張 強(qiáng)， 蔣 豹， 崔 巍， 劉巨保， 朱 昱

(東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程院，黑龍江 大慶 163318)

受井筒約束的懸掛管柱，在其自身重力作用下，井底受壓，易喪失彈性穩(wěn)定性，導(dǎo)致屈曲。例如鉆柱屈曲會引起鉆頭方向改變，加大側(cè)向力和摩阻力，使鉆柱自鎖，更有甚者導(dǎo)致鉆具疲勞破壞。

Lubinski[1]首先研究了鉆柱在垂直井筒中的穩(wěn)定性，導(dǎo)出了鉆柱在垂直平面內(nèi)的彎曲方程，并給出了該方程的級數(shù)解。在兩端鉸支邊界約束條件下，采用梁柱模型，無量綱長度取8，給出了鉆柱在垂直平面內(nèi)發(fā)生一次彎曲和二次彎曲的臨界載荷，分別為1.94和3.75。但他在第2年發(fā)表的論文[2]中，將對應(yīng)的臨界載荷改成2.04和4.05，在之后的40余年，我國石油工程行業(yè)一直沿用他第2年的數(shù)值。后來，韓志勇[3]回顧了Lubinski有關(guān)垂直井鉆柱屈曲理論在我國的應(yīng)用情況，對一次彎曲和二次彎曲的臨界載荷進(jìn)行了考證，其臨界載荷應(yīng)該改回1.94和3.75。

Lubinski等[4]假定管柱屈曲成空間螺旋線，屈曲構(gòu)型為均勻螺旋線并與井壁連續(xù)接觸，利用最小勢能原理，推導(dǎo)了等螺距和軸向壓力的關(guān)系式，他的這一研究成果得到了石油工程行業(yè)的廣泛應(yīng)用。但是，由于自重的影響，實(shí)際管柱空間螺旋屈曲構(gòu)型是一個非等距的螺旋線。為此，研究者們[5-8]采用微分法、能量法、實(shí)驗(yàn)法和有限元等方法，對非等螺距的臨界載荷進(jìn)行了廣泛的研究，得出了各自不同的臨界載荷值。無論是等螺距還是非等螺距假設(shè)，均是在螺旋屈曲之后形成一個螺距時得出的臨界載荷，其值明顯大于正弦屈曲之后剛螺旋屈曲時的臨界載荷。

由于管柱的螺旋屈曲發(fā)生在初始正弦屈曲之后，經(jīng)過穩(wěn)定的正弦屈曲構(gòu)型階段之后的又一種穩(wěn)定的屈曲平衡狀態(tài)。所以，正弦屈曲向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變的過程是非常復(fù)雜的。這一過程中，屈曲構(gòu)型隨著井底壓力而發(fā)生跳躍性變化，管柱與井筒存在接觸和脫離等力學(xué)行為，使得問題非常復(fù)雜。

近年來，研究者們考慮瞬態(tài)效應(yīng)的影響，研究了彈性壓桿的動力屈曲問題[9-11]。由于懸掛管柱在井下是緩慢上提或下放的，其動力屈曲并不明顯，研究者們普遍將此問題處理成靜力屈曲問題。

Gao等[12]展望了懸掛管柱螺旋屈曲問題的研究方法，提出了懸掛段采用梁柱模型，連續(xù)接觸段采用微分方程的研究設(shè)想。Huang等[7]根據(jù)這個研究設(shè)想，假設(shè)將懸掛段分成了4段，用相應(yīng)的連續(xù)性條件、邊界條件和穩(wěn)定性條件，將管柱屈曲問題轉(zhuǎn)化為一個非線性方程組。用迭代法求解這些方程，得到了懸掛管柱平面正弦屈曲、三維螺旋屈曲、連續(xù)接觸螺旋屈曲和形成一個螺距的螺旋屈曲臨界載荷。

本文摒棄了預(yù)先指定的管柱屈曲撓曲線假設(shè)，考慮井筒內(nèi)懸掛管柱的幾何和接觸雙重非線性特性，根據(jù)井筒內(nèi)懸掛管柱屈曲分析的有限元平衡方程，采用漫動力法，進(jìn)行有限元計算，分析懸掛管柱從正弦向螺旋轉(zhuǎn)變時的屈曲構(gòu)型和臨界載荷。

