余中華

若題設(shè)中有某邊的中點或中線，可將中線延長一倍，連得全等三角形；或過中點作該邊的垂線，與另一邊相交，利用垂直平分線的性質(zhì)。過三角形一邊的兩端，分別向該邊的中線（或中線的延長線）作垂線，可得全等的直角三角形以及更多條件。

若題設(shè)中有角平分線，可考慮：

（1）過平分線上任一點向角的兩邊作垂線，構(gòu)造兩個全等的直角三角形。

（2）過平分線上任一點作角的一邊的平行線，與另一邊相交，得等腰三角形。

（3）過此角對邊的兩端，分別向角平分線作垂線，或作角平分線的平行線，均可創(chuàng)造更多條件。

一、截長補短證“a+b=c”型結(jié)論

欲證兩條線段的和或差等于第三條線段，可用“截長補短”法，即“大量截余，小量補齊”，構(gòu)造全等三角形，再進行等量代換。

例1 如圖1，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD。求證：BC=AB+CD。

圖1

【解析】證明“BC=AB+CD”有兩種思路。思路一：（截長法）將BC分成兩部分，一部分等于AB，一部分等于CD。思路二：（補短法）將AB或CD補長，使這條線段等于AB+CD，然后證明這條線段等于BC。

證明：（截長法）如圖1，在BC上取一點F，使得BF=AB，連接EF。

∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2。

∴△ABE≌△FBE（SAS），

∴∠A=∠5。

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°。

∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D。

∵CE平分∠BCD，

∴∠3=∠4。

∴△CED≌△CEF（AAS），

∴FC=CD。

∵BC=BF+FC，

∴BC=AB+CD。

（補短法）如圖2，延長BA，交CE的延長線于點F。

圖2

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，∠4=∠F。∵BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2。

∵CE平分∠BCD，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠F。

在△BEF和△BEC中：

∴△BEF≌△BEC（AAS），

∴BF=BC，EF=EC。

在△DEC和△AEF中：

∴△AEF≌△DEC（ASA），

∴AF=CD，∴BC=AB+CD。

【點評】“截長補短”法適合解決形如“a=b+c”型題目。本題也可延長BE，使之交CD延長線于點F，從而達到“補短”的目的。

二、與中點有關(guān)的輔助線添加技巧

1.倍長中線。

例2 如圖3，已知△ABC中，AD是中線，AE是△ABD的中線，BA=BD。求證：AC=2AE。

圖3

【解析】本題要證明AC=2AE，可將中線AE加倍延長，得到線段AF，將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明AF=AC，最后利用“SAS”證明△ADF≌△ADC即可。

證明：延長AE到點F，使得EF=AE，連接DF。

∵AE是△ABD的中線，

∴BE=DE，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴DF=AB，∠FDE=∠B。

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=DC。

∵BA=BD，

∴DF=DC，∠BAD=∠BDA。

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∠ADF=∠BDA+∠FDE，

∴∠ADC=∠ADF，

∴△ADF≌△ADC，∴AF=AC。

∵AF=2AE，∴AC=2AE。

【點評】本題也可以連接BF，先證明△ADE≌△FBE，然后證明△FBA≌△ADC。本題將AE加倍延長的好處：如果連接DF，則可得△ABE≌△FDE；如果連接BF，則可證明△ADE≌△FBE。由全等三角形我們能得出一些相等的線段和相等的角，從而為問題的最終解決創(chuàng)造條件。

2.如果沒有中線，可以構(gòu)造中線，然后加倍延長。

例3 （1）如圖4，△ABC中，BD=CD，∠1=∠2，求證：AB=AC。

（2）如圖5，BD=CD，∠1=∠2，此時EB=AC成立嗎？請說明你的理由。

圖4

圖5

【解析】（1）△ABD和△ACD雖然有公共邊AD，有∠1=∠2，還有BD=CD，但這3個條件并不能證明兩個三角形全等，所以可以考慮“倍長中線”解決問題。（2）如圖6，延長ED至M，使得DM=DE，連接CM。或者如圖7，延長AD至P，使DP=AD，連接BP。

