張守建

摘 要 GPS單點(diǎn)定位是各種GPS精密定位的基礎(chǔ)，目前課堂教學(xué)中僅講授GPS單點(diǎn)定位的幾何原理，很少提及其詳細(xì)的數(shù)值求解過(guò)程。本論文給出了GPS單點(diǎn)定位中的兩個(gè)關(guān)鍵步驟的算法：1）GPS衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)刻和衛(wèi)星位置的計(jì)算方法；2）GPS單點(diǎn)定位的計(jì)算方法，這兩個(gè)部分結(jié)合形成了GPS單點(diǎn)定位的迭代計(jì)算方法，為學(xué)生掌握單點(diǎn)定位的原理和算法打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 GPS 單點(diǎn)定位 最小二乘

全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System，簡(jiǎn)稱(chēng)GPS）可為車(chē)輛、船只、飛機(jī)等各種移動(dòng)用戶提供全天候高精度導(dǎo)航、定位與授時(shí)，極大地促進(jìn)了社會(huì)信息化水平。GPS單點(diǎn)定位技術(shù)是指采用單臺(tái)接收機(jī)的偽距觀測(cè)值求解接收機(jī)位置和接收機(jī)鐘差的方法，是導(dǎo)航、定位與授時(shí)等功能中的核心算法。

在高精度定位領(lǐng)域，大地測(cè)量學(xué)者發(fā)展出了更高定位精度的差分定位技術(shù)、RTK定位技術(shù)和精密單點(diǎn)定位技術(shù)等多種高精度定位方法，在這些定位技術(shù)中，其核心也是依托于單點(diǎn)定位技術(shù)，不同之處在于如何更加精細(xì)地處理各種系統(tǒng)誤差。

因此，在“GPS原理與方法”這門(mén)課程中，把單點(diǎn)定位技術(shù)講清楚是后續(xù)學(xué)習(xí)各種精密定位方法的關(guān)鍵所在，目前我們?cè)谥v授單點(diǎn)定位內(nèi)容時(shí)，一般只講授幾何定位原理，其求解的具體過(guò)程涉及很少。為了更好地讓學(xué)生掌握這部分內(nèi)容，本論文闡述了GPS單點(diǎn)定位中幾個(gè)關(guān)鍵步驟，并給出了詳細(xì)分析過(guò)程，以期達(dá)到讓學(xué)生掌握這一核心算法的目的。

1 偽距觀測(cè)方程

接收機(jī)以確定的時(shí)間間隔（通常情況下為30s）來(lái)讀取并記錄數(shù)據(jù)，假設(shè)接收機(jī)的讀取時(shí)間為，那么接收機(jī)對(duì)衛(wèi)星的觀測(cè)方程可以寫(xiě)為：

（1）

其中為信號(hào)接收時(shí)刻，為GPS衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)刻，為真空中光的傳播速度，需要注意的是，由于接收機(jī)和衛(wèi)星上自帶的時(shí)鐘系統(tǒng)均包含有各自的系統(tǒng)誤差，與標(biāo)準(zhǔn)的GPS時(shí)間系統(tǒng)并不能保持一致，上述接收時(shí)刻和發(fā)射時(shí)刻分別可以表示為：

（2）

（3）

為了表述清晰起見(jiàn)，這里將時(shí)刻定義為鐘面時(shí)刻，將t定義為真實(shí)時(shí)刻，將公式（2）和（3）代入到公式（1），偽距觀測(cè)方程可以整理為：

為了更清楚地闡明單點(diǎn)定位求解過(guò)程，上述偽距觀測(cè)方程中沒(méi)有考慮相對(duì)論效應(yīng)，電離層延遲，對(duì)流層延遲等系統(tǒng)誤差，但在實(shí)際定位中需加以考慮。

假設(shè)已知信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻ts，根據(jù)GPS導(dǎo)航電文中給出的衛(wèi)星軌道根數(shù)和衛(wèi)星鐘差等參數(shù)，即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)時(shí)刻的衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差s，將衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差代入到觀測(cè)方程（4）后，剩下4未知參數(shù)，分別為接收機(jī)位置和接收機(jī)鐘差，然后采用第3節(jié)的最小二乘方法可得到這些未知參數(shù)的解。