1 模型建立

1.1 模型簡化

(1) 懸掛管柱在井筒內(nèi)的初始狀態(tài)是完全豎直的。

(2) 將管柱和井筒處理成圓形等截面，忽略接頭等部件對屈曲的影響。

(3) 管柱與井筒之間有初始環(huán)空間隙存在，管柱變形前軸線與井筒軸線完全重合。

(4) 考慮管柱上端懸掛拉力和管柱自身的重力載荷作用，管柱上端受拉下端受壓。

(5) 管柱底部和頂部的邊界約束處理成鉸支約束。

(6) 管柱處于線彈性狀態(tài)，假設(shè)懸掛管柱為大柔度桿或細(xì)長桿。

(7) 管柱屈曲后與井筒內(nèi)壁面接觸，考慮接觸力的影響，但不考慮管柱與井筒之間的摩擦力。

(8) 研究管柱靜力屈曲的最終穩(wěn)定狀態(tài)，忽略管柱上提下放過程中的瞬態(tài)影響。

1.2 力學(xué)模型

井筒內(nèi)懸掛管柱的上端受拉，管柱的下端位于井底，在自重作用下受壓，建立的懸掛管柱力學(xué)模型如圖1所示。圖1(a)為懸掛管柱長度、載荷和邊界示意圖，鉸支約束邊界條件為上端約束x、y方向的平動自由度和繞z軸的轉(zhuǎn)動自由度，下端約束x、y和z方向的平動自由度。

懸掛管柱上端的懸掛拉力為

(1)

式中：E為懸掛管柱的彈性模量；I為懸掛管柱橫截面對軸的慣性矩；受拉段的無量綱長度ξT也稱為無量綱懸掛拉力。

懸掛管柱下端約束了z方向的平動自由度，其軸向約束反力為管柱受到的向上的壓力，其值為

(2)

式中：受壓段的無量綱長度ξC也稱為無量綱井底壓力。

(a) 載荷和邊界(b) 變形前橫截面(c) 變形后橫截面

圖1 懸掛管柱力學(xué)模型

Fig.1 Mechanical model of suspended tubular string

管柱變形前，由圖1(b)可計算出管柱初始間隙為δ=(D-d)/2，d為管柱外徑，D為井筒內(nèi)徑。管柱在緩慢下放過程中，上端的懸掛拉力減小，下端的壓力增大。當(dāng)管柱受壓段的壓力達(dá)到一定數(shù)值后，管柱喪失穩(wěn)定性而屈曲變形，產(chǎn)生橫向位移和較大的轉(zhuǎn)動變形，橫向變形后管柱的圓心為o′，見圖1(c)所示，設(shè)橫向位移量為(u,v)，對應(yīng)的圓周角為θ。此時力與變形的關(guān)系不再是線性，非線性效應(yīng)突出，屬于幾何非線性問題。

管柱在橫向彎曲變形過程中，受到井筒約束，將與井筒內(nèi)壁面接觸，設(shè)接觸時的接觸力為Fn。在任一軸向距離、任一圓周方向上均可能產(chǎn)生接觸和脫離的力學(xué)行為，屬于接觸非線性問題。

綜上所述，懸掛管柱屈曲力學(xué)模型歸結(jié)為幾何和接觸雙重非線性問題，這樣處理使得懸掛管柱屈曲力學(xué)分析更趨于合理。

1.3 屈曲靜力學(xué)方程

采用有限元法，依據(jù)間隙元理論[13]，經(jīng)過梁單元和間隙元的拼裝，可得管柱幾何和接觸非線性靜力屈曲分析的總體平衡方程式為

(K0+Kσ(u)+Kn(u))u=Fq+Fn(u)

(3)

式中：K0為懸掛管柱的線彈性剛度矩陣；Kσ(u)為懸掛管柱的幾何剛度矩陣；Kn(u)為懸掛管柱的接觸剛度矩陣；u為懸掛管柱的節(jié)點(diǎn)位移向量，包括3個方向的平動和3個方向的轉(zhuǎn)動自由度，u=[u,v,w,θx,θy,θz]T；F為懸掛管柱的節(jié)點(diǎn)載荷向量，F(xiàn)=Fq+Fn(u)；Fq包含上端懸掛拉力和管柱自重均布載荷；Fn(u)為管柱的接觸力向量。式中的幾何剛度矩陣、接觸剛度矩陣和接觸力向量是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。

