張李盈，任景莉

鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，鄭州 450001

如果將一滴水滴到網(wǎng)格上，將會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？如果將一些液體倒在多孔材料的頂部，液體能否穿過孔隙，到達材料的底部？如果將一塊大型多孔石浸入一桶液體中，石頭的中心能否被浸濕？對這類物理問題的思考和研究，產(chǎn)生了滲流和滲流理論。

1 滲流的起源與發(fā)展：何為滲流？何為滲流理論？

剝開表象來看，滲流是一類加載在網(wǎng)格、網(wǎng)絡(luò)或圖上的隨機過程。滲流系統(tǒng)構(gòu)成了一種含參數(shù)的動力系統(tǒng)，并且當參數(shù)經(jīng)過某一臨界值時，系統(tǒng)性質(zhì)會發(fā)生突變，這種突變稱為滲流轉(zhuǎn)變或滲透。滲流轉(zhuǎn)變是自然界和人類社會中常見的現(xiàn)象之一。譬如，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效過程中，當網(wǎng)絡(luò)結(jié)點或連邊的失效概率不超過某個臨界值時，失效的節(jié)點將僅構(gòu)成孤立的團簇；反之，失效的節(jié)點將構(gòu)成貫通整個網(wǎng)絡(luò)的巨大節(jié)點集群。這一現(xiàn)象就是一類滲流轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，又稱為滲透現(xiàn)象。滲流理論是指研究滲流及滲流轉(zhuǎn)變過程中形成的理論模型和方法，包括滲流演化的數(shù)學(xué)模型、行為特征分析的理論方法及滲流轉(zhuǎn)變臨界現(xiàn)象分析的方法和結(jié)論等。

圖1分四種情況展示了二維正方網(wǎng)格上均勻節(jié)點滲流過程中滲流團簇的結(jié)構(gòu)圖，其中藍色表示未被侵占的空置格點，黃色表示被侵占的格點，紅色則標記出由被侵占格點構(gòu)成的最大滲流團簇。p表示網(wǎng)格節(jié)點被侵占的概率，是滲流中的重要參數(shù)。

圖1(a)和圖1(b)兩種情況下，即侵占p= 0.3或p= 0.5時，系統(tǒng)沒有滲透，這時貫通整個網(wǎng)格的巨大滲流團簇沒有出現(xiàn)；圖1(c)和圖1(d)中，即p= 0.592或p= 0.7時，系統(tǒng)發(fā)生了滲透，形成了跨越整個網(wǎng)絡(luò)的巨大滲流團簇。

圖1 二維正方網(wǎng)格上均勻節(jié)點滲流過程中滲流團簇的結(jié)構(gòu)圖(其中藍色表示未被侵占的空置格點，黃色表示被侵占的格點，紅色則標記出由被侵占格點構(gòu)成的最大滲流團簇)：(a) p = 0.3；(b) p = 0.5；(c) p = 0.592；(d) p = 0.7

滲流的思想最早可以追溯到20世紀40年代化學(xué)家Paul對聚合物凝結(jié)的研究[1-3]。 然而，滲流作為一種數(shù)學(xué)理論的研究，則起源于1957年工程師Broadbent和數(shù)學(xué)家Hammersley對防毒面具碳過濾器的設(shè)計和研究。Broadbent和Hammersley利用統(tǒng)計方法，深入分析了流體或粒子通過介質(zhì)時逐步擴散并形成隨機路徑的過程，并提出了滲流閾值的概念。當侵占概率超過滲流閾值時，滲流系統(tǒng)將形成能夠跨越整個介質(zhì)的巨大滲流團簇[4]。Broadbent與Hammersley的工作被認為是滲流理論研究的開端。

滲流理論主要研究從滲流現(xiàn)象中抽象出來的泛化的數(shù)學(xué)模型，是對滲流現(xiàn)象的理論描述和分析，是處理強無序和隨機幾何結(jié)構(gòu)的一種有效的理論方法。統(tǒng)計物理中的相變、臨界現(xiàn)象、尺度理論、重整化群、冪律分布與分形理論等常被用來表征滲流的特征和研究滲流問題。滲流理論的形成推動了滲流作為數(shù)學(xué)理論的研究，使得許多開放性的問題得到了解決。

從理論上看，滲流屬于統(tǒng)計物理，概率與統(tǒng)計理論和圖(或網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)格)理論相互交叉的領(lǐng)域。它的研究不僅能夠加深對統(tǒng)計物理中臨界現(xiàn)象的理解，同時能夠推動概率理論的發(fā)展。更重要的是，傳統(tǒng)的圖論加載了滲流，則被賦予了新活力。滲流這個多學(xué)科交叉領(lǐng)域，容易使各學(xué)科間碰撞出火花，帶來新的視角和機遇。

滲流研究發(fā)展的短短幾十年，有兩位數(shù)學(xué)家因此獲得了數(shù)學(xué)上的最高獎——菲爾茲獎。法國數(shù)學(xué)家Werner因在隨機Loewner演化 (SLE) 理論、二維布朗運動的幾何理論與共形域理論 (求解二維網(wǎng)格上非均勻滲流臨界指數(shù)的理論方法)等滲流相關(guān)問題上的杰出工作，獲得了2006年的菲爾茲獎[5]。Werner打破了物理與數(shù)學(xué)的界限，結(jié)合概率論與復(fù)雜性分析，引入新的思想和概念來解釋某些相變中的臨界現(xiàn)象 (如從液體到氣體的過渡)，作出了突出貢獻。Werner還獲得了歐洲數(shù)學(xué)學(xué)會獎 (2000)、費馬獎 (2003) 和Loève獎 (2005)等多項國際大獎。2001年，俄羅斯數(shù)學(xué)家 Smirnov 證明了三角形網(wǎng)格上臨界節(jié)點滲流的Cardy公式，進而推導(dǎo)出該滲流的共形不變性[6]，并因此獲得了2010年的菲爾茲獎。Smirnov 的工作涉及到復(fù)雜性分析、動力系統(tǒng)和概率論的交叉。

