于海燕

【摘要】? R S 分析法即重標(biāo)極差分析法，是H.E.Hurst在1951年通過大量實證實驗的基礎(chǔ)上提出的一種通過時間序列來呈現(xiàn)出的統(tǒng)計檢驗方法.為了使這個度量能夠在時間上標(biāo)準(zhǔn)化，Hurst通過用觀測值的極差除以標(biāo)準(zhǔn)差來建立一個無量綱的比率，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)自然系統(tǒng)都不遵循隨機(jī)游走，而是遵循著一種“有偏的隨機(jī)游走”，其發(fā)生機(jī)會在一個方向或者某些方向上有偏的，而且整個過程近似一個循環(huán).在 R S 分析法中應(yīng)用到了最小二乘法，最小二乘法線性擬合出的回歸直線方程中的斜率就是H，即Hurst指數(shù)，最后得出相關(guān)結(jié)論，通過應(yīng)用 R S 分析法的實證分析過程，可進(jìn)一步為其他理論提供理論基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】? R S 分析法;最小二乘法;Hurst指數(shù)

一、運(yùn)用 R S 分析法的具體步驟

第一步：對長度為M的時間序列，將此時間序列劃分為m個不重疊的，長度為n的子區(qū)間，記為A1，A2，A3，…，Am，并記區(qū)間Ai（i=1，2，…m）中第k個元素為ak，i，k=1，2，…n，即Ai={a1，i，a2，i，…，an，i}共n個元素.

第二步：對長度為n的子區(qū)間Ai，記其樣本均值為ai = 1 n ∑ n k=1 ak，i.

第三步：對長度為n的子區(qū)間Ai，記其標(biāo)準(zhǔn)差為SAi=? 1 n ∑ n k=1 （ak，i-ai ）2 .

第四步：對長度為n的子區(qū)間Ai，記其累積離差為Xj，i=∑ j k=1 （ak，i-ai ）（j=1，2，…，n）.

第五步：對長度為n的子區(qū)間Ai，記其極差為RAi=max（Xj，i）-min（Xj，i）.

第六步：對長度為n的子區(qū)間Ai，記其重標(biāo)度極差為 RAi SAi .

第七步：m個區(qū)間的平均重標(biāo)度極差為? R S? n= 1 m ∑ m k=1?? RAi SAi? .

第八步：改變n的取值，重復(fù)一到六步的操作，得到多個? R S? n的數(shù)值，當(dāng)n無限大時，有? R S? n=cnH，對? R S? n=cnH兩端取對數(shù)得ln? R S? n=lnc+Hlnn.

第九步：畫出ln? R S? n關(guān)于lnn的圖像，擬合直線的斜率估計值即為Hurst指數(shù).

二、最小二乘法

設(shè)實驗中的數(shù)據(jù)是x=x1，x2，…，xn，y=y1，y2，…，yn.在研究x與y的關(guān)系時，在直角坐標(biāo)系中描出所有點（xi，yi），設(shè)這些點的回歸直線方程為yi=kxi+b，令這些點與回歸直線的接近程度最小，即η=∑ n i=1 （yi-kxi-b）2取最小值.令該式對k和b求導(dǎo)，并令該偏導(dǎo)數(shù)等于0，可得如下等式：

可解得其中k和b的值為：

k= n∑ n i=1 xiyi-∑ n i=1 xi∑ n i=1 yi 2 ，

b= ∑ n i=1 yi-k∑ n i=1 xi n ，

進(jìn)而求出其回歸直線的方程.

三、Hurst指數(shù)、分形維數(shù)D、相關(guān)性度量指標(biāo)C的特征

在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中相關(guān)性度量指標(biāo)C、Hurst指數(shù)、分形維數(shù)D之間有如下關(guān)系：C=22H-1-1;D=2-H;H為Hurst指數(shù).

由以上關(guān)系可知：

H=0.5，則C=0，即該時間序列是相互獨(dú)立隨機(jī)游走的，增量之間是不相關(guān)的.也就是說此時發(fā)生的事件對未來沒有絲毫影響.

0

0.50，即該時間序列是非隨機(jī)游走的，并且是非獨(dú)立的，現(xiàn)在發(fā)生的事件對未來有影響.若某一時間段內(nèi)增量增加，那么未來的增量是增加的;反之，若某一時間段內(nèi)增量下降，那么未來的增量是下降的.即該時間序列具有持久性，并且C值越趨近于1，該時間序列持久性越強(qiáng);C值越趨近于0，該時間序列趨勢越不穩(wěn)定，噪聲也就隨之變大.

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