螺桿定子襯套熱老化本構(gòu)參數(shù)及內(nèi)腔變形規(guī)律研究*

(西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 四川成都 610500)

螺桿鉆具(Positive Displacement Motor，PDM)作為石油天然氣開采中的主要動力工具之一，在我國年使用量超過2萬套[1]。但螺桿鉆具電動機(jī)在工作超過100 h后，其機(jī)械效率往往會從50%下降到35%左右，在深井高溫環(huán)境中更是如此，其性能衰退的主要原因是定子橡膠的熱老化[2]。目前國內(nèi)外關(guān)于螺桿鉆具定子橡膠力學(xué)性能的研究已有一定的進(jìn)展，但是關(guān)于深井高溫環(huán)境下定子襯套材料氫化丁腈橡膠力學(xué)性能的研究還不充分。隨著我國深井、超深井鉆探數(shù)量的增多，亟需研究深井高溫環(huán)境下襯套橡膠熱老化過程中的力學(xué)性能變化，以及對螺桿鉆具定子襯套線型變形規(guī)律的影響。

國內(nèi)外學(xué)者的研究表明，橡膠的熱老化過程實際上是高分子材料發(fā)生化學(xué)交聯(lián)的過程，交聯(lián)度和交聯(lián)密度隨著溫度的升高及老化時間的增加而變化，它們共同影響著橡膠硬度及其力學(xué)性質(zhì)的變化[3]。葉衛(wèi)東等[4]利用經(jīng)驗公式得到Mooney-Rivlin模型參數(shù)，模擬了橡膠材料力學(xué)參數(shù)對螺桿泵密封性能的影響。WOO等[5-6]基于單軸拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗研究了天然橡膠的力學(xué)性能，預(yù)測了天然橡膠的壽命。王明起[7]總結(jié)了橡膠力學(xué)性能試驗的相關(guān)方法，提出了橡膠定子疲勞壽命預(yù)測方法。曹婷婷[8]進(jìn)行了密封圈橡膠材料老化試驗，并建立了相關(guān)的有限元模型。文獻(xiàn)[9-11]對橡膠疲勞特性和螺桿泵結(jié)構(gòu)參數(shù)開展了研究。然而，目前學(xué)者對石油裝備中螺桿鉆具定子橡膠襯套的系統(tǒng)研究仍較少，對螺桿鉆具力學(xué)性能研究的相關(guān)文獻(xiàn)也不多。

本文作者基于ASTM材料試驗標(biāo)準(zhǔn)，制備螺桿鉆具定子襯套采用的氫化丁腈橡膠試樣，并進(jìn)行熱老化處理及拉伸試驗；基于Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型理論擬合了本構(gòu)模型參數(shù)；建立了定子襯套有限元模型，并模擬了不同井深下的定子襯套變形規(guī)律。

1 橡膠本構(gòu)模型及參數(shù)擬合

目前橡膠材料超彈性本構(gòu)模型種類較多，文中僅討論在工程計算中應(yīng)用較多且在各應(yīng)變區(qū)間計算精度不同的Mooney-Rivlin和Yeoh 2種本構(gòu)模型。

1.1 Mooney-Rivlin模型

該模型假設(shè)橡膠材料應(yīng)變能密度W可以分解為應(yīng)變偏量能和體積應(yīng)變能兩部分，在未變形狀態(tài)下其彈性是各向同性的，且完全不可壓縮的，那么W的函數(shù)形式如下：

(1)

式中:Cij(C00=0)為常數(shù);I1為第一應(yīng)變不變量;I2為第二應(yīng)變不變量;I1、I2和第三應(yīng)變不變量I3與3個方向的主拉伸比λ1、λ2、λ3關(guān)系如下：

(2)

按Mooney-Rivlin模型的常用簡化形式能夠?qū)⒘蚧鹉z應(yīng)變能W表示為

(3)

對于不可壓縮的橡膠材料，I3=1。橡膠材料主應(yīng)力τi與其主生長比λ之間的關(guān)系為

(4)