從應(yīng)用角度來看，滲流理論源于實踐，服務(wù)于生產(chǎn)、生活和自然科學(xué)的發(fā)展。滲流模型不僅易于表述，而且內(nèi)涵豐富，結(jié)論深刻，正好符合了應(yīng)用的要求。因此，自1957年Broadbent和Hammersley[4]的開創(chuàng)性研究以來，滲流獲得了廣泛的應(yīng)用，為實際中的許多問題帶來了新視角，提供了新的理論方法。

滲流研究，不論是理論還是應(yīng)用都具有廣闊前景。但是，理論推導(dǎo)的復(fù)雜性使得只有少數(shù)結(jié)果能通過解析方法獲得。即便是經(jīng)典的均勻滲流，常常也只能依賴于數(shù)值逼近或啟發(fā)式方法來獲取近似結(jié)果。滲流關(guān)注網(wǎng)絡(luò)上的無限集群性(一般都在無限網(wǎng)絡(luò)上考慮)，但是數(shù)值模擬只能取有限網(wǎng)絡(luò)，因此數(shù)值模擬在提供一些啟發(fā)式線索的同時也可能會給出有偏差的結(jié)果?；谶@兩個原因，近幾十年來盡管滲流在理論研究方面和應(yīng)用研究方面都取得了長足進展和令人矚目的研究成果，可是相關(guān)研究遠遠沒有完成，它的理論仍需完善，它的應(yīng)用仍有廣泛研究的價值。

2 滲流中的基本問題

滲流研究因研究視角和側(cè)重點的差異分為兩大類：一類側(cè)重于研究結(jié)果的可靠性和推理的嚴謹性；另一類則側(cè)重于應(yīng)用和物理性質(zhì)的研究。下面先來介紹滲流理論研究關(guān)注的主要問題。

滲流理論研究中，首先需要明確滲流發(fā)生的基礎(chǔ)網(wǎng)格及其結(jié)構(gòu)。滲流的基礎(chǔ)網(wǎng)格，可以是一般的網(wǎng)格，如正方形網(wǎng)格、三角形網(wǎng)格、六邊形網(wǎng)格、蜂巢狀網(wǎng)格、立方體網(wǎng)格、高維超立方體網(wǎng)格、Bethe網(wǎng)格、紐結(jié)型網(wǎng)格、分形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格或多重分形網(wǎng)格等，也可以是復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，如多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、相互依賴網(wǎng)絡(luò)、Erd?s-Rényi(ER) 隨機網(wǎng)絡(luò)等；可以是和我們生活休戚相關(guān)的物理網(wǎng)絡(luò)， 如交通網(wǎng)絡(luò)或物理通信網(wǎng)絡(luò) (有線電話或面對面交流網(wǎng)絡(luò)等)，也可以是虛擬的社交網(wǎng)絡(luò)，如微信、臉書、推特或QQ等等。當然也可以是圖論中的圖，如定向圖、有限圖、無圈圖等等。滲流問題，可依據(jù)它的基礎(chǔ)網(wǎng)格稱為某某網(wǎng)格 (網(wǎng)絡(luò)或圖) 上的滲流。

確定了基礎(chǔ)網(wǎng)格，需要根據(jù)具體問題，針對網(wǎng)格中的節(jié)點、連邊或節(jié)點與連邊的混合，加載侵占概率，相應(yīng)的滲流分別稱為節(jié)點滲流、邊滲流和混合滲流。這里加載的概率表示節(jié)點或邊被侵占、打開、激活或失效的可能性，為了方便敘述，本文中統(tǒng)一表述為侵占概率。滲流過程中，如果網(wǎng)格中的所有節(jié)點 (邊) 都以相同的概率被侵占，則稱為均勻滲流。然而事實上，實際滲流過程中節(jié)點 (或連邊) 常常具有異質(zhì)性，因此滲流中應(yīng)當根據(jù)情況賦予節(jié)點 (或連邊) 不同的侵占概率。這樣的滲流稱為非均勻滲流。非均勻滲流更為貼合實際，但缺乏完全一致性，因此增加了求解困難。另外，根據(jù)滲流加載方式或限制條件的不同，滲流可分為常規(guī)滲流，以及衍生而來的爆炸滲流、Bootstrap滲流、定向滲流、關(guān)聯(lián)滲流和受限滲流等等。

加載了滲流的基礎(chǔ)網(wǎng)格，將構(gòu)成網(wǎng)格上的隨機動力系統(tǒng)。注意：為了避免混淆，本文中用“滲流”表示網(wǎng)格中的節(jié)點 (或邊) 經(jīng)歷的緩慢的被侵占過程，用“滲透”表示被侵占的節(jié)點形成的跨越整個網(wǎng)格的巨大節(jié)點集群 (滲透團簇)。滲流系統(tǒng)的性質(zhì)將隨著滲流過程發(fā)生動態(tài)演變。隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，滲流系統(tǒng)會展示出統(tǒng)計物理中的三種相：亞臨界相、臨界相和超臨界相。但是，如果給定了所有參數(shù)，滲流過程必處于這三種相中的一種。滲流研究中常常首先建立滲流模型 (確定基礎(chǔ)網(wǎng)格和滲流方式)，然后對模型進行分析求解，確定滲流模型發(fā)生滲透相變的臨界條件 (對均勻滲流來說是一個點，稱為臨界點；而對非均勻滲流來說，是侵占概率空間的一個子空間，稱為臨界面)、滲流團簇的尺度分布、平均尺度、滲透概率，以及系統(tǒng)處于臨界相時，滲流團簇的尺度不變性、自相似性、分形特征、冪律行為與臨界指數(shù)等等。