在計(jì)算衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差時(shí)，需要已知信號(hào)發(fā)射的真實(shí)時(shí)刻，而在接收機(jī)觀測(cè)值文件中（比如RINEX文件中），我們僅知道信號(hào)接收鐘面時(shí)刻和對(duì)應(yīng)時(shí)刻的偽距觀測(cè)值，是否可以利用信號(hào)接收鐘面時(shí)刻代替發(fā)射真實(shí)時(shí)刻來(lái)計(jì)算衛(wèi)星軌道和鐘差呢？答案是否定的。因?yàn)镚PS衛(wèi)星軌道高度在20000公里左右，信號(hào)從衛(wèi)星到地面接收機(jī)大概需要0.075s，GPS衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速度約為3.9km/s，因此其誤差可達(dá)為290m左右，這會(huì)嚴(yán)重降低單點(diǎn)定位精度，因此GPS衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻的計(jì)算是求解單點(diǎn)定位的關(guān)鍵所在。

2衛(wèi)生信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻計(jì)算方法

為了計(jì)算信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻，把觀測(cè)方程（1）進(jìn)行整理：

（7）

將方程（3）代入上式，可得信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻為：

（8）

從公式（8）可以看出，根據(jù)信號(hào)接收鐘面時(shí)刻和偽距觀測(cè)值，并根據(jù)導(dǎo)航電文，就可以計(jì)算出衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射的真實(shí)時(shí)刻，然而衛(wèi)星鐘差的計(jì)算也需要信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻，因此需要對(duì)公式（8）進(jìn)行迭代計(jì)算，過(guò)程如下：

需要注意的是，衛(wèi)星鐘差數(shù)值一般10-4s到10-5s之間，其精度一般跟GPS衛(wèi)星搭載的原子鐘的精度相關(guān)，目前搭載的GPS衛(wèi)星有三類(lèi)原子鐘，包括銣原子鐘，銫原子鐘和氫原子鐘，其中銣原子鐘相對(duì)穩(wěn)定度在10-12s/s，銫原子鐘為10-13s/s，氫原子鐘為10-14s/s?？紤]到上述衛(wèi)星鐘差的數(shù)量及精度，上述迭代公式一般需要計(jì)算2次就可以滿足單點(diǎn)定位精度求。此外，上述求解過(guò)程中，偽距的觀測(cè)誤差也是可以忽略的，因?yàn)槠渚嚯x誤差約為10m，對(duì)應(yīng)時(shí)間誤差為10-8s，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)距離小于1mm。

上述迭代計(jì)算過(guò)程是基于偽距觀測(cè)方程的，事實(shí)上衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射真實(shí)時(shí)刻還可以從真實(shí)幾何距離方程得到，我們知道幾何距離方程為：

（9）

變換上述方程可得：

（10）

可見(jiàn)上述方程也需要進(jìn)行迭代計(jì)算，具體過(guò)程為：

上述迭代過(guò)程，接收機(jī)真實(shí)時(shí)刻t的計(jì)算需要知道接收機(jī)鐘差，而接收機(jī)鐘差是未知的，因此只能利用接收機(jī)鐘面時(shí)刻T代替，其最大誤差為1ms，對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)距離為3.9m左右，與偽距觀測(cè)值精度相當(dāng)，可以忽略。幾何距離的計(jì)算需要知道接收機(jī)位置和衛(wèi)星位置，接收機(jī)位置可以先假設(shè)一個(gè)合理的大概位置，一般可設(shè)置為（0，0，0），衛(wèi)星位置可以根據(jù)衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻利用導(dǎo)航電文計(jì)算得到，具體請(qǐng)參考（李征航，黃勁松，2005）。需要注意的是，導(dǎo)航電文中GPS衛(wèi)星位置是地心地固坐標(biāo)系，不同時(shí)刻衛(wèi)星位置所屬的參考框架是不同的，由于信號(hào)發(fā)射時(shí)刻和信號(hào)接收時(shí)刻參考框架是不同的，因此需要對(duì)由于地球自轉(zhuǎn)引起的參考框架旋轉(zhuǎn)進(jìn)行改正。

