梁瀟，馬衛(wèi)華，肖溪玥，陳曉昊

?

狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)對(duì)磁浮車輛懸浮穩(wěn)定性影響的仿真研究

梁瀟1,3，馬衛(wèi)華2，肖溪玥3，陳曉昊2

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410014； 2. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031； 3. 湖南磁浮技術(shù)研究中心有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000)

為研究磁浮車輛懸浮控制器的狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)對(duì)懸浮穩(wěn)定性的影響，解決磁浮車輛懸浮不穩(wěn)的問(wèn)題，建立單電磁鐵與柔性軌道梁的耦合模型。通過(guò)對(duì)懸浮系統(tǒng)傳遞函數(shù)的研究，得到速度激勵(lì)信號(hào)頻率與懸浮系統(tǒng)對(duì)軌道梁的功率輸出的關(guān)系曲線，并得到狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響規(guī)律。由此得出結(jié)論，通過(guò)繪制“懸浮系統(tǒng)對(duì)軌道梁的振動(dòng)能量輸出功率”與“軌道梁主頻率”間的關(guān)系曲線，即可得到不考慮軌道梁阻尼時(shí)，懸浮系統(tǒng)可適應(yīng)軌道的臨界參數(shù)。

懸浮系統(tǒng)；傳遞函數(shù)；輸出功率；臨界頻率

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，中國(guó)城市交通越來(lái)越擁堵[1]。發(fā)展公共交通是改善城市交通狀況的有效途徑。與傳統(tǒng)的軌道交通系統(tǒng)相比，電磁懸浮模式磁浮列車具有噪音低、速度快、爬陡坡能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，是近幾年來(lái)備受關(guān)注的一種新型城市交通方式[2]，許多國(guó)家都對(duì)其開展了研究，并取得了很大的進(jìn)步。磁浮列車的迅速發(fā)展和巨大優(yōu)勢(shì)，為其商業(yè)應(yīng)用提供了廣闊的前景。但也應(yīng)該指出，目前還存在一些問(wèn)題對(duì)磁浮列車的工程運(yùn)用造成阻礙，例如車橋耦合系統(tǒng)的自激振動(dòng)就是一個(gè)亟待解決的問(wèn) 題[3]。由于軌道的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，軌道梁的柔性顯著影響磁浮車輛運(yùn)行的穩(wěn)定性與平穩(wěn)性，特別是在靜止或低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，容易產(chǎn)生耦合振動(dòng)造成懸浮系統(tǒng)的不穩(wěn)定[4?5]。人們普遍接受的結(jié)論是，高架軌道梁的柔性，是造成這種現(xiàn)象的主要原因[6?7]。針對(duì)磁浮列車與軌道梁的耦合振動(dòng)問(wèn)題，梁鑫[8]系統(tǒng)地闡述磁軌關(guān)系特點(diǎn)與控制系統(tǒng)參數(shù)對(duì)磁浮車輛振動(dòng)的影響；趙春發(fā)等[9?10]將車輛簡(jiǎn)化為5剛體10自由度的質(zhì)量塊模型，將電磁力等效為線性彈簧?阻尼力，建立高速磁浮車輛?軌道梁耦合振動(dòng)模型；鄒東升等[11]針對(duì)車軌耦合懸浮系統(tǒng)中的振動(dòng)現(xiàn)象，利用雙環(huán)PID算法控制，研究其產(chǎn)生的根源，總結(jié)出懸浮車軌耦合系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)同宿分岔、Hopf分岔、二次Hopf分岔和混沌，認(rèn)為這是懸浮系統(tǒng)振動(dòng)的根源；王洪坡等[12?13]分別研究控制系統(tǒng)時(shí)滯對(duì)懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，分析在位置時(shí)滯和軌道擾動(dòng)共同作用下，懸浮系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的1:3亞諧共振響應(yīng)，并指出時(shí)滯參數(shù)不但可以抑制亞諧響應(yīng)，還能控制混沌的產(chǎn)生。張玲玲[14]分別應(yīng)用中心流形和正規(guī)型理論、Pseudo-Oscillator分析的攝動(dòng)方法計(jì)算Hopf分岔引起的周期解，并用數(shù)值仿真驗(yàn)證了其有效性。由于物理意義明確、瞬態(tài)響應(yīng)好、魯棒性強(qiáng)且易于工程實(shí)現(xiàn)，PD控制器仍然是EMS系統(tǒng)中最常用的控制器之一[15]。EMS系統(tǒng)使用的PD控制器需要對(duì)懸浮間隙、振動(dòng)速度與振動(dòng)加速度3個(gè)狀態(tài)進(jìn)行反饋，而實(shí)際工程中的懸浮傳感器只能檢測(cè)懸浮間隙和電磁鐵振動(dòng)加速度信號(hào)，振動(dòng)速度信號(hào)需要經(jīng)過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器計(jì)算得到，本文基于這一點(diǎn)對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)懸浮穩(wěn)定性的影響進(jìn)行研究。