2.1 滲流團簇的尺度分布、平均尺度、滲透概率和臨界概率

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計物理中，滲流理論描述了隨機圖中連通簇的隨機行為，涉及到團簇聚類、臨界性、擴散、分形、相變和無序性等。為了表述方便，設(shè)G為滲流的基礎(chǔ)網(wǎng)格，為滲流中基礎(chǔ)網(wǎng)格上節(jié)點 (邊，或節(jié)點與邊的混合)被侵占的概率。這里如果是個標量(一維向量)，則稱為均勻滲流；反之，如果是大于一維的向量，則為非均勻滲流。滲流過程中會形成各種大大小小不同尺寸、不同結(jié)構(gòu)的由被侵占節(jié)點 (節(jié)點滲流)構(gòu)成的連通子集，稱為滲流團簇，記為C。滲流團簇的尺寸指滲流團簇中包含的被侵占節(jié)點的數(shù)目，記為|C|。滲流團簇中尺寸無限大或與基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)具有相同量級的 (或者能夠貫穿整個基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)的) 團簇被稱為滲透團簇。滲透團簇中的節(jié)點能夠從基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)一端延伸到另一端。所有可能尺寸的滲流團簇構(gòu)成的集類記為；所有尺寸為s的滲流團簇構(gòu)成的集類記為(s= 1, 2 ,…)，并用表示所有滲透團簇構(gòu)成的集類。當滲流系統(tǒng)處于亞臨界區(qū)域時，是空集，此時系統(tǒng)不存在滲透團簇。對于邊滲流問題，節(jié)點自動被侵占，此時滲流團簇指由被侵占的邊依次連接節(jié)點構(gòu)成的子連通集?；旌蠞B流中，滲流團簇指由被侵占的節(jié)點和被侵占的邊依次連接而成的子連通集。

滲流中常常關(guān)注這幾個問題：①所有滲流團簇的尺度分布，即不同尺寸滲流團簇出現(xiàn)的概率；②滲透發(fā)生的臨界條件和滲透發(fā)生的概率；③所有有限尺度滲流團簇整體的平均尺寸。

首先考察滲流系統(tǒng)中團簇尺寸的概率分布。滲流過程中會形成各種不同尺寸的 (由被侵占節(jié)點構(gòu)成的) 團簇：有的尺寸很小，最小的可能只包含一個被侵占節(jié)點，對應(yīng)的團簇尺寸為1；最大的可能會包含無窮多個節(jié)點，對應(yīng)尺寸為無窮，比如滲透團簇。依據(jù)概率與統(tǒng)計的關(guān)系，所有這些不同尺寸的團簇，可以看作滲流過程中滲流團簇可能分布的很多次實現(xiàn)，當然需要基礎(chǔ)網(wǎng)格足夠大，而且多次實現(xiàn)并取平均值才可能逼近滲流團簇真實的尺度分布。這如同把滲流團簇的尺寸看作隨機變量，考察這個隨機變量的概率分布。類似地，大街上人們有著多種多樣的身高，引入隨機變量來考察從中任取一個人身高的概率分布。這種考察方式的合理性可由概率論中的大數(shù)定律得到保證。

我們可以通過多次實驗，模擬滲流過程，然后統(tǒng)計不同尺寸團簇所占的比例，以此統(tǒng)計值作為團簇的尺度分布。這種做法類似于通過多次實驗得到統(tǒng)計值，利用統(tǒng)計值的多次平均值去代替事件在每次實驗中發(fā)生的概率。經(jīng)驗告訴我們，有時這種近似會產(chǎn)生偏差，但大數(shù)定律保證只要實驗次數(shù)足夠多，這種偏差在概率意義下可以無限小。即當實驗次數(shù)趨于無窮時，這個實驗的統(tǒng)計值的平均將依概率收斂到滲流團簇真實的尺度分布。這種基于大數(shù)定律，通過統(tǒng)計分析獲得滲流中團簇的尺度分布、平均尺寸、滲透概率、臨界條件等的數(shù)值近似結(jié)果，稱為蒙特卡羅(Monte Carlo) 數(shù)值模擬法。由于滲流團簇這種隨機幾何體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，基于統(tǒng)計實驗的數(shù)值模擬(numerical simulation)成為目前滲流研究中廣泛采用的一種方法。

滲流研究也常?；诟怕收撝械幕纠碚摵头椒ǎㄟ^理論推導(dǎo)來獲得滲流團簇真實的尺度分布，以此作為滲流中不同尺度團簇出現(xiàn)的概率。這種方法稱為解析推理法。解析法是與數(shù)值方法相對的方法，以概率論為基礎(chǔ)，通過解析方法，直接推導(dǎo)滲流團簇的尺度分布、平均尺度、滲透概率、臨界條件等的精確結(jié)果[7]。下面以二維正方形網(wǎng)格上均勻的節(jié)點滲流為例來說明解析方法。對二維正方形網(wǎng)格上的均勻節(jié)點滲流，將尺寸為s而周長為t的滲流團簇記為st-團簇，所有尺寸為s的團簇統(tǒng)一記為s-滲流團簇。bs,t表示不同st-團簇的個數(shù)。令A(yù)(s,p) 表示隨機事件——任取一個節(jié)點屬于s-滲流團簇，這里p表示節(jié)點侵占概率，s的可能取值為0, 1, 2,…,∞?？紤]到滲流過程中節(jié)點獨立地被侵占，可推出下式：

式(1)中，對較大的s，由于滲流團簇結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，相應(yīng)的t和bs,t很難確定，從而導(dǎo)致解析方法的困難[8]。

從圖2(a) 能夠發(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)尺寸N趨于無窮大時，一維網(wǎng)格上均勻滲流的滲透概率趨向于在臨界點(侵占概率的) 發(fā)生跳躍的階躍函數(shù)。這是一個非常特殊的系統(tǒng)。對于一般滲流系統(tǒng)，例如二維正方形網(wǎng)格上均勻滲流系統(tǒng)，當系統(tǒng)尺度L趨于無窮時，滲透概率趨向逐漸光滑函數(shù)，且在臨界點函數(shù)值突發(fā)地從零轉(zhuǎn)變?yōu)榉橇?圖2(b))。