圖6

圖7

證明：（1）（方法一，利用角平分線的性質(zhì)）過點D作 DG⊥AB于G，DH⊥AC于 H，由角平分線定理可得DG=DH，再由“HL”證得△BDG≌△CDH，得∠B=∠C，∴AB=AC。

（方法二，利用倍長中線）延長AD至E，使DE=AD，連接BE或CE均可，用“SAS”證三角形全等。

證得AC=BE，∠2=∠E。

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，

∴AB=BE，∴AB=AC。

（2）（方法一）如圖6，將ED看作△EBC的中線，延長ED至M，連接CM。

易證△BDE≌△CDM。

∴BE=CM，∠1=∠M，

由于∠1=∠2，

∴∠2=∠M，∴CM=AC，∴EB=AC。

（方法二）如圖7，將AD看作△ABC的中線，延長AD至P，使DP=AD，連接BP。

易證△ACD≌△PBD。

∴AC=BP，∠2=∠P，由于∠1=∠2，

∴∠1=∠P，∴BE=BP，∴EB=AC。

【點評】圖5中雖然沒有三角形的中線，但由于點D是BC的中點，ED可看作△BCE的中線，AD可看作△ABC的中線，因此我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^“倍長中線”的辦法來構(gòu)造全等三角形。

3.中點+平行=全等三角形。

例4 如圖8，△ABC中，AB=AC，E為AB上一點，F(xiàn)為AC延長線上一點，且BE=CF，EF交BC于D，求證：DE=DF。

圖8

【解析】若證DE=DF，則聯(lián)想到D是EF的中點，中點的兩旁容易構(gòu)造全等三角形。方法是過兩端點E或F作平行線，構(gòu)造基本圖形“X型”，只需證兩個三角形全等即可。

證明：作EG∥AC交BC于G。

∴∠1=∠ACB，∠2=∠F。

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。

∴∠1=∠B，∴BE=GE。

∵BE=CF，∴GE=CF。

在△EDG和△FDC中：

∴△EDG≌△FDC?！郉E=DF。

【點評】本題作輔助線的方法有多種，都是由中點構(gòu)造基本圖形“X型”來解決問題的。如圖9所示，過F點作FH∥AB，交BC的延長線于H，得到△BDE≌△HDF；或如圖10，分別過E、F兩點，作BC的垂線，垂足分別為M、N，得到Rt△DEM≌Rt△DFN。

圖9

圖10

三、截去一部分，或者補上一部分，構(gòu)造全等三角形

圖11

【解析】要證明BE=CD，一般考慮證明兩個三角形全等，而△DCF和△EBF顯然不全等。然而由∠DBC=∠ECB，可得FB=FC，還有對頂角∠BFE=∠CFG，這里具備一些全等三角形的要素，可考慮將大三角形△CDF截去一角，構(gòu)造一個與△BEF全等的三角形。

證明：在FD上取FG=EF，設(shè)∠DBC=∠ECB=x°，∠FBE=y°，

則∠A=2x°，∠EFB=∠GFC=∠DBC+∠ECB=2x°。

在△BFE和△CFG中：

∴△BFE≌△CFG（SAS）。

∴BE=CG，∠FCG=∠FBE=y°。

∵∠GDC=∠A+∠ABD=（2x+y）°，∠DGC=∠GFC+∠FCG=（2x+y）°。

∴∠GDC=∠DGC。

∴CG=CD，

∴BE=CD。

【點評】本題較難，難在輔助線的作法上，考慮輔助線作法時，需要從對稱的角度來構(gòu)造全等三角形。本題也可以把小三角形△BEF補上一塊，構(gòu)造一個與△FCD全等的三角形，即延長FE到點P，使得FP=FD，則可以證明△BFP≌△CFD。