2 計算方法

2.1 慢動力法

采用有限元法，對式(3)進(jìn)行雙重非線性靜力屈曲計算，但還存在收斂困難和算法不穩(wěn)定等問題。表現(xiàn)在如下方面：

(1) 由于懸掛管柱的從正弦屈曲到螺旋屈曲的構(gòu)型存在跳躍性變化，管柱與井筒之間存在接觸和脫離等強(qiáng)非線性力學(xué)行為，導(dǎo)致計算過程中接觸狀態(tài)突變，易引起計算異常終止，存在收斂困難。還表現(xiàn)在懸掛管柱屈曲后，撓度突然增大，不能識別出接觸狀態(tài)，管柱穿透出井筒壁面，導(dǎo)致計算失敗。

(2) 算法不穩(wěn)定表現(xiàn)在收斂解不唯一，懸掛管柱屈曲的構(gòu)型存在隨意性。例如，形成平面正弦屈曲構(gòu)型后，隨著上端拉力的減小，下端壓力的增加，平面正弦屈曲構(gòu)型在井筒內(nèi)旋轉(zhuǎn)，卻不能形成空間螺旋屈曲構(gòu)型；由于對管柱懸掛拉力載荷增量和載荷步長的敏感性，時而形成時而又不能形成空間螺旋屈曲構(gòu)型；即使形成了空間螺旋屈曲構(gòu)型，但又重新回到平面正弦屈曲構(gòu)型；形成空間螺旋屈曲構(gòu)型后，在不同軸向位置處，可能同時存在右螺旋和左螺旋的屈曲構(gòu)型。

為了解決井筒內(nèi)懸掛管柱從正弦屈曲向螺旋屈曲過程的收斂困難和算法不穩(wěn)定性問題，提出懸掛管柱非線性靜力屈曲分析的慢動力法。該方法是利用動力學(xué)方法，按照一定方式施加自重和懸掛拉力等恒定外載荷，引入慣性力和阻尼力，考慮時間積分效應(yīng)，設(shè)置較大的虛擬阻尼，計算一定的時間，求解懸掛管柱動力響應(yīng)直至穩(wěn)定。也就是利用動力學(xué)方法，解決懸掛管柱靜力屈曲問題[14]。

采用慢動力法，懸掛管柱屈曲的動力學(xué)基本運(yùn)動方程為

Mu″+Cu′+Ku=F(t)

(4)

式中：M為懸掛管柱的質(zhì)量矩陣；C為懸掛管柱的阻尼矩陣；K為懸掛管柱的剛度矩陣，K=K0+Kσ(u)+Kn(u)；u′和u″分別為懸掛管柱的節(jié)點(diǎn)速度和加速度向量；t為計算時間；F(t)為懸掛管柱的節(jié)點(diǎn)載荷向量，與方程(1)中的載荷相同，只是考慮了載荷施加的時間歷程，F(xiàn)(t)=Fq(t)+Fn(u)(t)。

采用Newmark直接積分法，對式(4)進(jìn)行隱式有限元求解。若t時刻懸掛管柱的位移、速度和加速度已知，則可計算出t+Δt時刻懸掛管柱的動力響應(yīng)。隨著計算時間的延長，懸掛管柱屈曲構(gòu)型趨于穩(wěn)定，懸掛管柱各節(jié)點(diǎn)無速度和加速度，方程(4)可退化成方程(3)，實(shí)現(xiàn)用慢動力法對懸掛管柱靜力屈曲的求解。

2.2 外載荷

為了減小管柱上端懸掛拉力FH和自重均布載荷q對管柱的動力沖擊，采用正弦波方式，施加隨時間變化的外載荷，如圖2所示。上端懸掛拉力FH施加的方式為：①在管柱1/4倍固有周期之前，施加正弦波的懸掛拉力；②在管柱1/4倍固有周期之后，施加恒定的懸掛拉力。

(a) 三維視圖(b) 俯視圖(c) 載荷-時間歷程

圖2 外載荷和擾動力的施加方式

Fig.2 The mode of external load and disturbance load

同理，為了施加管柱自重載荷，施加的重力mg也采用同樣的正弦波方式。

2.3 擾動力

由于初始幾何缺陷會影響管柱屈曲的臨界載荷，而微小擾動力是在初始施加，在后續(xù)分析中撤銷，不會影響管柱屈曲的臨界載荷。本文采用初始擾動力方式，既保持了管柱結(jié)構(gòu)的完整性，又實(shí)現(xiàn)了初始缺陷的施加。

為了易形成空間螺旋屈曲構(gòu)型，在初始擾動力的施加過程中，使管柱變形成空間曲線，將懸掛管柱受壓段長度均分4段，每1/4長度處(p1、p2和p3位置)施加互成90°的擾動力Fp，管柱下端施加1個擾動扭矩Mp。施加擾動力的大小均為單位載荷，擾動力施加的方式如圖2所示。在管柱1/2倍固有周期之前，施加正弦波的擾動力；在管柱1/2倍固有周期之后，施加的擾動力為0。