1 系統(tǒng)模型

由于耦合振動(dòng)現(xiàn)象的復(fù)雜性，為研究磁浮車輛與軌道梁耦合振動(dòng)的情況，在建模時(shí)需要對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理以得出有益的結(jié)論，因此以一個(gè)柔性軌道梁與一個(gè)單一的懸浮電磁鐵作為研究對(duì)象。

1.1 軌道梁模型

磁浮線路多采用高架方式，高架磁浮軌道由水泥支墩、單跨水泥梁、軌枕和鋼軌等部分組成，目前大部分研究都將高架軌道簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支Euler- Bernoulli梁，其方程如下：

圖1 簡(jiǎn)支梁-電磁鐵耦合模型

Fig. 1 Simply supported beam-electromagnet coupling model

根據(jù)模態(tài)疊加理論，梁的撓度可以表示為振型函數(shù)與廣義坐標(biāo)的積：

由于耦合振動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，軌道梁的高階主頻成分很少，所以只考慮軌道梁的一階振動(dòng)是合理的。軌道梁方程化簡(jiǎn)為：

1.2 懸浮系統(tǒng)模型

根據(jù)EMS型常導(dǎo)磁浮車輛懸浮原理，電磁鐵位于固定軌道下方，可以自由移動(dòng)，電磁鐵輸入控制電壓()，為電路中總電阻；0為真空磁導(dǎo)率；為線圈匝數(shù)；()為控制電路中的時(shí)變電流；為磁極面積；()為懸浮間隙，懸浮力(,)為電流與懸浮間隙的函數(shù)。

時(shí)變電流由控制電壓驅(qū)動(dòng)，控制電壓同時(shí)驅(qū)動(dòng)2個(gè)電磁鐵。根據(jù)基爾霍夫定律，時(shí)變電流與控制電壓的關(guān)系可以寫成：

電磁鐵的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中：()為電磁鐵的垂向位移；為單個(gè)電磁鐵運(yùn)載質(zhì)量；為重力加速度。

根據(jù)式(5)、(8)可得電磁鐵靜態(tài)電流：

其中：2(t)即為觀測(cè)器得到的速度信號(hào)，可得目標(biāo)懸浮電流為：

其中：k，k和k為3個(gè)狀態(tài)的反饋系數(shù)。

為加快電流跟蹤速度，使用電流環(huán)反饋：

其中：k為電流反饋系數(shù)。

式(5)~(12)確定了懸浮系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

2 耦合振動(dòng)機(jī)理

不考慮軌道梁柔性的情況下，懸浮系統(tǒng)往往可以得到穩(wěn)定的結(jié)果，但是在考慮軌道梁的柔性時(shí)，系統(tǒng)有時(shí)會(huì)發(fā)生自激振動(dòng)而失穩(wěn)。由于軌道梁只在有能量輸入的情況下振動(dòng)才會(huì)加劇[7]，下面考慮電磁鐵對(duì)軌道梁的能量輸入。

2.1 電磁鐵對(duì)軌道梁的能量輸入與觀測(cè)器系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)式(5)~(12)，可得懸浮系統(tǒng)的線性化頻域方程：

經(jīng)過(guò)整理，可以得到以軌道梁振動(dòng)速度為輸入，電磁鐵對(duì)軌道梁的作用力為輸出的懸浮系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

假設(shè)時(shí)刻，梁的振動(dòng)圓頻率為w，振動(dòng)幅值為0.1 m/s，即：

根據(jù)式(14)，電磁鐵對(duì)軌道梁的作用力為：

根據(jù)式(15)和(16)，電磁鐵對(duì)軌道梁的平均輸出功率為[16]：

為研究觀測(cè)器參數(shù)0和0對(duì)懸浮穩(wěn)定性的影響，利用數(shù)值方法，可以得到電磁鐵對(duì)軌道梁的輸出功率P與梁的振動(dòng)圓頻率的關(guān)系。令=3 125 kg，0=8 mm，=360匝，=0.55 Ω，=0.018 4 m2，k=6 500，k=40，k=0.5，k=40。固定0=2，研究0對(duì)電磁鐵對(duì)軌道梁的輸出功率的影響，見圖2。

圖2 ω0對(duì)電磁鐵對(duì)軌道梁的輸出功率的影響

固定0=140，研究0對(duì)電磁鐵對(duì)軌道梁的輸出功率的影響，見圖3。

圖3 ξ0對(duì)電磁鐵對(duì)軌道梁的輸出功率的影響

由圖3可知，隨著0的增大，臨界頻率有所減小，系統(tǒng)對(duì)高頻激振的功率輸出也隨之減小，對(duì)中頻振動(dòng)的衰減能力也隨之減小。但是，隨著0的增大，系統(tǒng)引入的間隙傳感器信號(hào)()的微分成分會(huì)有所減小，系統(tǒng)噪聲會(huì)有所減小。

