王鵬飛，李衛(wèi)東，初憲武

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基于軌道約束H∞濾波的北斗輔助列車定位算法研究

王鵬飛1, 2，李衛(wèi)東1, 3，初憲武3

(1. 大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028； 2. 河南工學院機械工程系，河南 新鄉(xiāng) 453003； 3. 大連交通大學 電氣信息工程學院，遼寧 大連 116028)

針對列車定位的高安全性和穩(wěn)定性要求，結(jié)合列車行駛的特殊性，提出采用鐵路軌道信息對北斗定位數(shù)據(jù)進行約束的H∞濾波算法。以模糊自適應(yīng)“當前”統(tǒng)計模型為基礎(chǔ)建立列車運動模型，通過將軌道近似為直線段，建立軌道約束模型。將軌道約束與H∞濾波器結(jié)合實現(xiàn)軌道約束H∞濾波算法。通過仿真對比分析H∞濾波與卡爾曼濾波、約束與無約束估計的誤差。仿真結(jié)果表明：軌道約束在提高算法定位精度方面效果明顯，H∞濾波在列車位置估計上具有魯棒性優(yōu)勢。驗證了軌道約束H∞濾波算法的有效性，對北斗輔助列車定位的工程應(yīng)用具有理論指導意義。

軌道約束；H∞濾波；北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)；列車定位

鐵路運輸具有單位能耗低、單次運量大、環(huán)境適應(yīng)性強等特點，特別適合運輸重載貨物，其中部分高附加值貨物關(guān)系到國家政治、軍事以及民生等廣泛利益。無論人員運輸還是貨物運輸，提高鐵路系統(tǒng)運輸安全以及對鐵路運輸進行有效管理成為我國經(jīng)濟和社會發(fā)展中日趨緊迫的任務(wù)。歐美國家一直在用衛(wèi)星定位跟蹤技術(shù)為鐵路運輸提供有力的安全運行保障[1?2]。對于現(xiàn)代鐵路運輸系統(tǒng)來說，列車的跟蹤與定位是其運行基礎(chǔ)。隨著科技進步，對列車的定位與控制要求越來越高，而全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)在其中具有重要的應(yīng)用價值。以GPS為代表的GNSS系統(tǒng)在列車運行的定位解算、信息融合和安全評估等方面的應(yīng)用發(fā)展迅速，歐美國家在此方面已有多年技術(shù)積累[3]，從目前鐵路系統(tǒng)對于列車定位的需求來看，基于GNSS的列車定位系統(tǒng)的研究具有較大發(fā)展空間[4]。實踐表明，利用國外衛(wèi)星導航系統(tǒng)資源具有很大的風險性，不能滿足我國對交通安全的要求。我國自主研發(fā)的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(Beidou Navigation Satellite System，BDS)可軍民兩用，是國家安全保障的技術(shù)支撐系統(tǒng)[5]，對鐵路相關(guān)應(yīng)用具有重要的發(fā)展與應(yīng)用潛力。經(jīng)過多年發(fā)展，BDS已經(jīng)能夠為我國鐵路和公路等交通領(lǐng)域以及經(jīng)濟和社會發(fā)展的各領(lǐng)域提供自主安全、高質(zhì)量的衛(wèi)星定位服務(wù)。尤其是近兩年來，隨著北斗3代系統(tǒng)的發(fā)射與組網(wǎng)以及北斗地基增強系統(tǒng)的快速建設(shè)，逐步可以為全球用戶提供更優(yōu)質(zhì)的定位、導航和授時等服務(wù)。BDS作為一種全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)可以全天候、連續(xù)地對列車進行定位，具有實時定位精度高、成本低、維護方便等優(yōu)勢。同時，準確的位置信息對列車安全可靠地運行也至關(guān)重要，鐵路運輸及調(diào)度需要更為優(yōu)化的列車定位技術(shù)[6]。因此，對基于BDS的列車定位方法進行深入研究，對于推動我國鐵路運輸業(yè)的發(fā)展具有重要意義。

