以“速度”理解為中心的行程問題數(shù)量關(guān)系的教學(xué)實踐

瞿仙紅 姚金金

【摘 要】“速度”是一個“量”，也是一個“比值”，它表示物體運動的快慢。教師要想以“速度”的理解為中心，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，可以從“比值”的視角揭示速度內(nèi)涵，因“應(yīng)用”的需要概括數(shù)量關(guān)系，用“題組”的觀察滲透函數(shù)思想的教學(xué)思路。

【關(guān)鍵詞】速度；比值；數(shù)量關(guān)系

“速度”是一個物理學(xué)概念，是描述質(zhì)點運動快慢和方向的物理量，等于位移和發(fā)生此位移所用時間的比值。從上述定義可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材中的“速度”指的是物理學(xué)中速度的其中一個方面——“質(zhì)點運動的快慢”，這個快慢是用一個“比值”表示。這樣的定義給我們一個啟示，“速度”不僅是一個量，同時也是一個“比值”。認(rèn)識“速度”，不僅僅只看量的大小，還要關(guān)注速度所包含的單位的含義?；谶@樣的思考，在教學(xué)行程問題的數(shù)量關(guān)系時，教師可以以“速度”的理解為中心，在具體應(yīng)用中逐步構(gòu)建行程問題的數(shù)量關(guān)系。

一、從“比值”的視角揭示速度內(nèi)涵

四年級上學(xué)期的學(xué)生，大多數(shù)已經(jīng)知道“速度”可以表示快慢。但對于“速度”是如何表示快慢的，大多數(shù)學(xué)生還是停留在“行的路程長，速度就快”的片面理解上。因此，為了更加深入理解“速度”，需要創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從“路程與單位時間的比”的角度來理解，既關(guān)注路程，更關(guān)注單位時間，從而更加全面地認(rèn)識速度。

（一）感受速度表示快慢

在自然界與生活中，可以看到各式各樣的運動狀態(tài)，這些運動狀態(tài)通過比較，可以直觀地表達誰快誰慢。進一步分析，如果要更精確地進行描述，就要用到定量描述，這就是速度。在課始，可以創(chuàng)設(shè)具體情境，讓學(xué)生經(jīng)歷這一個過程。

教師出示圖1， 提問：這里有三幅圖片，請說一說它們分別是什么動物，誰跑得最快，誰爬得最慢。學(xué)生回答后，教師追問：那么怎樣表示它們的快慢呢？當(dāng)有學(xué)生說到可以用“速度”時，教師板書“速度”并出示如下幾個數(shù)據(jù)：8米/秒；8米/分；8米/時。然后提問：這就是“速度”，你看得懂嗎？說一說它們的意思。由于有前一節(jié)課中“單價”表述的經(jīng)驗，學(xué)生能夠讀出并說出每一個速度的含義。這時教師繼續(xù)追問：這3個速度分別可以表示這三種動物運動的快慢，請你連一連，然后說一說為什么。

生：8米/秒比較快，所以連獵豹；8米/分比較慢，所以連烏龜；8米/時最慢，所以連蝸牛。

師：同樣是8米，為什么你認(rèn)為8米/秒就是最快的呢？教室的長大約是8米，你能夠形容一下嗎？

生：就是“嘀嗒”一下，獵豹就從教室的這頭到了那一頭。

生：真快！就像“風(fēng)馳電掣”！

師：大家想象一下，1秒鐘從教室這頭到了那一頭，能夠體會到快嗎？（停頓。學(xué)生點頭后教師繼續(xù)說）那么怎樣來形容“8米/分”的“較慢”與“8米/時”的“很慢”呢？

……

通過以上的交流與體驗，學(xué)生體會到速度是單位時間行的路程。因此，需要路程與時間共同作用，才能夠表示出快慢。

（二）認(rèn)識常見交通工具的速度

在日常生活中，不同的交通工具也有快慢之別。列舉常見的交通工具，讓學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗選擇合適的“速度”，從單位時間相同的角度來感受速度表示出的快慢。

教師先出示人行走的圖示，然后問：人1小時一般可以走多少千米？學(xué)生猜測后教師出示：約6千米。接著教師依次出示自行車、汽車、動車與飛機的圖片，讓學(xué)生先猜測。然后依次出示如下的速度：自行車約20千米/時、汽車約60千米/時、動車約260千米/時、飛機約900千米/時。

