安徽省淮南市教育局中小學(xué)教研室 (郵編：232001)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》明確指出“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)要靠學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷積累基本的活動經(jīng)驗(yàn)，并運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法去解決問題，由此在此過程中感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值和作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

歷年高考數(shù)學(xué)考試大綱均明確將“注重通性通法，強(qiáng)化特殊技巧”作為一條重要命題原則.這就是要求教師提高對所教內(nèi)容的理解水平，增強(qiáng)辨別和判斷能力，并在數(shù)學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去分析、總結(jié)、體會哪些是“雕蟲小技”，哪些是“通性通法”，逐步提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.

高三教學(xué)后期(一輪已結(jié)束)盡管復(fù)習(xí)已到位，但需要對一系列相對零散知識與方法進(jìn)行重組，構(gòu)緯聯(lián)經(jīng)，形成網(wǎng)絡(luò).但正是因?yàn)槿绱?，教師的教學(xué)組織更要彰顯“過程”與“通法”，充分調(diào)動學(xué)生的主動性.以下結(jié)合筆者聽評的一節(jié)高三復(fù)習(xí)課，以求“管中窺豹”，并向各位求教與匯報.

2 課堂實(shí)錄

出示一道經(jīng)典例題：

師：請問這道如何求解，請大家發(fā)表看法.

師：這個方法不錯，不妨稱之為判別式法(投影生1解題過程).

師：本題還有其它解法嗎？

生2：由生1的設(shè)法y=kx表示直線，(x-2)2+y2=1表示圓，故還可以利用直線與圓的位置關(guān)系來求解.

師：這個想法很自然，我們稱之為幾何法(投影生2的解題過程).

師：本題是否僅有此兩種解法呢？

生3：還有更簡潔解法，幾乎可以“秒殺”！

師：還有如此玄妙的解法？趕快貢獻(xiàn)出來與我們一同分享吧！

注意|OC|=2,|AC|=1,則∠AOC=∠BOC=30°，故

師：這個方法以形助數(shù)，借形解數(shù)，妙不可言，稱之為數(shù)形結(jié)合法.本題已有三種解法，估計(jì)差不多了吧？

生4：還有一種解法.

師：請你說說看.

生4：可利用圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元解決(投影生4的解法).

師：剛才大家一共找到四個辦法共同解決了一個問題，可謂“異曲同工”.那么在以后解題應(yīng)該如何選取最有效的方法呢？接下來再看幾個題目，請大家思考，討論下列各題可采用什么方法？(引導(dǎo)學(xué)生先討論再回答)

師：為何不用幾何法？

生5：因?yàn)槟壳拔覀冞€不能從幾何直觀上判定直線與橢圓位置關(guān)系.

師：很好！那么“數(shù)形結(jié)合”你是如何求解呢？

生5：過原點(diǎn)向橢圓引切線，求出切線斜率.

師：如何求切線斜率？

生5：利用判別式.

師：那么該“數(shù)形結(jié)合法”本質(zhì)上說仍是判別式法.故本題通法為“判別式法”與“三角換元法”.(解題過程略)

變式2 若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+xy+y-3=0,試求2x+3y的最值.

生6：本題只能用判別式法.

師：請說一說你的理由.

生6：因?yàn)閤2+xy+y-3=0只是一個二元二次方程，其幾何意義并不清楚.

師：很好！看來“判別式法”是一個無所不能的好辦法，應(yīng)該算是我們常談的“通性通法”，那么它會不會也有“失敗”的時候呢？

變式3 若實(shí)數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2=1,試求x2+y2+2x-4y的最值.

師：這道題可用判別式嗎？為什么？

生7：不可以，因?yàn)樗蠼Y(jié)果不是一次式，不能進(jìn)行消元.

師：那么它該如何求解呢？

生7：可用三角換元(投影生7的解法)

令x=cosθ,y=sinθ,

原式=(2+cosθ)2+sin2θ+2(2+cosθ)-4sinθ=9-2(2sinθ+3cosθ)

生8：本題也可用數(shù)形結(jié)合，因?yàn)閤2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5，其中

師：生8解法很有思想，數(shù)形結(jié)合，魅力無窮.

生9：剛才生7說x2+y2+2x-4y不是一次式，事實(shí)上，所求代數(shù)式可轉(zhuǎn)化成一次式求解，故還可用判別式.

師：真的嗎？說說你的發(fā)現(xiàn).

生9： 由(x-2)2+y2=1，知x2+y2=4x-3，故x2+y2+2x-4y=6x-4y-3，可用判別式求解.