1 北斗輔助列車定位

目前，列車一般常用的定位方法是軌道電路定位和應(yīng)答查詢定位。軌道電路定位法雖然簡單有效，但是定位精度常會受到惡劣的氣候和工作環(huán)境的影響。同時隨著軌道電路放置的間隔不同，定位精度也有不同，其他的影響因素還有道砟阻抗和牽引電流等。應(yīng)答查詢定位可實現(xiàn)高精度定位，但是只能進行定點跟蹤定位，需要沿途鋪設(shè)應(yīng)答器設(shè)備。測速定位是一種通過測量運行速度并根據(jù)時間推算距離，從而計算出列車位置的定位方法，但是也存在定位誤差積分影響。因此，常規(guī)的列車跟蹤定位方法無法實現(xiàn)對列車實時高精度跟蹤定位。

BDS為列車安全運行提供了更多的定位信息與安全保障。但由于衛(wèi)星信號的強度容易受到周圍環(huán)境因素的影響，包括面臨衛(wèi)星星座、信號衰減與遮蔽、環(huán)境電磁干擾以及多徑效應(yīng)等多種因素，所以將BDS用于列車定位時還需要尋求方法彌補其缺陷，以保證列車可以進行連續(xù)準確可靠地定位，這也是北斗輔助列車定位的基礎(chǔ)和前提[7]。

由于衛(wèi)星易受外界環(huán)境影響，為了保證在衛(wèi)星定位失效的情況下定位數(shù)據(jù)的持續(xù)輸出，可以采用與慣性導航系統(tǒng)信息融合的方法進行輔助定位。這種方法具有容錯能力強的優(yōu)勢。列車受各種影響因素，其運動具有不確定性，無法認為是單一的勻速、勻加速和勻減速運動，而且列車對定位的安全性和穩(wěn)定性具有較高要求，所以魯棒性算法更具有實際應(yīng)用意義。

卡爾曼濾波是GNSS/INS組合導航的主要算法之一，其設(shè)計思路是出于最小線性方差估計[8]。其限制條件之一是要求首先確定系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣和量測噪聲協(xié)方差矩陣，而由于誤差模型與真實系統(tǒng)的差異，陣和陣具有一定的不確定性。H∞濾波算法具有很好的魯棒性，是針對陣、陣和估計誤差協(xié)方差陣未知的算法[9]。其設(shè)計思路來自博弈論，需要預先設(shè)置代價函數(shù)，再做極小值或者設(shè)置H∞范數(shù)上界的求解。

H∞濾波的魯棒性體現(xiàn)在對于未知統(tǒng)計特性的有界噪聲均可以有效處理，而卡爾曼濾波的建模以零均值的隨機過程為噪聲。同時H∞濾波器以傳遞函數(shù)的范數(shù)最小或者小于預設(shè)值為目標。所以，相比卡爾曼濾波器，H∞濾波器具有強魯棒性[10?11]。

H∞濾波能夠有效抑制非高斯統(tǒng)計特性噪聲的能力，結(jié)合軌道信息后，可以更好地實現(xiàn)對列車的定位與追蹤[12]。所以，為了滿足列車定位實時性和魯棒性的要求，采用H∞濾波算法融合BDS定位信息與軌道約束信息，對列車進行定位解算。將軌道信息作為約束條件引入濾波方程，其思路是在原有濾波的基礎(chǔ)上，利用軌道信息約束條件，對濾波方程中一步預測值的表達式作補充，即對一步預測值作修正，以改善濾波結(jié)果[13]。

2 列車運動模型

列車運動模型的準確性對濾波估計算法具有重要影響。為了能夠真實地反映列車的運動，本文采用“當前”統(tǒng)計模型作為列車的運動模型，該模型具有加速度均值和方差的自適應(yīng)性。

2.1 “當前”統(tǒng)計模型

實際列車的運動往往并不完全屬于勻速或勻加速范圍的運動?！爱斍啊苯y(tǒng)計模型采用修正的瑞利分布來描述加速度的概率密度，認為當前加速度均值等于加速度預測值[14]。所以，當列車以某一加速度運動時，下一時刻的加速度取值是有限的，且只能在“當前”加速度的鄰域內(nèi)。

“當前”模型假定目標的加速度連續(xù)變化，加速度均值與當前時刻的加速度估計相等，方差由均值決定。該模型本質(zhì)上是非零均值時間相關(guān)模型，其機動加速度的“當前”概率密度可用某種適當函數(shù)分布描述。

模型在估計目標狀態(tài)的同時辨識加速度均值的取值范圍，實時修正加速度的分布，最后以方差的形式反饋到下一時刻的系統(tǒng)濾波增益中，從而實現(xiàn)均值和方差的自適應(yīng)濾波。