2.4 阻尼比

方程(2)中的阻尼矩陣C一般為常用的Rayleigh阻尼，也就是比例阻尼，它包括α質(zhì)量阻尼和β剛度阻尼。本文選取α質(zhì)量阻尼，阻尼矩陣C=αM。以管柱第1階的固有頻率ω作為模態(tài)阻尼比，根據(jù)正交性原理，得到α質(zhì)量阻尼與阻尼比ζ的關(guān)系為

α=2ωζ

(5)

采用慢動力分析法計算時，選取合適的阻尼比，得到質(zhì)量阻尼，輸入方程(4)中，進(jìn)行慢動力計算。

2.5 計算流程

圖3 計算流程框圖Fig.3 Flowchart of calculation flow

對懸掛管柱屈曲的動力學(xué)基本運(yùn)動方程(2)進(jìn)行有限元計算，計算總時間取n個周期，周期取第1階自振周期。計算結(jié)束后，判斷管柱各節(jié)點(diǎn)的撓度u是否隨時間變化。若是，表明管柱各節(jié)點(diǎn)還有速度u′和加速度u″，存在附加的慣性力Mu″和阻尼力Cu′，應(yīng)減小阻尼比ζ，重新計算，直到管柱各節(jié)點(diǎn)的撓度u為常值，實(shí)現(xiàn)屈曲構(gòu)型穩(wěn)定。然后判斷撓曲線是否是空間螺旋屈曲構(gòu)型，若不是，增加受壓段無量綱長度ηC重新計算，直到得到穩(wěn)定的空間螺旋屈曲構(gòu)型。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 計算參數(shù)

3.2 無接觸正弦屈曲臨界載荷分析

將空間懸掛管柱簡化成平面問題，除了上下兩端鉸支約束外，還約束管柱所有節(jié)點(diǎn)y方向的平動自由度和繞x方向的轉(zhuǎn)動自由度。不考慮與井筒的接觸，研究懸掛管柱無接觸的正弦屈曲問題。將圖3計算流程中的螺旋屈曲構(gòu)型判斷改成正弦屈曲構(gòu)型，進(jìn)行有限元計算。將施加擾動力在1/4固有周期時刻的最大撓度進(jìn)行無量綱化，即u/u|t=0.25T=1，圖4給出了平面模型懸掛管柱最大撓度位置處的撓度曲線。

圖4 懸掛管柱平面模型的撓度曲線Fig.4 Deflection curve of suspended tubular string in plane model

由圖4可見，當(dāng)井底壓力ξC<1.94時，懸掛管柱撓度隨橫向擾動力的撤銷而逐漸減小，懸掛管柱處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)井底壓力ξC=1.94時，懸掛管柱撓度隨橫向擾動力的撤銷保持不變，懸掛管柱處于隨遇平衡狀態(tài)；當(dāng)井底壓力ξC>1.94時，懸掛管柱撓度隨橫向擾動力的撤銷而逐漸增大，懸掛管柱處于不穩(wěn)定狀態(tài)。由此可見，本文計算得到的懸掛管柱平面正弦屈曲的臨界壓力ξC=1.94。文獻(xiàn)[1]的結(jié)果ξC=1.94，文獻(xiàn)[7]的結(jié)果ξC=1.89，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[1]吻合，比文獻(xiàn)[7]大了2.65%，驗(yàn)證本文計算方法的正確性。

3.3 有接觸的正弦屈曲過程分析

按照3.2節(jié)平面模型，同時考慮懸掛管柱與井筒的接觸，研究其正弦屈曲過程。將懸掛管柱在井筒內(nèi)x方向的變形無量綱化，與井筒接觸時的x正方向橫向變形量記為1，對應(yīng)的x負(fù)方向記為-1，圖5給出了不同井底壓力下的撓曲線。

圖5 平面模型中一次彎曲和二次彎曲的撓曲線Fig.5 First order and second order buckling in plane model

由圖5可見，由于井底壓力ξC=1.94時懸掛管柱處于隨遇平衡狀態(tài)，考慮井筒約束后，將與井筒接觸，接觸點(diǎn)位于ξL1=1.80處，撓曲線為一次彎曲狀態(tài)。當(dāng)井底壓力ξC=3.76時，懸掛管柱下段在x方向?yàn)檎?，懸掛管柱上段在x方向剛出現(xiàn)極小的負(fù)值，接觸點(diǎn)位于ξL1=1.41處，撓曲線為二次彎曲狀態(tài)。井底壓力ξC=3.76為二次彎曲臨界載荷，與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果ξC=3.75基本吻合。