在單軸拉伸試驗中，上式中τ2=τ3=0，可得到：

(5)

并且應(yīng)力差關(guān)系如下:

(6)

不難發(fā)現(xiàn)式(6)中的偏導(dǎo)式可由式(1)兩邊分別對I1、I2求偏導(dǎo)得到，并能得到如下結(jié)論：

(7)

將式(7)代入式(6)中可以獲得如下關(guān)系:

(8)

在力學(xué)中，真實應(yīng)力τ與實際應(yīng)力σ有如下關(guān)系：

τ=λσ

(9)

最后使用工程應(yīng)力代替實際應(yīng)力，獲得工程應(yīng)力和工程應(yīng)變的關(guān)系：

(10)

利用式(10)確定C1、C2的方法為：以1/λ為橫坐標(biāo)，以σ/[2(λ-1/λ2)]為縱坐標(biāo)，將試驗得到的數(shù)據(jù)擬合為一條直線，該直線截距即為C1，斜率即為C2。

1.2 Yeoh模型

在研究橡膠材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的過程中，Yeoh模型對單軸拉伸應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系進(jìn)行了一定的簡化，使用了一個3次應(yīng)變能函數(shù)來描述這種關(guān)系：

(11)

式中:N一般為3，即為三次應(yīng)變能函數(shù)；對于橡膠類不可壓縮材料，J取值為1；Ci0為Yeoh模型系數(shù)。

因此上式等號右邊可以省略一半，對W求I1、I2的偏導(dǎo)，可得下式：

(12)

由于都是單軸拉伸試驗，將式(12)代入式(8)可得到τ與I的關(guān)系，再由式(2)獲得I與λ的關(guān)系，最后用式(9)將τ轉(zhuǎn)化為σ，獲得σ與λ的關(guān)系式如下：

(13)

式(13)即最后用于Yeoh模型的試驗數(shù)據(jù)處理公式。利用式(13)確定C10、C20和C30的方法為：以(λ2+2/λ-3)為橫坐標(biāo)，以σ/[2(λ-1/λ2)]為縱坐標(biāo)，擬合出一條二次曲線，C10即最低點(最高點)的縱坐標(biāo)，C20即1/2一次項系數(shù),C30即1/3二次項系數(shù)。

1.3 橡膠熱老化試驗及本構(gòu)模型參數(shù)擬合

試驗用氫化丁腈橡膠試樣、老化試驗箱和橡膠拉伸試驗儀如圖1所示。

圖1 試驗試樣及設(shè)備

按照ASTM標(biāo)準(zhǔn)，將氫化丁腈橡膠試樣放置于老化試驗箱內(nèi)，分別在70、100、130、150 ℃溫度下進(jìn)行熱老化處理，然后在橡膠拉伸試驗儀上進(jìn)行拉伸試驗，得到橡膠試樣的工程應(yīng)力-工程應(yīng)變數(shù)據(jù)。每種試驗條件下重復(fù)5次試驗，取平均值。

按照橡膠本構(gòu)模型理論中的應(yīng)力-應(yīng)變處理方式，計算出Mooney-Rivlin模型數(shù)個橫縱坐標(biāo)點，并擬合直線，結(jié)果如圖2所示。

圖2 Mooney-Rivlin模型的擬合直線

圖2中擬合直線的截距即為Mooney-Rivlin模型參數(shù)C1，直線斜率即為模型參數(shù)C2。不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數(shù)如表1所示?？梢钥闯觯琈ooney-Rivlin模型的參數(shù)C1、C2隨著溫度增加均表現(xiàn)出先減小后增大的變化趨勢。

表1 不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數(shù)

Yeoh模型橫縱坐標(biāo)點計算方法同上，對得到的散點擬合二次曲線，結(jié)果如圖3所示。

圖3 Yeoh模型的擬合二次曲線

Yeoh模型參數(shù)可由圖3所示曲線獲得，取擬合曲線最低點(或最高點)的縱坐標(biāo)為參數(shù)C10，一次項系數(shù)的1/2為參數(shù)C20,二次項系數(shù)的1/3為參數(shù)C30，得到的不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數(shù)如表2所示。可以看出，隨溫度升高Yeoh模型參數(shù)C10、C20均呈現(xiàn)出先增加后減小再增加的波浪形趨勢，而參數(shù)C30則相反。