教師繼續(xù)問：為什么要用到“約”呢？

生：在行駛的過程中，有的時候會快一點，有的時候會慢一點，“平均”一下就是這個樣子。

師：回答得很有水平，“平均”一下“大約”是這么多！

接著教師出示幾張不同背景下汽車行駛的圖片與限速標(biāo)記，然后提問：實際上，汽車在不同的路況下行駛，它的速度會不一樣，這幾個馬路上的交通標(biāo)識你看得懂嗎？

……

通過以上的活動，學(xué)生對常見的交通工具的速度有了較為全面的了解，為后續(xù)創(chuàng)設(shè)情境、選擇合適的出行方式等問題做了必要的鋪墊。

（三）歸納速度的比較策略

如何直接比較物體運動的快慢呢？以上兩種信息包含了兩種比較的策略，即第一種是當(dāng)路程相同時，單位時間越短，速度越快；第二種是當(dāng)單位時間相同時，路程越長，速度越快。從而讓學(xué)生感受到速度體現(xiàn)的是兩種量（路程與時間）之間的比值。

師：同學(xué)們，剛才我們學(xué)習(xí)了兩組速度，我們來比較一下，它們有什么相同的地方？

生：它們和“單價”一樣，是由兩個單位合起來的。前面一個單位是長度單位，后面一個單位是時間單位。

師：又有什么不同的地方？

生：第一種長度相同，時間不同；第二種長度不同，時間相同。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

“速度”是描述物體運動快慢的量，只有了解“速度”的內(nèi)涵，才能夠選擇合適的方法進行比較。同時，通過題組的形式，在比較中建立關(guān)于“速度”的量感。學(xué)生能夠依據(jù)“速度”推測可能是什么運動物體，看到常見的運動物體能夠估計它們大致的速度。

二、由“應(yīng)用”的需要概括關(guān)系

以“速度”理解為中心的行程問題數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建，也建立在對速度的理解與比較之中。速度是如何求得的？長度單位與時間單位均不相同的速度如何比較快慢？如何依據(jù)路程的長短合理地選擇交通工具？圍繞速度解決問題的過程中逐步概括行程問題的數(shù)量關(guān)系。

（一）比較快慢中概括求速度的數(shù)量關(guān)系

速度是如何求得的？求得速度有什么用？解答這兩個問題可以結(jié)合具體實例，讓學(xué)生在解決問題的過程中概括出求速度的數(shù)量關(guān)系。

教師出示信息并提出問題：飛機滑行5秒，行了125米； 汽車行駛20秒，行了560米。比較誰行得快。

先讓學(xué)生獨立嘗試解決上面的問題，然后反饋：要比較誰行得快，需要求出它們的什么？

生：只要求出它們的速度后再比一比就行了。

學(xué)生展示作業(yè)并說明。教師依據(jù)這兩個算式概括出“路程”“時間”，然后進一步提問：怎樣求速度？學(xué)生回答后形成板書（如圖2）。

（二）判斷快慢中概括求路程的數(shù)量關(guān)系

一般地，求路程的數(shù)量關(guān)系是行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系。圍繞以“速度”理解為中心的行程問題教學(xué)，把這一個數(shù)量關(guān)系的概括也建立在比較速度的問題情境中。

教師出示如下的情境：在一段高速公路上，有一輛汽車行駛的速度是2千米/分，這段高速公路的限速是100千米/時。這輛汽車超速了嗎？

生：一個是每分行的千米數(shù)，一個是每小時行的千米數(shù)，單位時間與千米數(shù)都不相同，不能直接進行比較。我把“2千米/分”化成了“120千米/時”，列出的算式是2×60=120（千米），120千米>100千米，超速了！

教師板書學(xué)生的算式后追問：依據(jù)這一個算式，你能夠概括出什么數(shù)量關(guān)系？

生：速度×?xí)r間=路程。

教師板書關(guān)系式，提出新要求：你能夠利用這一關(guān)系式編出求路程的問題嗎？

同桌合作，一位學(xué)生口頭編，另一位學(xué)生列式解答，兩位學(xué)生各完成一組。然后教師指名兩組學(xué)生反饋，并把算式板書于相應(yīng)位置。

（三）選擇交通工具中概括求時間的數(shù)量關(guān)系

在日常生活中，經(jīng)常會出現(xiàn)如下問題：從甲地到乙地，有多種交通工具可以選擇，選擇哪一種交通工具最合理呢？一般需要依據(jù)到達目的地的時間限定和路程的長短。