由上述分析可知，在不考慮間隙傳感器的微分噪聲的情況下，增大0減小0可以顯著改善系統(tǒng)性能，但過(guò)大的0過(guò)小0又會(huì)引入不能忽視的系統(tǒng)噪聲，實(shí)際工程中，觀測(cè)器參數(shù)應(yīng)在不引入過(guò)大噪聲的前提下選取較大的0與較小的0。

2.2 懸浮系統(tǒng)可適應(yīng)的軌道與觀測(cè)器參數(shù)的關(guān)系

將式(4)描述的軌道梁方程與式(5)~(12)描述的懸浮系統(tǒng)方程聯(lián)立并整理得到耦合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：

一階線性近似的耦合系統(tǒng)其穩(wěn)定的充要條件為系數(shù)矩陣的特征值全部分布在復(fù)平面的左半平面，即滿足：

圖41對(duì)耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

Fig. 4 Influence of1on the stability of coupled systems

圖5 懸浮系統(tǒng)對(duì)速度激勵(lì)的輸出功率曲線

(a) 電磁鐵位移；(b)軌道梁撓度

圖4為耦合系統(tǒng)關(guān)于1的根軌跡圖，隨著1的增大，有1對(duì)特征根穿越虛軸使系統(tǒng)失穩(wěn)。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即臨界頻率=68.43 rad/s，圖5為懸浮系統(tǒng)對(duì)速度激勵(lì)的輸出功率曲線，其臨界頻率=68.72 rad/s，考慮到數(shù)值計(jì)算誤差，可知，即在不考慮軌道梁阻尼的情況下，控制系統(tǒng)可適應(yīng)的軌道主頻率范圍，可由懸浮系統(tǒng)對(duì)速度激勵(lì)的輸出功率曲線得出，通過(guò)改變觀測(cè)器參數(shù)改善懸浮系統(tǒng)性能的結(jié)論同樣適合于耦合系統(tǒng)。

圖6和圖7為軌道梁主頻率分別為60 rad/s與75 rad/s時(shí)，耦合系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。從中可以看出，當(dāng)軌道梁主頻率低于臨界頻率時(shí)，耦合系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)軌道梁主頻率高于臨界頻率時(shí)，耦合系統(tǒng) 發(fā)散。

(a) 電磁鐵位移；(b) 軌道梁撓度

3 結(jié)論

1) 不考慮間隙傳感器微分噪聲時(shí)，增大0或減小0可以顯著改善系統(tǒng)性能，但過(guò)大的0或過(guò)小0會(huì)引入不能忽視的系統(tǒng)噪聲，實(shí)際工程中，觀測(cè)器參數(shù)應(yīng)在不引入過(guò)大噪聲的前提下選取較大的0與較小的0。

2) 通過(guò)耦合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型得到系統(tǒng)關(guān)于軌道梁主頻的根軌跡圖，發(fā)現(xiàn)不考慮軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)，令耦合系統(tǒng)失穩(wěn)的軌道梁臨界主頻，與懸浮系統(tǒng)對(duì)速度激勵(lì)的功率輸出臨界頻率是相等的，由此得出結(jié)論，通過(guò)繪制“懸浮系統(tǒng)對(duì)軌道梁的振動(dòng)能量輸出功率”與“軌道梁主頻率”間的關(guān)系曲線，即可得到不考慮軌道梁阻尼時(shí)，懸浮系統(tǒng)可適應(yīng)軌道的臨界參數(shù)。

[1] Cho H W, Han H S, Lee J M, et al. Design considerations of EM-PM hybrid levitation and propulsion device for magnetically levitated vehicle[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2009, 45(10): 4632?4635.

[2] CHENG Hu, CHEN Shuwen, LI Yungang. Research on vehicle-coupled-guideway vibration in hybrid maglev system[C]// International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation. IEEE, Zhangjiajie, China, 2009: 715?718.

[3] ZHOU Danfeng, Hansen C H, LI Jie, et al. Review of coupled vibration problems in EMS maglev vehicles[J]. International Journal of Acoustics & Vibrations, 2010, 15(1): 10?23.

[4] Gottzein E, Brock K H, Schneider E, et al. Control aspects of a tracked magnetic levitation high speed test vehicle[J]. Automatica, 1977, 13(3): 205?223.

[5] Yabuno H, Kanda R, Lacarbonara W, et al. Nonlinear active cancellation of the parametric resonance in a magnetically levitated body[J]. Journal of Dynamic Systems Measurement &Control, 2004, 126(3): 433?442.