隨著井底壓力的增加，懸掛管柱下段接觸點(diǎn)逐漸下移，上段x負(fù)方向的撓度逐漸增大。當(dāng)井底壓力ξC=4.31時，懸掛管柱上段剛好與井壁接觸，上段接觸點(diǎn)位于ξL12=4.03處，下段接觸點(diǎn)位于ξL1=1.10處，撓曲線為完全二次彎曲狀態(tài)。

3.4 螺旋屈曲分析

(a) p1位置

(b) p2位置

(c) p3位置圖6 井底壓力ξC=4.11時阻尼比對撓度的影響Fig.6 Influence of damping ratio on deflection when ηC=4.11

(a) ξC=4.10

(b) ξC=4.11

(c) ξC=4.12圖7 阻尼比對屈曲構(gòu)型的影響Fig.7 Influence of damping ratio on buckling configuration

由圖6可見，①阻尼比取1.50≤ζ≤20.0，在6個周期內(nèi)，管柱在p2和p3位置處的撓度在3個周期后均處于穩(wěn)定狀態(tài)，但在p1位置的撓度在6個周期時間內(nèi)一直在持續(xù)增加。由此可見，在大阻尼比條件下，雖然橫向撓度曲線不隨時間劇烈震蕩，計算容易收斂，但使動力響應(yīng)處于穩(wěn)定、達(dá)到常值狀態(tài)的時間會延長，也影響計算收斂效率。②當(dāng)阻尼比ζ=1.00時，管柱在p1和p2位置的撓度在6個周期內(nèi)剛好穩(wěn)定，在p3位置的撓度在1個周期內(nèi)處于穩(wěn)定；當(dāng)阻尼比ζ=0.75時，管柱在p1和p2位置的撓度在2個多周期內(nèi)處于穩(wěn)定，在p3位置的撓度在1個周期內(nèi)處于穩(wěn)定；當(dāng)阻尼比ζ=0.50時，管柱在p1、p2和p3位置的撓度在1個周期內(nèi)均處于穩(wěn)定。由此可見，阻尼比取0.50≤ζ≤1.00，在6個周期內(nèi)，管柱的撓度均能處于穩(wěn)定、達(dá)到常值狀態(tài)。③當(dāng)阻尼比ζ≤0.25時，管柱在這3處位置處的撓度出現(xiàn)持續(xù)震蕩。阻尼比越小，振動越劇烈。在p1位置，管柱與井筒出現(xiàn)時而接觸碰撞，時而脫離井筒的現(xiàn)象。由此表明，取較小的阻尼比時，撓度難以處于穩(wěn)定、達(dá)到常值狀態(tài)，計算難收斂。

通過圖6中阻尼比對撓度的影響分析可見，在給定的井底壓力和計算時間范圍條件下，為了獲得穩(wěn)定的屈曲構(gòu)型，應(yīng)該先取較大的阻尼比，然后逐漸減小阻尼比，直到懸掛管柱的撓度趨于穩(wěn)定、達(dá)到常值狀態(tài)為止。但是阻尼比過小，易引起管柱劇烈振動，在給定的計算時間范圍內(nèi)，計算難收斂。

從圖7可見，①井底壓力取ξC=4.10，阻尼比較大時(8.00≤ζ≤20.0)，xy平面投影為不同形狀的曲線；當(dāng)阻尼比ζ為4.00和6.00時，xy平面投影為直線且重合，為穩(wěn)定的平面正弦屈曲狀態(tài)，表明井底壓力ξC=4.10時屈曲變形為正弦構(gòu)型。②井底壓力取ξC=4.11，阻尼比較大時(1.50≤ζ≤20.0)，xy平面投影也為不同形狀的曲線，但是屈曲變形并沒有處于穩(wěn)定、達(dá)到常值的狀態(tài)(見對圖6的分析)；當(dāng)阻尼比ζ為0.75和1.00時，xy平面投影為曲線且重合，管柱上存在2點(diǎn)與井筒接觸，為穩(wěn)定的螺旋屈曲狀態(tài)，表明井底壓力ξC=4.11時屈曲變形剛好從正弦突變成螺旋構(gòu)型。③井底壓力取ξC=4.12，阻尼比較大(10.0≤ζ≤20.0)時，xy平面投影也為不同形狀的曲線；當(dāng)阻尼比較小時(2.00≤ζ≤8.00)時，也得到了穩(wěn)定的螺旋屈曲狀態(tài)，表明井底壓力ξC=4.12時屈曲變形為螺旋構(gòu)型。