對于大多數(shù)滲流問題，我們沒有辦法通過解析方法解出滲流主要輸出量，這時候只能求助于數(shù)值模擬。事實上，滲流中現(xiàn)有的重要結(jié)論大多是通過數(shù)值模擬獲得的近似結(jié)果。雖然數(shù)值模擬簡單直接，易于實現(xiàn)，也能給出一些有指導(dǎo)意義的結(jié)論，但是數(shù)值模擬的過程應(yīng)當遵循統(tǒng)計中規(guī)范的理論和方法，否則所得結(jié)果可能毫無意義，并且有可能將我們引入歧途。實際模擬過程中，無論我們將基礎(chǔ)網(wǎng)格的尺度取多大，都只能是有限值，而大數(shù)定律只有在實驗次數(shù)趨于無窮時，其誤差才能在概率意義下被忽略。實際上，當系統(tǒng)的尺寸變得越來越大時，估計值圍繞著真實值的波動幅度會越來越小，并且在概率意義下估計值不斷逼近真實值。有限尺度情況下的模擬，為了降低誤差，需要在給定侵占概率p的條件下多次重復(fù)實驗，并求其平均值。

為了表述方便，不論是均勻滲流還是非均勻滲流，統(tǒng)一用p表示侵占概率。此時系統(tǒng)中的節(jié)點 (或邊)，可看作以概率p被侵占，也可看作以概率1-p空置。用“s-滲流團簇”表示由被侵占節(jié)點構(gòu)成的尺寸 (團簇包含的被侵占節(jié)點的數(shù)目) 為s的連通子集。

圖2 (a)以系統(tǒng)尺寸N為參數(shù)，一維網(wǎng)格上均勻滲流的滲透概率與侵占概率之間的函數(shù)關(guān)系示意圖[9]；(b) 以系統(tǒng)尺寸L為參數(shù)，二維正方形網(wǎng)格上均勻滲流的滲透概率與侵占概率之間的函數(shù)關(guān)系示意圖[8]

實際上，基礎(chǔ)網(wǎng)格的空間分布常常導(dǎo)致大尺度滲流團簇空間拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從而導(dǎo)致解析推導(dǎo)的困難，使得滲流團簇的尺度分布很難確定。若能確定滲流團簇的尺度分布，相應(yīng)地可得到滲流轉(zhuǎn)變現(xiàn)象發(fā)生的臨界條件、滲透概率和有限滲流團簇的平均尺寸。

若滲流系統(tǒng)中出現(xiàn)滲透團簇，則稱整個基礎(chǔ)網(wǎng)格被滲透。任選一個節(jié)點屬于滲透團簇的概率稱為系統(tǒng)的滲透概率，記為P∞(G,p)，則有

滲流過程中以下基本共識成立，即存在pc，使得

其中，pc稱為臨界 (侵占) 概率。非均勻滲流中，臨界侵占概率構(gòu)成了侵占概率空間中的子空間，稱為臨界面。這是系統(tǒng)滲透 (發(fā)生滲流轉(zhuǎn)變) 的臨界條件。pc定義如下：

不論系統(tǒng)是否滲透，有限尺度滲流團簇的平均尺寸都可以表示為

2.2 普遍性和物理相

滲流過程中，臨界侵占概率pc具有局部敏感性，與基礎(chǔ)網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)和滲流加載方式都密切相關(guān)。滲流團簇的尺度行為，在臨界點和臨界點附近則具有普遍性，即只與系統(tǒng)維數(shù)有關(guān)，而不受基礎(chǔ)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和滲流方式的影響。這種普遍性還意味著，對于給定的維數(shù)，在臨界點pc附近，各種臨界指數(shù)以及滲流團簇的分形維數(shù)都與基礎(chǔ)網(wǎng)格的類型和滲流加載方式相互獨立。某種程度上來說，研究滲流團簇的這種普遍性行為具有重要的研究意義。然而，近年來Hassan對加權(quán)面板隨機網(wǎng)格 (weighted planar stochastic lattice，WPSL)上的滲流研究發(fā)現(xiàn)，盡管網(wǎng)格的維數(shù)與它所嵌入的空間維數(shù)一致，但它的臨界指數(shù)卻與平面上其他已知網(wǎng)格的有所不同[11-12]。

前面已經(jīng)提到，侵占概率的變化會導(dǎo)致滲流系統(tǒng)處于三種不同的物理相，即亞臨界相、臨界相和超臨界相。亞臨界相最重要的特征是“指數(shù)衰減”，即當p＜pc時，一個確定的節(jié)點屬于一個尺度為s滲流團簇的概率，隨著s的增大以指數(shù)形式衰減。Menshikov在1986年[13]，Aizenman和Barsky 在1987年[14]分別獨立地證明了這個結(jié)論的正確性。

另外，二維平面上正方形網(wǎng)格?2的對偶網(wǎng)格(dual lattice)也是一個正方形網(wǎng)格，這說明平面正方形網(wǎng)格的超臨界相與其亞臨界相也具有對偶關(guān)系。這為平面正方形網(wǎng)格的超臨界相分析提供了基本而充分的信息。我們知道，對?2上的均勻滲流，當邊的侵占概率p＜pc時，一定會存在一個跨越整個網(wǎng)格的由沒有被侵占的邊 (閉合邊)依次連接節(jié)點構(gòu)成的團簇(稱為閉合團簇)。系統(tǒng)的滲流團簇(由被侵占的邊或稱為打開的邊依次連接節(jié)點構(gòu)成的團簇)在亞臨界相彼此獨立且尺度有限，因此淹沒在了尺度無限的閉合團簇族中。當p＞pc時，相反的事情會發(fā)生，即系統(tǒng)的閉合團簇越來越少，尺度也越來越小，并且隨著侵占概率的增大逐漸淹沒在巨大滲透團簇的海洋中。維數(shù)d≥3的網(wǎng)格中，類似的對偶分析將變得越來越復(fù)雜。