[6] Alberts T E, Oleszczuk G, Hanasoge A M. Stable levitation control of magnetically suspended vehicles with structural flexibility[C]// American Control Conference. IEEE, Seattle, WA, USA, 2008: 4035?4040.

[7] LI Jinhui, LI Jie, ZHOU Danfeng, et al. Self-excited vibration problems of maglev vehicle-bridge interaction system[J]. Journal of Central South University, 2014, 21(11): 4184?4192.

[8] 梁鑫. 磁浮列車車軌耦合振動(dòng)分析及試驗(yàn)研究[D]. 成都: 西南交通大學(xué), 2014. LIANG Xin. Study on maglev vehicle/guideway coupled vibration and experiment on test rig for a levitation stock[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2014.

[9] 趙春發(fā), 翟婉明. 低速磁浮車輛導(dǎo)向方式及其橫向動(dòng)態(tài)特性[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2005, 26(6): 28?32. ZHAO Chunfa, ZHAI Wanmin. Guidance mode and dynamic lateral characteristics of low-speed maglev vehicle[J]. China Railway Science, 2005, 26(6): 28?32.

[10] 趙春發(fā), 翟婉明. 常導(dǎo)電磁懸浮動(dòng)態(tài)特性研究[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 39(4): 464?468. ZHAO Chunfa, ZHAI Wanming. Dynamic characteristics of electromagnetic levitation systems[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2004, 39(4): 464?468.

[11] 鄒東升, 佘龍華, 張志強(qiáng), 等. 磁浮系統(tǒng)車軌耦合振動(dòng)分析[J]. 電子學(xué)報(bào), 2010, 38(9): 2071?2075. ZOU Dongsheng, SHE Longhua, ZHANG Zhiqiang, et al. Maglev vehicle and guideway coupling vibration analysis[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(9): 2071? 2075.

[12] 王洪坡, 李杰. 一類非自治位置時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的亞諧共振響應(yīng)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2007, 56(5): 2504?2516. WANG Hongpo, LI Jie. Sub-harmonic resonances of the non-autonomous system with delayed position feedback control[J]. Acta Physica Sinica, 2007, 56(5): 2504?2516.

[13] WANG Hongpo, LI Jie, ZHANG Kun. Stability and Hopf bifurcation of the maglev system with delayed speed feedback control[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(8): 829?834.

[14] 張玲玲. 磁浮列車懸浮系統(tǒng)的Hopf分岔及滑?？刂蒲芯縖D]. 長(zhǎng)沙: 湖南大學(xué), 2010. ZHANG Lingling. Research on Hopf bifurcation and sliding mode control for suspension system of maglev train[D]. Changsha: Hunan University, 2010.

[15] ZHOU D, LI J, ZHANG K. An adaptive control method to suppress the maglev track-induced self-excited vibration[C]// International Conference on Consumer Electronics, Communications and Networks. IEEE, Xianning, China, 2011: 4723?4727.

[16] 李金輝. EMS型磁浮列車—橋梁耦合振動(dòng)控制技術(shù)研究[D]. 長(zhǎng)沙: 國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2015. LI Jinhui. The vibration control technology of EMS maglev vehicle-bridge coupled system[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2015.

Simulation research on the effect of state observer parameters on suspension stability of maglev vehicles

LIANG Xiao1,3, MA Weihua2, XIAO Xiyue3,CHEN Xiaohao2

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 3. Hunan Maglev Technology Research Center Co., Ltd, Changsha 410000, China)

In order to solve problems of suspension instability of maglev vehicles, a coupling model of single-electromagnets and flexible track-beams was established to study on how parameters of state observers of suspension controllers affect the suspension stability of maglev vehicles. Researches about the transfer function of suspension systems were conducted and gotten some impressive results, such as curves that plot the relationship between the frequency of speed excitation signals and the power output of the suspension system to track-beams, influence rules that parameters of state observers affect system performance of maglev vehicles and so on. Based on the study about the change rule of state-space model of the coupling system, a conclusion is drawn that it is possible to analysis critical parameters of track-beams, which suspension system can be adapted to.

suspension system; transfer function; power output; critical frequency

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.04.025

U270.2

A

1672 ? 7029(2019)04 ? 1026 ? 07

2018?05?28

湖南省科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2015GK1001)；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(16CGL004)；國(guó)家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(51875483)；四川省重點(diǎn)研發(fā)資助項(xiàng)目(2018GZ0054)

馬衛(wèi)華(1979?)，男，山東滕州人，副研究員，博士，從事機(jī)車車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、磁浮列車走行機(jī)構(gòu)研究；E?mail：mwh@swjtu.edu.cn

(編輯 陽(yáng)麗霞)