表2 不同溫度下氫化丁腈橡膠Yeoh模型參數(shù)

2 Mooney-Rivlin和Yeoh模型參數(shù)擬合精度評價

深井高溫環(huán)境下螺桿鉆具定子襯套橡膠本構(gòu)關(guān)系的恰當(dāng)選取及其模型參數(shù)擬合精度的正確評價是保證有限元計算結(jié)果準(zhǔn)確的關(guān)鍵。

2.1 本構(gòu)模型參數(shù)擬合精度評價方法

對式(1)中的勢能函數(shù)W在單軸拉伸狀態(tài)下的拉伸率求導(dǎo)，可求得該狀態(tài)理論工程應(yīng)力。如式(14)所示。

(14)

式中：λ為單軸拉伸的拉伸率；σ為理論工程應(yīng)力；W為應(yīng)變能函數(shù)；I1、I2分別為第一、二應(yīng)變不變量。

式(14)中應(yīng)變不變量I1、I2由下式計算：

(15)

本構(gòu)模型的擬合精度由式(16)計算。

(16)

將所測量的單軸拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)代入式(14)、(15)、(16)可計算出Mooney-Rivlin模型以及Yeoh模型擬合精度。具體計算結(jié)果如表3所示?？梢钥闯觯簝杀緲?gòu)模型的誤差隨溫度升高均表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，均在130 ℃達(dá)到誤差最大值；不同溫度下Yeoh模型的誤差均比Mooney-Rivlin模型的誤差小，因此，對于橡膠超彈性材料，Yeoh模型的計算精度優(yōu)于Mooney-Rivlin模型。

表3 氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin和Yeoh模型擬合誤差

2.2 本構(gòu)模型參數(shù)擬合精度校核

為檢驗2種本構(gòu)模型擬合精度，通過仿真分析研究了最貼近真實的螺桿電動機(jī)定子橡膠變形。建立的有啞鈴型有限元模型如圖4所示。將模型左端邊界設(shè)置為全約束，右端施加位移條件，分別設(shè)置材料屬性為Mooney-Rivlin和Yeoh模型參數(shù)。考慮到溫度跨度較大，因此進(jìn)行常溫和130 ℃兩組仿真。設(shè)置應(yīng)變條件，獲得了兩組溫度下的應(yīng)力數(shù)值，如圖5所示?？梢?，Yeoh模型比Mooney-Rivlin更能反映實際情況。

圖4 啞鈴型試片仿真模型

圖5 Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型仿真結(jié)果

綜合本構(gòu)模型參數(shù)擬合精度的評價和校核結(jié)果，確定Yeoh模型能更真實地反映氫化丁腈橡膠的力學(xué)特性。

3 橡膠熱老化本構(gòu)參數(shù)對定子襯套內(nèi)腔變形規(guī)律研究

以國內(nèi)應(yīng)用較為廣泛的5/6頭螺桿鉆具定子襯套為研究對象，開展仿真研究。有限元模型如圖6所示，該模型外殼體為φ172 mm，橡膠襯套內(nèi)壁等距圓半徑R=13.2 mm，偏心距e=7.99 mm。文獻(xiàn)[12]采用三維螺桿電動機(jī)模型進(jìn)行了力學(xué)性能有限元分析，對比相同條件二維模型的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者差距很小。因三維模型運算量較大，因此文中使用二維螺桿電動機(jī)定子襯套模型研究內(nèi)腔變形規(guī)律。

圖6 定子襯套仿真模型

為了模擬螺桿電動機(jī)在井下的工作環(huán)境，設(shè)置該定子的外側(cè)邊界為全約束,在螺桿電動機(jī)定子襯套內(nèi)部施加均勻壓力，壓力數(shù)值根據(jù)螺桿鉆具所在井深和地層壓力梯度計算確定。