滲流模型存在奇點，奇點處滲流系統(tǒng)處于臨界相，滲流系統(tǒng)在臨界相會展示出分形特征和冪律行為。尺度理論可以分析臨界點附近滲流量的臨界指數(shù)。臨界指數(shù)與維數(shù)d相關(guān)，當d= 2時，臨界指數(shù)可通過共形場理論、Schramm-Loewner進化理論或數(shù)值模擬來求解。關(guān)于臨界指數(shù)，目前只有d= 2和d≥19經(jīng)過了嚴格的證明。此外，d= 2時，大尺度滲流團簇具有共形不變性。當d≥ 19時，臨界指數(shù)可通過花邊擴展(lace expansion) 法來求得。滲流與花邊擴展之間的聯(lián)系是 Hara 和 Slade 在1990年發(fā)現(xiàn)的[15]。 用對偶理論可以證明，二維平面中很多網(wǎng)格上的滲流在臨界點上都不會發(fā)生滲透。隨后，Schramm猜想平面網(wǎng)格上滲流中大尺寸團簇的尺度極限可以用 Schramm-Loewner 進化理論來描述。2001年，Smirnov證明該猜想在平面三角形網(wǎng)格上的節(jié)點滲流中是正確的[6]，并因此獲得了2010年的菲爾茲獎。

2.3 尺度分析與臨界指數(shù)

滲透團簇的突然出現(xiàn)常伴隨著一系列特征的突變，因此滲流轉(zhuǎn)變是一種臨界行為。這種臨界行為在臨界點附近具有普遍性，包括臨界指數(shù)和多標度律。普遍性意味著臨界系統(tǒng)的大尺度行為可以用相對簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系來描述，這種關(guān)系完全獨立于小規(guī)模的結(jié)構(gòu)。這使得人們能夠研究和理解一系列非常廣泛的系統(tǒng)行為， 而不需要知道太多細節(jié)。例如：滲流模型臨界指數(shù)的普遍性使得它只與基礎(chǔ)網(wǎng)格所在空間的維數(shù)有關(guān)，而不受網(wǎng)格結(jié)構(gòu) (如平面中六邊形網(wǎng)格、三角形網(wǎng)格和正方形網(wǎng)格上的滲流) 和滲流方式 (節(jié)點滲流、邊滲流、混合滲流、高階滲流) 的影響。

尺度分析過程中，引入了兩個特征量：特征長度 (又稱為相關(guān)長度)ξ和滲流團簇的特征尺度sξ。其中：ξ指所有有限尺度滲流團簇中尺度最大團簇的典型半徑 (the typical radius of the largest cluster)，標志著節(jié)點對節(jié)點相關(guān)函數(shù)的快速衰減點；sξ指所有有限尺度團簇中尺寸最大團簇的典型尺寸，標志著系統(tǒng)滲流團簇尺度分布的冪律衰減與快速衰減的分段點。這里節(jié)點對節(jié)點相關(guān)函數(shù)指對某個已經(jīng)被侵占的節(jié)點，與它距離r的節(jié)點也被侵占了的概率。一般來說，滲流團簇具有分形結(jié)構(gòu)。若假設(shè)滲流團簇的分形維數(shù)為D，則

當系統(tǒng)處于亞臨界或超臨界相時，對于給定的侵占概率p，滲流團簇的相關(guān)長度ξ和特征尺度sξ都取有限值。隨著p越來越靠近臨界點，它們的值也越來越大。事實上，當p趨近于pc時，ξ和sξ都趨于無窮大。當滲流系統(tǒng)的侵占概率p在臨界點pc附近時，下式成立：

滲流團簇的分形維數(shù)則滿足

因此，當系統(tǒng)處于臨界相時，滲透團簇表現(xiàn)出冪律行為、尺度不變性、自相似性和分形特征。此時若假定基礎(chǔ)網(wǎng)格的尺度為L，滲透概率與網(wǎng)格窗口尺度有關(guān)，記為P∞(L)，且有

這里D是滲流團簇的分形維，d是網(wǎng)格維數(shù)，一般D≤d。若D＜d，當L趨于無窮時，P∞(L)將趨于零。

此時，對于尺度為s的有限滲流團簇，

這里，Rs是尺度為s的滲流團簇的平均半徑。首先計算某個s-滲流團簇的中心位置rc，其中r表示該s-滲流團簇中包含的編號為k被侵占的節(jié)點所在的位置；然后計算該團簇的半徑最后對所有s-滲流團簇取平均值，得到Rs。

臨界面板p=pc上，滲透團簇展示出自相似分形特征；進入超臨界區(qū)域p＞pc，滲流團簇則表現(xiàn)出從分形交叉的幾何特性[8]。系統(tǒng)處于超臨界相p＞pc時，相關(guān)長度ξ和滲流團簇特征尺度sξ都取有限值。此時，

滲流團簇的相關(guān)尺度ξ不僅標識了有限尺度滲流團簇的最大半徑，根據(jù)有限尺度效應(yīng)，ξ同時也標識了空置節(jié)點形成的有限尺寸孔洞的最大半徑。因此，當窗口尺寸小于ξ時，滲透團簇展示出分形特征，而大于ξ時，由于孔洞消失，則表現(xiàn)出均勻特征。

滲流系統(tǒng)接近臨界相時，有限團簇的平均尺寸、相關(guān)長度、特征團簇尺度和尺度分布的k階矩等幾乎都會發(fā)散。假設(shè)時，滲流團簇的平均尺寸

尺度理論表明，滲流臨界點pc附近，尺寸為s的滲流團簇的平均數(shù)量平均周長平均團簇半徑密度依賴于到團簇中心的距離r。臨界點附近，主要量的表達式中涉及到7個臨界指數(shù)α、β、γ、δ、ν、σ、τ。多標度律表明，d維空間中臨界指數(shù)之間滿足：表1列出常見網(wǎng)格上滲流的臨界指數(shù)。