在6個周期的計算時間范圍內(nèi)，圖8給出了阻尼比ζ對計算效率的影響，整體來看，計算耗費(fèi)的CPU時間隨著阻尼比的增大而逐漸縮短。但從對圖6的分析可見，阻尼比過小或過大均影響計算的穩(wěn)定性。其中臨界載荷ξC=4.10時，由于處于正弦屈曲構(gòu)型向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變的前一個臨界載荷，屈曲構(gòu)型極不穩(wěn)定，計算耗費(fèi)的CPU時間較長。

圖8 阻尼比ζ對計算效率的影響Fig.8 Influence of damping ratio on computational efficiency

綜上可見，本文計算得到的懸掛管柱平面正弦屈曲向空間螺旋屈曲轉(zhuǎn)變時的臨界載荷為ξC=4.11。文獻(xiàn)[7]的結(jié)果為ξC=4.00，本文的結(jié)果比文獻(xiàn)[7]大了2.75%。

根據(jù)圖7的計算結(jié)果，圖9給出了懸掛管柱從正弦屈曲到螺旋屈曲的三維空間屈曲構(gòu)型。由圖9可見，①當(dāng)井底壓力ξC≤4.10時，懸掛管柱的屈曲構(gòu)型為一平面，為平面正弦屈曲狀態(tài)。②當(dāng)井底壓力ξC=4.11時，懸掛管柱的屈曲構(gòu)型突變成空間螺旋曲線，為空間螺旋屈曲構(gòu)型。2個接觸點(diǎn)的軸向位置分別為ξL1=1.30和ξL2=3.13，螺旋段長度為ξL2-ξL1=1.83，螺旋角度為θL2-θL1=77.9°。③當(dāng)井底壓力ξC>4.11時，螺旋屈曲構(gòu)型進(jìn)一步擴(kuò)展，當(dāng)井底壓力ξC=4.31時，懸掛管柱在平面模型中為完全二次彎曲狀態(tài)，但在三維模型中早已成為空間螺旋屈曲狀態(tài)。

本文無量綱長度取ξL=8，計算得到了懸掛管柱正弦屈曲向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變時的臨界載荷。根據(jù)文獻(xiàn)[7]，由于管柱越長管柱柔度越大，可以預(yù)見對應(yīng)的臨界載荷會隨著管柱長度的增加而逐漸減小，最后趨于常值。

圖9 三維空間的屈曲構(gòu)型Fig.9 Buckling configurations in three dimensional space

4 結(jié) 論

本文基于慢動力有限元法，對懸掛管柱進(jìn)行了正弦屈曲向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變時的臨界載荷研究，得出如下結(jié)論：

(1) 正弦屈曲向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變是一個屈曲構(gòu)型突變的過程，采用慢動力有限元法，將靜力屈曲問題轉(zhuǎn)換成動力學(xué)問題。按照正弦波的方式施加外載荷和擾動力，通過虛擬較大的阻尼比，對井筒內(nèi)懸掛管柱后屈曲分析的收斂和算法的穩(wěn)定性具有重要的作用。阻尼力能夠有效地抑制管柱振動，在6個固有周期的計算時間范圍內(nèi)，管柱的撓度均能處于穩(wěn)定、達(dá)到常值狀態(tài)，可以得到懸掛管柱穩(wěn)定的屈曲構(gòu)型和臨界載荷。

(2) 無量綱長度取8，懸掛管柱正弦屈曲向螺旋屈曲轉(zhuǎn)變時的臨界載荷為4.11，螺旋屈曲的構(gòu)型中存在兩個接觸點(diǎn)，螺旋段長度為1.83，螺旋角度為77.9°。懸掛管柱正弦屈曲和螺旋屈曲的臨界載荷均比文獻(xiàn)[7]大了近3%，但是本文一次彎曲和二次彎曲的臨界載荷與Lubinski的研究結(jié)果完全吻合，表明本文的結(jié)果具有更高的計算精度。

(3) 采用慢動力法，也可以用于諸如定向井和水平井等井型的屈曲分析，計算出穩(wěn)定的正弦和螺旋屈曲構(gòu)型以及對應(yīng)的臨界載荷。