根據(jù)經(jīng)驗公式，取井下地溫梯度為每2.113 ℃/100 m。試驗中，橡膠拉伸試驗溫度70、100、130和150 ℃可以對應(yīng)井下深度2 460、3 880、5 300和6 246 m。鉆井液密度為1 200 kg/m3，按液體壓力公式p=ρgh計算內(nèi)腔壁壓力，得到4個溫度下對應(yīng)的內(nèi)腔壓力為27.1、44.7、62.3和74.1 MPa。

定子真實位移數(shù)據(jù)采集路徑如圖7所示，由內(nèi)壁上方中央開始順時針逐一選點繞內(nèi)壁一周，常規(guī)定子和等壁厚定子路徑相同。圖8、9分別示出了考慮和不考慮老化時常規(guī)定子和等壁厚定子在4種井深條件下的真實位移?？梢姡涸谕痪顥l件下，無論是常規(guī)定子還是等壁厚定子，不考慮老化(使用常溫下氫化丁腈橡膠Yeoh模型參數(shù))的真實位移比考慮老化時的真實位移要大，并且隨著溫度的增加，這個差值表現(xiàn)出先增大后穩(wěn)定再增大的趨勢，差值在6 246 m井深時甚至達(dá)到了70%。由此說明，在仿真分析時應(yīng)考慮老化因素的影響。

圖7 截面路徑典型點

圖8 考慮和不考慮老化時不同井深下常規(guī)定子的真實位移

圖9 考慮和不考慮老化時不同井深下等壁厚定子的真實位移

常規(guī)定子和等壁厚定子的真實位移最大值、最小值位置幾乎完全相反，如何綜合2種定子結(jié)構(gòu)使運動更平穩(wěn)以延長螺桿鉆具的使用壽命將成為一個研究方向。

圖10比較了不同井深下定子的真實位移。常規(guī)定子的真實位移隨著井深的增加而增加，位移幅值也隨著井深的增加而增加，在6 246 m井深處定子位移幅值比2 460 m井深處增加了170%。等壁厚定子的真實位移同樣隨著井深的增加而增加，且其位移幅值增長率與常規(guī)定子幾乎相同。但同溫度下常規(guī)定子是等壁厚定子的幅值的5倍，等壁厚定子可用較小過盈量滿足密封要求，以降低定子襯套磨損，并提高單級承壓能力。

圖10 不同井深下定子的真實位移

4 結(jié)論

(1)通過熱老化和單軸拉伸試驗，獲得了氫化丁腈橡膠試樣不同溫度下的本構(gòu)模型參數(shù)。其中Mooney-Rivlin模型的參數(shù)C1、C2隨著溫度增加均先減小后增大；Yeoh模型參數(shù)C10、C20均呈現(xiàn)出先增加后減小再增加的波浪形趨勢，而參數(shù)C30則相反。

(2)利用計算誤差評價方法和仿真校核方法比較了2種本構(gòu)模型參數(shù)擬合精度，最終確定Yeoh模型更能真實地反映氫化丁腈橡膠的力學(xué)性能。

(3)無論常規(guī)定子還是等壁厚定子，隨著井深的增加，常溫本構(gòu)模型與熱老化本構(gòu)模型的差值不斷增加，因此在仿真分析時應(yīng)考慮老化因素的影響。

(4)相同溫度下常規(guī)定子的位移幅值是等壁厚定子的5倍，等壁厚定子可用較小過盈量滿足密封要求，以降低定子襯套磨損，并提高單級承壓能力。

(5)對于螺桿鉆具電動機(jī)的后續(xù)研究，可基于深井高溫環(huán)境，建立螺桿鉆具電動機(jī)熱-機(jī)耦合三維動力學(xué)模型和數(shù)值模擬方法，進(jìn)一步揭示電動機(jī)工作效率衰退及漏失機(jī)制，為合理選擇定子襯套橡膠材料、匹配螺桿鉆具定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)及線型優(yōu)化設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。