3 研究進展及存在問題

滲流模型定義簡單，容易描述。模型最常關(guān)注滲流過程中的最優(yōu)路徑和最優(yōu)時間。首個滲流模型中所有邊都以相同的概率獨立地被侵占，即隨機地賦予基礎(chǔ)網(wǎng)格所有邊獨立的兩點分布。這些兩點分布一起構(gòu)成了多重伯努利分布，稱為伯努利邊 (bond) 滲流[17]。隨后，一般化的“Fortuin-Kasteleyn隨機團簇模型”被引入，此模型與Ising模型和 Potts 模型緊密相關(guān)[18]。 接著， Gilbert 將伯努利邊滲流加載到一個含有N個節(jié)點的完全圖上，獲得隨機圖，記為G(N,p)。這是一類被廣泛關(guān)注的隨機圖，著名的Erd?s-Rényi隨機圖只是它在某個點上的快照。這類滲流問題中臨界概率

表1 常見網(wǎng)格上滲流的臨界指數(shù)[8]

標準滲流是處理網(wǎng)絡(luò)上復(fù)雜動態(tài)過程的有效模型和理論方法，因此廣受關(guān)注。滲流理論的廣泛應(yīng)用為它帶來新的研究視角，衍生出多種進化的滲流模型，如首穿滲流、入侵滲流[19]、定向滲流、Bootstrap滲流、爆炸滲流等。1965年Hammersley與Welsh提出了首穿滲流，用來解決加權(quán)圖上的隨機距離、兩點間最小路徑或隨機幾何的大尺度行為。首穿滲流成為概率論一個經(jīng)典的研究領(lǐng)域。1983年Wilkinson和Willemsen引入了入侵滲流，用以描述現(xiàn)實中流體緩慢流經(jīng)孔隙材料的行為特征[20]。1984年Durrett在《概率年刊》上發(fā)表了關(guān)于二維定向滲流的研究成果[21]。定向滲流是從接觸過程中抽象出來的一類滲流問題。Bootstrap滲流則通過刪去團簇中鄰居數(shù)較少的節(jié)點來考察團簇的連通性[22]。爆炸滲流[23]，與標準滲流模型相比，常常表現(xiàn)出不連續(xù)的相變。隨機圖中爆炸滲流的連續(xù)相變(二級相變) 或不連續(xù)的相變(一級相變，如水在零度凝結(jié)時伴隨著熵的不連續(xù)下降)，由于收斂速度慢，很難通過數(shù)值計算來實現(xiàn)。最初，人們認為隨機網(wǎng)絡(luò)中“Achlioptas”過程下的相變是不連續(xù)的，因而稱之為“爆炸滲流” 。 最后證明，這種轉(zhuǎn)變的熱力學(xué)極限實際上是連續(xù)的。此外，1989年Chayes等研究了伯努利滲流高密相的相關(guān)長度，結(jié)果也發(fā)表在《概率年刊》上[24]。1993年英國劍橋大學(xué)的Grimmett教授等研究了滲流模型中無限集群上的隨機游走[25]。1994年Berg和 Maes在《概率年刊》上發(fā)表了關(guān)于馬氏域中的分歧滲流[26]。

近年來，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的興起，滲流研究也擴展到各類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上。相鄰節(jié)點對之間度相關(guān)的隨機網(wǎng)絡(luò)，稱為隨機“相關(guān)(不相關(guān))網(wǎng)絡(luò)”。1999 年Newman等考察了小世界網(wǎng)絡(luò)上節(jié)點滲流，作為疾病傳播模型推導(dǎo)出了滲透概率的近似表達式[27]。2000 年Cohen等考慮了一般的不相關(guān)無標度網(wǎng)絡(luò)上滲流問題，其中每個節(jié)點的移除概率都與它的度有關(guān)聯(lián)[28]。同年，Hara和Slade研究了高維滲流初期無限集簇的尺度極限[29]。2001年Newman考慮了具有任意度分布的不相關(guān)隨機網(wǎng)絡(luò)上的滲流問題，用生成函數(shù)法推導(dǎo)其最大連通團簇和滲流閾值[30]。他們發(fā)現(xiàn)無標度網(wǎng)絡(luò)中的巨型連通團簇對隨機攻擊具有穩(wěn)健性，但易受到高度密集定向攻擊的破壞[31-32]。基于生成函數(shù)法，度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的滲流也獲得了深入研究[33-36]。2001年，Callaway等研究了生長網(wǎng)絡(luò)上一類簡單模型的滲流相變[37]。2007年Acín等研究了量子網(wǎng)絡(luò)中的纏結(jié)滲流[38]。2011年Serrano等研究了自相似網(wǎng)絡(luò)中的滲流，證明自相似網(wǎng)絡(luò)中一般圖上的滲流具有零滲流閾值[39]。2012年Lau等研究了二分網(wǎng)絡(luò)上的凝聚滲流，發(fā)現(xiàn)自發(fā)對稱性破缺造成了滲濾閾值附近的非普適性行為[40]。2015年D′Souza和Nagler研究了爆炸滲流中的反常臨界和超臨界現(xiàn)象[41]。同年，Radicchi研究了實際相互依賴復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的均勻滲流，討論了臨界概率及滲流轉(zhuǎn)變的連續(xù)性問題[42]。2016年Hackett等研究了多層復(fù)雜隨機網(wǎng)絡(luò)上的邊滲流。討論了臨界概率、滲透概率和臨界點相變特征[43]。更一般地，網(wǎng)絡(luò)上的Bootstrap滲流[44]、k核滲流[45]都得到廣泛的研究。

