/4計(jì)算扭轉(zhuǎn)畸變翹曲正應(yīng)力值是偏小的，即實(shí)際結(jié)構(gòu)在靠近加載點(diǎn)腹板分配的力較多，與式(2)的設(shè)定存在偏差。按式(6)計(jì)算偏心荷載P作用于e=0.25b位置時(shí)其反對(duì)稱荷載系數(shù)k，k=0.341,即k≠α=0.25。

圖8為偏心荷載P作用下的縱向應(yīng)力值σPw與正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載作用下的應(yīng)力和值σsym,w+σasym,w沿梁軸線方向的誤差δ(%)。

(7)

由圖8可知：沿梁軸線方向的誤差δ不是固定值，在兩端誤差最小為10.3%；3L/8與5L/8處誤差達(dá)到最大值12.63%；加載點(diǎn)截面處的相對(duì)誤差為10.64%，該點(diǎn)處絕對(duì)差值最大，且與最大誤差僅差2%。因此，選取加載點(diǎn)截面測點(diǎn)D縱向應(yīng)力值，按式(6)計(jì)算反對(duì)稱荷載系數(shù)k是可行的。

圖8 δ 誤差分析圖

4.2 寬跨比b/L

寬跨比b/L為箱梁腹板之間的間距b與跨徑L的比值，相鄰腹板之間的間距分別選取b=300、600、800、1 000 mm，控制截面參數(shù)如圖3所示。利用Abaqus有限元軟件分別建立不同寬跨比下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點(diǎn)D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖9所示的反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨寬跨比b/L的變化規(guī)律。

圖9 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨寬跨比b/L的變化規(guī)律

由圖9可見：反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著寬跨比b/L的增大而逐漸降低，但變化幅度相對(duì)較緩，當(dāng)b/L從0.12變化到0.24時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k的變化相對(duì)較大，而當(dāng)b/L>0.24時(shí)，寬跨比b/L對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k的影響幾乎可以忽略。

4.3 高跨比H/L

高跨比為箱形梁高度H與跨徑L的比值，控制截面參數(shù)如圖3所示，僅改變梁高，分別取梁高H=240、440、640、840、1 040 mm，利用Abaqus有限元軟件分別建立不同高跨比下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點(diǎn)D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖10所示的反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨H/L的變化規(guī)律。

由圖10可見：偏心距e=0.25b時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著高跨比H/L的增大，先緩慢增大后緩慢減小，變化幅度不大；偏心距e=0.375b時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著高跨比H/L的增大而減小，反對(duì)稱荷載系數(shù)k的數(shù)值曲線呈現(xiàn)相對(duì)平緩的趨勢。表明高跨比H/L對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)的影響相對(duì)較低，可以忽略不計(jì)。

圖10 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨高跨比H/L的變化規(guī)律

4.4 高寬比H/b

取3.2節(jié)與3.3節(jié)不同寬度和高度的反對(duì)稱荷載系數(shù)，繪制如圖11所示的反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨高寬比H/b的變化規(guī)律，進(jìn)一步驗(yàn)證箱形梁高度和寬度對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k的影響。

圖11 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨高寬比H/b的變化規(guī)律

由圖11可見：反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著高寬比的增加，變化相對(duì)比較平緩，當(dāng)箱形梁寬度為300 mm時(shí),高寬比H/b為1.47時(shí)，有較為明顯的波動(dòng)，與圖9相似，這是因?yàn)橄湫瘟航孛鎸挾容^窄，局部影響顯著增強(qiáng)?？傮w而言，高寬比對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k的影響可以忽略不計(jì)。

4.5 頂板厚度與腹板厚度比t0/tw

控制各項(xiàng)參數(shù)如圖3所示，改變頂板厚度t0，頂板厚度t0分別取20、30、40、50、60、70、80 mm，t0/tw變化范圍0.5～2.25，步長為0.25。利用Abaqus有限元軟件分別建立不同頂板厚度下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點(diǎn)D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖12所示的反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨t0/tw的變化規(guī)律。

圖12 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨頂板與腹板厚度比

由圖12可見：偏心距e=0.25b和e=0.375b下的反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著頂板厚度與腹板厚度比值t0/tw的增大而逐漸減小。t0/tw<1.5時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k的值變化較為迅速，t0/tw≥1.5時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k變化相對(duì)平緩,呈線性變化規(guī)律。當(dāng)t0/tw<1、e=0.375b時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k的值超過了0.5，這一現(xiàn)象意味著當(dāng)頂板厚度比腹板厚度薄時(shí)，反對(duì)稱荷載引起的扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力顯著增大，若按式(2)的結(jié)論，反對(duì)稱荷載系數(shù)僅為0.375，誤差超過30%；而當(dāng)t0/tw<1、e=0.25b時(shí)，誤差更是超過56%，這一現(xiàn)象必須予以重視。