師：非常正確，轉(zhuǎn)化成功，這個方法老師都沒想到！讓我們?yōu)樗恼?(掌聲四起)

課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們集中研究了在二次方程(一般不含xy項(xiàng))限制性條件下，求代數(shù)式的最值問題.主要結(jié)論小結(jié)如下：

若被求代數(shù)式為線性(或可轉(zhuǎn)化為線性)，則可用“判別式”法求解，即“判別式”法是求解該問題的“通性通法”.

若已知條件可轉(zhuǎn)化成圓或橢圓方程，則可考慮采用三角換元求解：若被求代數(shù)式又有明顯的幾何意義(斜率與距離)也可用數(shù)形結(jié)合求解.

3 感悟升華

3.1 “一輪后”復(fù)習(xí)也要重視“過程”

應(yīng)該說隨著課程改革的推進(jìn)，教師在新授課的教學(xué)中，教師的教學(xué)觀或多或少都發(fā)生了改變，探究活動，合作學(xué)習(xí)也常見于課堂.然而在高三一輪后復(fù)習(xí)備課的教學(xué)中，課堂再次被教師獨(dú)霸，常見的教學(xué)是教師提前編寫講義，發(fā)給學(xué)生練習(xí)(或測試)，教師結(jié)合學(xué)生錯誤多的地方進(jìn)行重點(diǎn)訂正.如此簡單隨意的教學(xué)，把習(xí)題課變成訂正課，很難保證復(fù)習(xí)效率.即便在重點(diǎn)題型講解上，也只是在炒剩飯，突出表現(xiàn)在以下兩方面：一是對同一個題目采取一題多解，各種解法平行推進(jìn)，以教師的講解代替學(xué)生的思維，再以類似題進(jìn)行固化的訓(xùn)練.然而一旦題目稍有變化，學(xué)生便感到“十八般武藝，樣樣不通”，教學(xué)的效果大打折扣.二是未能很好地將相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行“串聯(lián)”，形成有機(jī)的整體，造成學(xué)生認(rèn)知上的困難，學(xué)生的能力并未真正提高.本節(jié)課從一個簡單而又不失經(jīng)典的題目入手，全方位展示該題的多種解法，每一種解法都不是教師給出，而是由學(xué)生根據(jù)提議和結(jié)論，不斷進(jìn)行升級與改造，充分給學(xué)生時間，做足“過程”.為了進(jìn)一步讓學(xué)生逐個感悟到各解法的適用對象，課堂上將原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，制造沖突，讓學(xué)生時刻處于興奮狀態(tài)，讓復(fù)習(xí)課也充滿新鮮感.

“灌輸”雖然也可以讓學(xué)生獲得知識，但失去了直覺、感悟和樂趣；而關(guān)注“過程”的教學(xué)在讓學(xué)生獲得知識的同時，卻在發(fā)展著學(xué)生的思維，感受著數(shù)學(xué)的魅力，在生命層次上體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣,感悟數(shù)學(xué)的教育價值.

3.2 “一輪后”復(fù)習(xí)更要突出通法

本節(jié)課的題目引例雖然簡單，但方法多樣，倘若不慎，會讓學(xué)生有“錢多不知如何花之感”.為此，在后續(xù)的教學(xué)安排中，不斷變化條件與問題，最終讓學(xué)生體會到“判別式法與“三角換元”作為解決此類問題的“通性通法”的威力與“魅力”！雖然問題較多，但由于問題設(shè)計(jì)條理清晰、層次清楚、設(shè)問自然，會有“忽如一夜春風(fēng)來”的頓悟.

誠然，“通法”不能由教師簡單地告知，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生去親自體驗(yàn)與感悟.本節(jié)課教師似乎沒有給學(xué)生任何解題“妙招”，而只是在追問學(xué)生“你是怎樣想的”“還有什么想法”“為什么不能這樣想”“為什么可以這樣想”這些追問其實(shí)引導(dǎo)學(xué)生挖掘精彩背后的“通法”之源，充分暴露學(xué)生的思維過程，加深學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用，用“火熱的思考”去替代“冰冷的美麗”，從而提升學(xué)生思維的品質(zhì).

3.3 學(xué)生是“一輪后”最具活力的資源

在高三復(fù)習(xí)后期(一輪復(fù)習(xí)已結(jié)束)，學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識體系、思維方法都有了較系統(tǒng)的掌握.加之，他們對同一個問題思考角度不同，一定會帶來不同的解題策略與方法，正所謂“眾人拾柴火焰高”.在教學(xué)中，教師應(yīng)注重對課堂最具活動的資源——學(xué)生的開發(fā).如教師可以通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生去探索、討論、講解，對于同一個問題，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去分析探究，鼓勵一題多解；對于同一類問題，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象概括出本質(zhì)屬性，總結(jié)規(guī)律和方法,強(qiáng)化通性通法，最終提升學(xué)生的解決問題的能力.