特別地，臨界概率作為滲流的一個重要特征一直是滲流研究的熱點。滲流過程中臨界侵占概率或侵占概率臨界面上，滲流系統(tǒng)的行為會發(fā)生突變，從沒有滲透到滲透。臨界概率不具有普遍性，它不僅依賴于網(wǎng)格的空間維數(shù)，還和網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的細節(jié)密切相關(guān)，并且僅在無限維的極限下才能達到平均場值[46]。 追求精確的滲流閾值或?qū)ζ浣缦捱M行嚴格證明，是數(shù)學(xué)家們追求的一個經(jīng)久不衰的研究領(lǐng)域[10,47-48]。

早在1963年和1964年，Sykes和Essam就推導(dǎo)出平面中三角形網(wǎng)格上的節(jié)點滲流對應(yīng)的臨界概率pc為0.5。平面中，三角形網(wǎng)格、簡單的二次網(wǎng)格與蜂窩狀網(wǎng)格上邊滲流對應(yīng)的臨界概率pc則分別為2sin(π/18)、0.5、1-2sin(π/18)[49-50]。1979年Wu曾猜想，棋盤形網(wǎng)格上非均勻滲流的臨界流形 (侵占概率的臨界面) 應(yīng)該滿足

其中，C(p,r,s,t)=1-pr-ps-pt-rs-rt-st+prs+prt+pst+rst，p、r、s、t分別是每個正方形格子4條邊上的侵占概率[51]。1980年美國康奈爾大學(xué)的Kesten教授證明正方形網(wǎng)格上邊滲流的臨界概率等于0.5[47]。隨后，1984年Wierman通過星三角變換，確定紐結(jié)型網(wǎng)格上均勻邊滲流的臨界概率應(yīng)滿足[48]

值得注意的是，2001年俄羅斯著名數(shù)學(xué)家Smirnov證明了平面中三角形網(wǎng)格上節(jié)點滲流的Cardy公式，并由此導(dǎo)出滲流的共形不變性和尺度極限[6]。Smirnov的理論完善了平面中三角網(wǎng)格上滲流，并且和著名的Schramm-Loewner演化密切相關(guān)[9]。Smirnov的杰出工作使他獲得了2010年的菲爾茲獎。到2006年Ziff證明所有能分解為某種三角形排列的網(wǎng)格(稱為自對偶)可通過星三角變換得到其精確滲流閾值。此后，2012年Ziff 等又給出紐結(jié)形網(wǎng)格上的五階滲流的臨界滲流面(臨界滲流流形)：

其中B(p,r,s,t,u) =C(p,r,s,t)-u(1-pr-st+prst)，并證明了Wu在1979年的猜想。2013年，Grimmett利用星三角變換將Kesten在1980年的結(jié)果從正方形網(wǎng)格上的邊滲流擴展到三角形和六邊形網(wǎng)格上，證明這些滲流問題在臨界點(臨界面) 上具有盒子交叉性 (RSW理論)，為證明這些過程的普遍性和共形不變性邁出了重要的一步，并為非齊次系統(tǒng)臨界點提供了新的證明思路。表2列出了常見網(wǎng)格上均勻節(jié)點滲流和邊滲流對應(yīng)的臨界侵占概率。

對于非均勻滲流，到目前為止，除了Wierman在1984年與Ziff在2012年給出的紐結(jié)網(wǎng)格上的四階和五階滲流的臨界面以外，就只有平面中正方形網(wǎng)格上的二階邊滲流，以及三角形網(wǎng)格與六邊形網(wǎng)格上的三階邊滲流的臨界面，它們的形式如下[52]：

這里三角形網(wǎng)格與六邊形網(wǎng)格具有對偶關(guān)系[10]，因此它們邊滲流的臨界概率之間也有對偶關(guān)系。事實上，平面中一般網(wǎng)格上的邊滲流與其對偶網(wǎng)格上的邊滲流的臨界點 (或臨界面) 之間有如下關(guān)系：故，

經(jīng)過50年左右的研究，滲流理論已經(jīng)獲得了豐富的研究成果，但仍有許多開放性的問題沒有解決。 到目前為止，即便是經(jīng)典的正方形網(wǎng)格、蜂窩狀網(wǎng)格、六邊形網(wǎng)格和三維立方體網(wǎng)格上均勻節(jié)點滲流問題的臨界概率，Kagomé網(wǎng)格和立方體網(wǎng)格上均勻邊滲流問題的臨界概率，仍沒有精確的結(jié)果。部分結(jié)論只能建立在數(shù)值模擬和近似算法的基礎(chǔ)上，有待進一步的研究。

表2 各類常見網(wǎng)格上的均勻節(jié)點滲流與均勻邊滲流對應(yīng)的臨界侵占概率

滲流理論具有廣闊的應(yīng)用前景，但理論推導(dǎo)的復(fù)雜導(dǎo)致了研究的困難。到目前為止，只有少數(shù)結(jié)果能通過解析方法獲得，是因為網(wǎng)格結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了滲流團簇拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)雜多樣性。即便是經(jīng)典的均勻滲流，至今也只有一維網(wǎng)格和Bethe網(wǎng)格[53]上獲得了精確的解析表達式。均勻滲流忽略了節(jié)點(或連邊)滲流過程中的異質(zhì)性，對所有節(jié)點賦予相同的打開(或失效，侵占)概率，因此常常具有較好的齊次性，這使得理論推導(dǎo)要簡單很多。更多的網(wǎng)格，如簡單的正方形網(wǎng)格、三角形網(wǎng)格、六邊形網(wǎng)格、立方體網(wǎng)格、超立方體網(wǎng)格等，這些網(wǎng)格上的滲流問題常常只能依賴于數(shù)值模擬或啟發(fā)式方法來獲取近似結(jié)果。此外，運算的復(fù)雜性也導(dǎo)致現(xiàn)有的研究多數(shù)集中于均勻滲流。均勻滲流盡管簡化了運算，但是忽略了滲流過程中的異質(zhì)性，與實際有一定差距。事實上，由于網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，或者規(guī)則網(wǎng)格中節(jié)點 (或連邊) 屬性的不同，應(yīng)當在滲流中賦予節(jié)點不同的侵占概率，這樣的滲流稱為非均勻滲流。非均勻滲流貼合實際，但缺乏齊次性，較難求解，因此相關(guān)研究屈指可數(shù)。盡管如此，在研究者的不懈努力下，非均勻滲流已經(jīng)取得了一些研究成果。1982年，Kesten研究了簡單正方形網(wǎng)格上的二階非均勻邊滲流，獲得臨界侵占概率的表達式[52]。 隨后，1994年Zhang等研究發(fā)現(xiàn)，對于正方形網(wǎng)格上的二階非均勻邊滲流，如果讓有一個定點在x軸上的邊以小于1的概率被侵占，那么臨界面上不會發(fā)生滲透現(xiàn)象[54]。到2013年，Grimmett利用RSW理論將Kesten 1982年的結(jié)果擴展到了三角形和六邊形網(wǎng)格上的三階[55]。2016年和2017年，Ren和Zhang等分別研究了經(jīng)典Bethe網(wǎng)格與帶節(jié)點隨機分布的不規(guī)則Bethe網(wǎng)格上的非均勻節(jié)點滲流[7,56]。