5 反對(duì)稱荷載系數(shù)k的簡化計(jì)算方法

由上述參數(shù)分析可知，頂板厚度與腹板厚度比值t0/tw對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k起主要作用，而高度、寬度等因素對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k影響則可忽略不計(jì)。該節(jié)將重點(diǎn)分析反對(duì)稱荷載系數(shù)k的簡化計(jì)算方法。

當(dāng)t0/tw=2.25時(shí)，繪制反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α改變時(shí)的變化趨勢于圖13，并添加函數(shù)趨勢線。

由圖13可知：反對(duì)稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α成線性變化的規(guī)律，且趨勢線擬合程度指標(biāo)R2≈1，反對(duì)稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α擬合程度具有較強(qiáng)的可靠性；相關(guān)系數(shù)ρkα：

(8)

反對(duì)稱系數(shù)k與偏心距系數(shù)α線性相關(guān)性較強(qiáng)，可按k=α表示。

由式(2)可知：

(9)

反對(duì)稱荷載系數(shù)k等于偏心距系數(shù)α，表明當(dāng)t0/tw≥2.25時(shí)，頂板剛度較大，腹板對(duì)頂板的約束可以看成鉸接約束，反對(duì)稱荷載系數(shù)k按照式(2)進(jìn)行計(jì)算，反對(duì)稱荷載Pasym,load=k·P,k=α。

當(dāng)t0/tw=1時(shí)，繪制反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α改變時(shí)的變化趨勢于圖14，并添加函數(shù)趨勢線。

圖13 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α的

圖14 反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α的

由圖14可知：反對(duì)稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α成3次拋物線變化的規(guī)律，趨勢線擬合程度指標(biāo)R2≈1，反對(duì)稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α擬合程度具有較強(qiáng)的可靠性：

k=-2α3+1.5α

(10)

類比文獻(xiàn)[15]給出兩端固定約束下的內(nèi)力分配計(jì)算方法。

(11)

將式(11)代入式(1)，可得：

(12)

式(12)與式(10)結(jié)論一致：

(1) 當(dāng)t0/tw=1時(shí)，箱形梁腹板對(duì)頂板的約束相當(dāng)于固定端約束。

(2) 當(dāng)1≤t0/tw<2.25時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α的函數(shù)關(guān)系介于簡直約束與固定端約束之間，可按固定端約束情況進(jìn)行分析，通過式(10)得到的反對(duì)稱荷載系數(shù)k可以包絡(luò)之間的所有數(shù)值(圖12)，反對(duì)稱荷載Pasym,load=k·P,k=-2α3+1.5α。

(3) 當(dāng)t0/tw<1、偏心距e=0.375b時(shí)，反對(duì)稱荷載系數(shù)k>0.5，頂板厚度to越薄，其局部效應(yīng)越明顯，不能簡單用上述等效成腹板對(duì)頂板的約束情況進(jìn)行分析。建議在按固定端約束等效計(jì)算的同時(shí)，考慮對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k進(jìn)行修正：

(13)

6 結(jié)論

該文從理論出發(fā)，論證了傳統(tǒng)橫向偏心荷載分解法的局限性，探討了反對(duì)稱系數(shù)k隨箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw、寬跨比b/L、高跨比H/L、高寬比H/b等參數(shù)變化的規(guī)律，基于控制變量原則，利用Abaqus有限元軟件，就如圖1所示的加載模式分別進(jìn)行三維數(shù)值建模分析，得到如下結(jié)論：

(1) 橫向偏心荷載分解法對(duì)正對(duì)稱荷載力的分配無影響，Psym,load=P/2，主要影響反對(duì)稱荷載Pasym,load力的分配。文獻(xiàn)[2]、[4]、[7]關(guān)于箱形梁的扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)理論分析僅適用于偏心荷載e=0.5b的情況，具有工程應(yīng)用局限性。

(2) 箱形梁寬跨比b/L、高跨比H/L、高寬比H/b等參數(shù)變化對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k的影響較小，可以忽略不計(jì)；而箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw對(duì)反對(duì)稱荷載系數(shù)k影響較為明顯，反對(duì)稱荷載系數(shù)k隨著箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw的增大而減小。

(4) 該文提出的反對(duì)稱荷載分配計(jì)算方法彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[2]、[4]、[7]應(yīng)用的局限性，適用于橫向任意位置作用偏心荷載的情況。