教師出示如下問題：小王從甲地到乙地去辦事，兩地間有15千米。有三種出行方式，步行每小時行5千米，自行車每小時行15千米，乘公交車每小時行30千米。要求1小時內(nèi)到達，可以選擇怎樣的出行方式？為什么？

先由學(xué)生獨立完成，然后反饋。

生：我選擇的是自行車，因為15÷15=1（小時）。

生：我選擇乘公交車，因為15÷30=0.5（小時）。15÷30豎式我不會算，但是我發(fā)現(xiàn)15是30的一半，所以是0.5小時。

師：為什么不選擇步行出行呢？

生：步行出行要用15÷5=3（小時），超時了！

教師依據(jù)學(xué)生的回答板書算式，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出數(shù)量關(guān)系（如圖3）。

[速度×?xí)r間=路程 路程÷時間=速度 路程÷速度=時間

2×60=120（千米） 125÷5=25（米/秒） 15÷15=1（小時）

2千米/分=120千米/時 560÷20=28（米/秒） 15÷30=0.5（小時）

行程問題的三個數(shù)量關(guān)系既相互聯(lián)系，又各有作用。創(chuàng)設(shè)了三個問題情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中逐步概括出數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生依據(jù)具體情境選擇合適的數(shù)量關(guān)系，也讓學(xué)生體會到數(shù)量關(guān)系來源于現(xiàn)實問題的解決。

三、因“題組”的觀察滲透函數(shù)關(guān)系

在前面兩節(jié)課中，通過題組練習(xí)，滲透函數(shù)思想，在本節(jié)課中也可以用題組的形式觀察分析，滲透行程問題中的函數(shù)關(guān)系。

（一）路程不變時的函數(shù)關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察板書（見圖3）中求時間的三個算式，提出問題：從選擇交通工具的三個算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不變，除數(shù)越大，商越小。

生：也就是說路程不變，速度越大，時間越小。

教師在板書中的“速度”“時間”上分別打上向上與向下的箭頭，然后提問：你能夠在算式中舉例說明嗎？

學(xué)生舉例，教師板書呈現(xiàn)圖4。

結(jié)合具體情境，把行程問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，歸納總結(jié)當(dāng)路程相同時，速度和時間的變化規(guī)律。

（二）相同速度時的函數(shù)關(guān)系

教師接著引導(dǎo)學(xué)生觀察板書中的2千米/分=120千米/時，提問：這個等式表示這兩個速度是相等的。請仔細觀察，這兩個速度有什么變化規(guī)律呢？

生：從左邊到右邊，2千米到120千米乘了60，“分”變成“時”也乘了60。

師：這個發(fā)現(xiàn)很有意思，也就是速度不變，時間乘幾，路程也乘幾。

教師在板書（見圖3）中第一個關(guān)系式的“時間”和“路程”上打上向上的剪頭，然后再在板書2×60=120的上面和下面各寫出兩個算式“2×30”和“2×120”。學(xué)生計算后比較這三個算式的變化規(guī)律。

……

根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書，見圖5。

（三）時間不變時的函數(shù)關(guān)系

以上兩個情境分別是在路程相同或速度相同的情況下歸納另外兩種量的變化規(guī)律。依據(jù)板書，讓學(xué)生自己提出問題，然后創(chuàng)設(shè)情境來研究提出的問題，歸納出變化規(guī)律。

教師引導(dǎo)學(xué)生再一次觀察圖4與圖5的板書，并指明它們的相同點，即有一種量相同，另外的兩種量有規(guī)律地變化。接著提出問題：你還能夠提出這樣的問題嗎？

生：如果時間相同，路程和速度會怎樣變化呢？

生：我想應(yīng)該是速度越快，路程就會越長吧！

師：請同學(xué)們用求速度的關(guān)系式，以下面的第一個算式為例子，編寫一組題目，然后找一找變化規(guī)律，看是否與自己的想法一致。

學(xué)生舉例時，教師巡視，選擇其中的一組寫到黑板上相應(yīng)的位置，再進行討論，形成如圖6的板書。

總之，有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，要把重點放在對“速度”的理解上，讓學(xué)生能夠從動態(tài)的角度理解數(shù)量關(guān)系，滲透函數(shù)思想，并通過遷移類比，溝通相關(guān)數(shù)量關(guān)系的相同點與不同點，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的同時，重視數(shù)學(xué)思維方式的學(xué)習(xí)。

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