作為應(yīng)用廣泛的一種數(shù)學(xué)理論，過去的50年中，滲流理論為物理[4,57-59]、 材料科學(xué)[26,60-65]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[22,28,42,66-69]、疾病傳播[33-34,70-74]、信息傳播[32,75]、化學(xué)[1-3]等領(lǐng)域中的眾多問題提供了新的思想方法。

1969年，Holcomb等利用滲流理論分析了摻雜半導(dǎo)體在導(dǎo)電性變化過程中的詳細特征[61]。1994年Berg與Steif將滲流用于氣體分析，建立了硬核網(wǎng)格上的氣體模型[76]。2009年Ward等利用滲流理論研究了電子相分離的錳氧化物上彈性驅(qū)動的各向異性[75]。 2011年Nagler基于滲流理論，研究了單一鏈在競爭中的影響[77]。2012年Baxter等利用滲流理論研究了相互依賴網(wǎng)絡(luò)的突然崩塌[66]。2015年Chen等利用滲流理論分析了金屬玻璃微觀結(jié)構(gòu)中的短程有序性與長程無序性，認為液體相原子的滲流導(dǎo)致了非晶特殊的微觀結(jié)構(gòu)。該結(jié)論發(fā)表在《Science》上并引起廣泛關(guān)注[60]。2016年Lemoult等利用定向滲流理論研究Couette流中持續(xù)動蕩的轉(zhuǎn)變[78]。2017年，基于滲流理論，Radicchi和Bianconi研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)健性，發(fā)現(xiàn)不同網(wǎng)絡(luò)層之間的依賴關(guān)系能夠加強網(wǎng)絡(luò)整體的穩(wěn)健性[68]。在目前這種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普遍存在并與我們生活休戚相關(guān)的大環(huán)境下，Radicchi的研究結(jié)果有助于提高復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)運行過程的可靠性，從而減少災(zāi)害發(fā)生時造成的影響。同年，Sopu等將滲流用于非晶合金剪切帶成核過程原子水平變化的分析，認為控制非晶態(tài)金屬塑性變形能力的是剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的滲流能力[65]。總而言之，滲流理論在實際中的應(yīng)用總是能帶給我們希望和驚喜。

滲流理論作為多學(xué)科交叉領(lǐng)域具有重要的理論和應(yīng)用研究價值，但滲流團簇結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和解析推理的困難導(dǎo)致現(xiàn)有的研究多依賴數(shù)值模擬，且主要集中于均勻滲流，而實際中網(wǎng)格常常展示出隨機或混合隨機性。 比如，材料科學(xué)家通過X射線衍射發(fā)現(xiàn)無序結(jié)構(gòu)材料非晶合金的微觀結(jié)構(gòu)展示出短(中)程有序而長程無序[16,47,79]，這使得它的結(jié)構(gòu)形成了一種混合隨機網(wǎng)絡(luò)；再比如，微信、QQ、推特等社交網(wǎng)絡(luò)的用戶隨時會登陸或退出系統(tǒng)，也會隨時添加或刪除好友，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的隨機性或混合隨機性。此外，宿主具有遷移特征的疾病傳播網(wǎng)絡(luò)，隨著宿主遷移范圍和方式的不同也會表現(xiàn)出隨機或混合隨機性。根據(jù)作者的工作和理解，認為下面的幾個問題值得進一步考慮。

對滲流理論的研究可以考慮：①建立隨機和混合隨機網(wǎng)格上的非均勻滲流模型，并通過解析方法求解分析模型。事實上，盡管對于滲流問題解析結(jié)果很難獲得，然而具有樹狀結(jié)構(gòu)的Bethe 網(wǎng)格，它特殊的結(jié)構(gòu)使得滲流問題可以通過解析方法求解。②建立隨機和混合隨機Bethe網(wǎng)格上的非均勻滲流模型，并通過解析方法求解分析模型。③研究滲流過程的演化與離散時間動力系統(tǒng)的關(guān)系，將離散動力系統(tǒng)的研究成果引入到滲流的分析。

相關(guān)的應(yīng)用可以研究：①將非均勻滲流理論引入無序結(jié)構(gòu)材料——非晶合金與高熵合金的研究中，建立與材料微觀結(jié)構(gòu)相吻合的隨機或混合隨機非均勻網(wǎng)格上的非均勻滲流模型，模擬材料的微觀結(jié)構(gòu)；②利用隨機和混合隨機Bethe網(wǎng)格上的非均勻滲流理論，分析非晶合金的動力學(xué)行為和塑性流變行為；③利用隨機和混合隨機網(wǎng)格上的非均勻滲流，分析社交網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播或宿主帶有遷移特征的疾病傳播網(wǎng)絡(luò)上的傳染病傳播。當然，其他還有很多重要的理論和應(yīng)用問題有待進一步考慮。