其一階時間相關(guān)模型為：

式中：

系統(tǒng)噪聲協(xié)方差為：

列車運動模型與式(2)表達相同，式中的，和做相應(yīng)的調(diào)整。

2.2 模糊自適應(yīng)調(diào)整

通過采用模糊自適應(yīng)方法對加速度極限值進行自適應(yīng)調(diào)整，可以加強當加速度均值較小時“當前”模型對目標的跟蹤性能[16]。

引入模糊隸屬度函數(shù)：

3 軌道約束H∞濾波算法

H∞濾波與卡爾曼濾波在應(yīng)用場景和濾波目標方面具有一定的差異。H∞濾波是在系統(tǒng)具有模型不確定性時求最小化最大誤差估計，而卡爾曼濾波是在系統(tǒng)模型和噪聲等已知的前提下求最小均方誤差估計。所以，H∞濾波相對卡爾曼濾波具有更好的魯棒性，可將H∞濾波視為一個魯棒形式的卡爾曼濾波[17]，而對于線性系統(tǒng)，狀態(tài)等式約束估計優(yōu)于無約束估計[18]。

3.1 傳統(tǒng)無約束H∞濾波

H∞濾波可以穩(wěn)定地處理未知統(tǒng)計特性的噪聲，其計算過程與卡爾曼濾波類似。Ｈ∞濾波形式有多種，以文獻[9]中的離散型Ｈ∞濾波為研究對象。

系統(tǒng)狀態(tài)方程與量測方程為：

求解步驟為：

限制條件是在每步迭代計算時應(yīng)滿足代價函數(shù)取得極小值，即求解需要滿足條件：

3.2 列車軌道約束模型

通過列車軌道信息對系統(tǒng)定位數(shù)據(jù)進行約束，其本質(zhì)是將軌道信息融合到定位信息中，形成多信息融合定位，通過融合改善定位效果。

鐵路軌道線路由直線、圓曲線以及連接直線與圓曲線的緩和曲線組成[19]，而曲線可以近似為由多個直線段首尾連接組成。所以，在保證所需定位精度的條件下，可在分析時人為地將列車軌道近似為由一定長度的直線段組合而成。

列車行駛具有特殊性，即列車始終行駛在軌道上，數(shù)字軌道具有相對精確的位置坐標，基于此前提可對列車進行軌道約束。列車沿直線軌道運動時，可將軌道方程表達為：

式中：y和x為軌道點的北向和東向坐標；和為直線參數(shù)。

由于列車的行駛軌跡受軌道約束，運動方向與軌道方向一致，以A和A為列車北向和東向的速度，則約束方程為[20]：

改寫為矩陣形式為：

式中：為狀態(tài)向量，

3.3 軌道約束的H∞濾波

直線軌道約束為線性約束，將線性軌道約束模型與H∞濾波相結(jié)合的軌道約束H∞濾波算法可提高列車的定位精度。由文獻[21]的約束H∞濾波可得軌道約束H∞濾波算法。

1) 系統(tǒng)方程

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程如下：

式中：和分別是過程噪聲和量測噪聲，為不相關(guān)的白噪聲。

2) 濾波器初始化

3) 每一時刻狀態(tài)估計步驟

Step 1：選擇可調(diào)參數(shù)矩陣。

為加權(quán)過程噪聲的偏移分量。增加表示過程噪聲具有更多的偏移分量，此時均方差誤差性能會下降。如果0，則過程噪聲為零均值，可得到卡爾曼濾波性能。

Step 2：狀態(tài)估計計算。

Step 3：濾波器驗證條件。

式(18)為判斷H∞濾波器存在的條件。如果條件滿足則回到Step 1進行下一時刻估計；如果條件不滿足則濾波器無效，可以減小G并重新計算。

4 仿真驗證與分析

為了驗證軌道約束H∞濾波算法，采用蒙特卡羅法對典型列車定位場景進行仿真，對比卡爾曼濾波(KF)、軌道約束卡爾曼濾波(TC-KF)、H∞濾波(HF)和軌道約束H∞濾波(TC-HF)4種算法的濾波結(jié)果。