上述兩種迭代算法在單點(diǎn)定位中都常用到，第一種迭代算法速度更快，也更容易理解；第二種迭代算法需要根據(jù)接收機(jī)位置計(jì)算幾何距離，所以需要和單點(diǎn)定位整體迭代過(guò)程結(jié)合在一起，也更加復(fù)雜。此外，實(shí)際計(jì)算時(shí)，上述算法均需考慮相對(duì)論效應(yīng)，否則定位精度會(huì)受到影響。

3 GPS單點(diǎn)定位參數(shù)估計(jì)方法

從GPS偽距觀測(cè)方程（6）可以看出，單點(diǎn)定位觀測(cè)方程是一個(gè)非線性觀測(cè)方程，為了數(shù)值求解這個(gè)方程，首先應(yīng)該將其線性化，然后采用最小二乘法來(lái)估計(jì)未知參數(shù)。

首先，將觀測(cè)值表達(dá)為一個(gè)模型值和誤差項(xiàng)：

（11）

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法則（Taylor's theorem），將模型在初始值（也稱(chēng)為先驗(yàn)值）附近展開(kāi)，并舍棄掉二階及高階小項(xiàng)，可得：

（12）

注意上述偏導(dǎo)數(shù)也需要使用先驗(yàn)值進(jìn)行計(jì)算，于是殘差觀測(cè)值也就是實(shí)際觀測(cè)值與模型計(jì)算值之差，此時(shí)線性化觀測(cè)方程可寫(xiě)為：

（13）

寫(xiě)成矩陣形式：

（14）

假設(shè)在當(dāng)前歷元觀測(cè)了m顆衛(wèi)星，那么觀測(cè)方程可以寫(xiě)為：

（15）

將其寫(xiě)成矩陣形式： （16）

上述觀測(cè)方程描述了殘差觀測(cè)向量b與未知參數(shù)向量x之間的線性函數(shù)，因此被稱(chēng)為線性化觀測(cè)方程，觀測(cè)方程中殘差向量v是未知的，需要在參數(shù)估計(jì)后確定。假設(shè)未知參數(shù)向量x的估值為，根據(jù)最小二乘原理，其解為：

=（ATA）-1ATb （17）

需要注意的是，由于觀測(cè)方程是非線性的，上述計(jì)算過(guò)程需要進(jìn)行多次迭代，直到待估參數(shù)的解收斂為止。（下轉(zhuǎn)第131頁(yè)）（上接第108頁(yè)）

根據(jù)上述衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻計(jì)算時(shí)間和參數(shù)估計(jì)方法，GPS單點(diǎn)定位的流程圖如圖1所示。

4 結(jié)語(yǔ)

GPS單點(diǎn)定位技術(shù)是導(dǎo)航、定位和授時(shí)的基礎(chǔ)，也是差分GPS和RTK技術(shù)等精密定位技術(shù)的基礎(chǔ)，本論文從GPS單點(diǎn)定位實(shí)現(xiàn)的流程著手，給出了兩種不同的衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻和衛(wèi)星軌道計(jì)算方法，然后介紹了單點(diǎn)定位估計(jì)方法和注意事項(xiàng)，最后給出了GPS單點(diǎn)定位的整個(gè)數(shù)值計(jì)算流程圖，為學(xué)生掌握單點(diǎn)定位技術(shù)的核心流程和關(guān)鍵點(diǎn)提供指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 李征航，黃勁松.GPS測(cè)量原理與數(shù)據(jù)處理.武漢大學(xué)出版社，2005： 152-278.

[2] 周中謨，周琪.GSP衛(wèi)星測(cè)量原理與應(yīng)用[M].北京測(cè)繪出版社，1997.

[3] Blewitt， G. （1997）. Basics of the GPS Technique： Observation Equations. In Geodetic Applications of GPS， p. 10-54， ed. B. Johnson， Nordic Geodetic Commission， Sweden， ISSN 0280-5731.

[4] GNSS - Global Navigation Satellite Systems： GPS， GLONASS， Galileo （2008）. More Hofmann-Wellenhof， Lichtenegger， Wasle， Springer/Wien New York.