在滿足一定精度的前提下，曲線段軌道可以近似為多條一定長度的直線段，并根據(jù)列車的當前位置選擇相應(yīng)的直線段軌道約束方程進行約束，所以采用直線段仿真不失一般性。

假設(shè)列車行駛在某段直線軌道上，方向角為60°，則列車狀態(tài)向量為式(5)，列車的初始狀態(tài)為：

進行100次蒙特卡羅仿真實驗，北向和東向不同時刻的平均距離誤差分別如圖1和圖2所示。通過對比圖1與圖2可以看出，HF算法相對KF算法具有更好的穩(wěn)定性和定位精度，而TC-HF算法進一步提高了定位精度，說明軌道約束可以提高濾波算法的精度。從東向的平均距離誤差相對北向較大的現(xiàn)象中可以發(fā)現(xiàn)，KF算法比HF算法對噪聲更敏感，而HF算法魯棒性更好，這與HF的理論特性相 一致。

圖1 東向平均距離誤差

圖2 北向平均距離誤差

4種濾波算法仿真軌跡全程平均距離誤差比較結(jié)果如圖3所示，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示，表1中D表示每次仿真軌跡全程平均距離誤差值。

圖3中，HF和TC-HF曲線相對平緩，而KF和TC-KF曲線相對突出，表示定位有失準現(xiàn)象發(fā)生，進一步表明了增加軌道約束的濾波算法具有更高的定位精度，而HF算法具有更強的魯棒性，可以更好地適應(yīng)列車的多變的運動狀態(tài)。

表1顯示，對于卡爾曼濾波算法，無約束時KF算法的平均距離誤差為13.35 m，而有約束估計器平均距離誤差為9.51 m，增加軌道約束后，定位精度提高了約28.7%。對于H∞濾波，有約束估計器比無約束估計器提高精度約33%。

圖3 100次蒙特卡羅仿真誤差對比

表1 蒙特卡羅仿真統(tǒng)計

總體上，軌道約束后的濾波器在定位精度改善方面效果明顯，H∞濾波相對卡爾曼濾波在位置估計上具有明顯優(yōu)勢。

5 結(jié)論

1) 對加速度極值進行模糊自適應(yīng)調(diào)整的“當前”統(tǒng)計模型可以較好地跟蹤列車運行，可用于列車的實時定位。

2) 由于列車軌道及運行的特殊性，可以通過將列車軌道近似為連續(xù)直線段，建立線性軌道約束模型，仿真結(jié)果顯示軌道約束可以明顯提高列車定位濾波算法的位置精度。

3) 列車定位系統(tǒng)具有高的安全性和穩(wěn)定性要求。通過對比分析軌道約束H∞濾波算法與無約束算法的定位精度誤差。結(jié)果表明，H∞濾波相對卡爾曼濾波在位置估計上具有優(yōu)勢，驗證了軌道約束H∞濾波算法的有效性。

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Study on Beidou-assisted train positioning algorithm based on track constrained H∞filtering

WANG Pengfei1, 2, LI Weidong1, 3, CHU Xianwu3

(1. School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China; 2. Department of Mechanical Engineering, Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China; 3. School of Electrical and Information Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

Aiming at the high safety and stability requirements of train positioning, combined with the particularity of train driving, an H∞filtering algorithm using railway track information to constrain Beidou positioning data was proposed. The train motion model was established based on fuzzy adaptive “current” statistical model. By approximating the track to a straight line segment, a track constraint model was established. The track constraint model and H∞filtering are combined to realize the track constrained H∞filtering algorithm. The positioning errors of H∞filtering and Kalman filtering, constraint estimation and unconstrained estimation are compared and analyzed by simulation. The simulation results show that the track constraint is effective in improving the localization accuracy of the algorithm, and H∞filtering has robust advantages in the estimation of train position. The effectiveness of the track constrained H∞filtering algorithm is verified, and it has theoretical significance for the engineering application of Beidou-assisted train positioning.

track constraint; H∞filtering; Beidou Navigation Satellite System; train positioning

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.03.033

U283

A

1672 ? 7029(2019)03 ? 0812 ? 07

2018?05?24

國家自然科學基金資助項目(61471080)

王鵬飛(1979－)，男，河南新鄉(xiāng)人，副教授，博士研究生，從事智能傳感與測控技術(shù)研究；E?mail：muyeyunfei@163.com

(編輯 陽麗霞)