范永青, 劉 淳, 王敏娟

(西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院, 陜西 西安 710121)

近十幾年來，驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)同步控制得到了國內(nèi)外諸多學(xué)者們的關(guān)注，并取得了一系列重要的進展[1-2]。關(guān)于驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)同步的各種方法為解決實際問題提供了多種形式的應(yīng)用，例如，對一類混沌系統(tǒng)的控制問題給出一種離散時間滑模控制方法[3]。對于帶有時滯的Lur’e混沌系統(tǒng)的驅(qū)動響應(yīng)同步控制問題，文獻[4]基于線性矩陣不等式，提出一種采樣數(shù)據(jù)控制器設(shè)計方法。文獻[5]設(shè)計了量化采樣控制器來保證驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)，從而實現(xiàn)全局指數(shù)漸進同步的方法。針對一類不確定驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步問題，文獻[6]給出了一種自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計方案。除此之外，還有其它多種形式的控制器設(shè)計方法[7-9]。盡管上述控制方法在解決驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步問題中體現(xiàn)出了各自的特色與優(yōu)點，但從控制器設(shè)計成本來看，狀態(tài)反饋控制器具有設(shè)計簡單、易于實現(xiàn)的優(yōu)點[10]。因此，在實際應(yīng)用中，狀態(tài)反饋控制器一直受到了研究者的青睞。狀態(tài)反饋控制器需要知道系統(tǒng)的全部信息，通常情況下，當(dāng)被控系統(tǒng)中含有不確定項或者經(jīng)常處于變化之中，而無法完全預(yù)先確定的情況，使得狀態(tài)反饋控制在一定程度上受到限制。如何設(shè)計一個滿意的控制器，使其能主動適應(yīng)這些系統(tǒng)中未知或變化的特性情況，因此，根據(jù)系統(tǒng)中不確定項的信息來設(shè)計自適應(yīng)控制是解決此類問題的關(guān)鍵[11]。

目前，自適應(yīng)控制方法已經(jīng)成為現(xiàn)代控制理論中的一個相當(dāng)重要的一個分支，且發(fā)展最為迅速。自適應(yīng)控制技術(shù)與其他多種控制方法的結(jié)合，為被控系統(tǒng)本身所具有的復(fù)雜性提供了有效的解決方法[11]。如模糊自適應(yīng)控制[12]、自適應(yīng)滑?？刂芠13]、自適應(yīng)量化控制[14]等等。因此，針對不同被控對象本身特性，選擇合適的自適應(yīng)控制設(shè)計方案是值得探索的一個重要問題。

針對系統(tǒng)中的不確定項在滿足Lipschitz條件的情況下，本文擬給出一種基于Lipschitz常數(shù)自適應(yīng)反饋設(shè)計方法。該方法根據(jù)系統(tǒng)中不確定項的擾動邊界信息，考慮系統(tǒng)的自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器，利用線性矩陣不等式設(shè)計狀態(tài)反饋控制增益，并通過仿真例子進一步說明控制器的有效性。該方法與一般的純反饋方法相比，不需要完全知道不確定項的所有信息，且設(shè)計方法簡單，易于實現(xiàn)。

在本文中，對于對稱矩陣X、Y，記號X>Y表示矩陣X-Y為正定矩陣。為簡便表述，用符號“*”表示對稱矩陣的轉(zhuǎn)置，例如

1 問題描述與預(yù)備知識

考慮混沌驅(qū)動系統(tǒng)

x′(t)=A1x(t)+A2(x(t)),

(1)

其中，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)向量，矩陣A1,A2∈Rn×n為已知常數(shù)矩陣，非線性函數(shù)f(x(t))是滿足Lipschitz條件的一個時變向量函數(shù)。

設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)為

y′(t)=(A1+ΔA1(r))y(t)+A2f(y(t))+
(B+ΔB(s))u(t)+Dw(q)，

(2)

式中y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(t)∈Rm×n為控制輸入，常數(shù)矩陣B∈Rn×m，D∈Rn×m矩陣ΔA1(·)，ΔB1(·)為不確定矩陣并滿足不確定條件，向量函數(shù)w(q)∈Rn代表外界擾動。不確定參數(shù)(r,s,q)∈Ξ是Lebesgue可測的，其中Ξ代表緊致有界集。

若定義混沌同步誤差為

e(t)=x(t)-y(t)，

則由式(1)和(2)可知，誤差系統(tǒng)的動態(tài)形式為

e′(t)=A1e(t)+ΔA1(r)x(t)+
A2[f(y(t))-f(x(t))]+
(B+ΔB(s))u(t)+DW(q)。

(3)

假設(shè)1存在適當(dāng)維數(shù)的連續(xù)有界矩陣N1(·)，N2(·)和M(·)，使得不確定矩陣滿足如下關(guān)系

ΔA1(r)=BN1(r),
ΔB(s)=BN2(s),
W(q)=BM(q)，

(4)

其中，擾動項滿足如下有界條件

(5)

假設(shè)2向量函數(shù)f(·)滿足Lipschitz條件，即存在一個Lipschitz常數(shù)ε，對所有的x(t)∈Rn和y(t)∈Rn，滿足條件

‖f(y(t))-f(x(t))‖≤ε‖y(t)-x(t)‖。

(6)

式中‖·‖表示歐氏范數(shù)。式(6)等價于不等式

[f(y(t))-f(x(t))]T[f(y(t))-f(x(t))]≤
ε2[y(t)-x(t)]T[y(t)-x(t)。

(7)

1)S<0;

是等價[15]的。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計

設(shè)計自適應(yīng)控制器的形式為

u(t)=Kαe(t)+uν,

(8)

其中

而

K為待設(shè)計的控制增益矩陣，矩陣P由下述定理1中求出正定矩陣，λmin(N2(s))表示矩陣N2(s)的極小值特征值，參數(shù)α的自適應(yīng)律為

(9)

定理1如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，則存在對稱矩陣X>0，Q>0是正定矩陣和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，使得下面線性矩陣不等式成立

(10)

則在自適應(yīng)控制器式(8)的控制作用下，混沌同步誤差系統(tǒng)(3)可以實現(xiàn)同步。其中控制增益矩陣K=YX-1,P=X-1,ε和δ是給定的正常數(shù)。

下面將給出定理1的證明過程。選取Lyapounov函數(shù)為

(11)

在誤差系統(tǒng)式(3)約束條件下，式(11)時間導(dǎo)數(shù)為

(12)

由控制器(9)可知，下列不等式成立。即

(13)

由(13)和控制器(8)和(9)可知，不等式(12)等價于

(14)

則由假設(shè)2知，可得不等式

(15)

V′(t)≤ξT(t)Φξ(t)<0。

(16)

由(16)知，誤差系統(tǒng)(3)是漸進穩(wěn)定的，即滿足

由Schur補引理1可知，式(16)等價于

(17)

在式(17)兩邊同時左乘以diag [P-1,I,I]和右乘以diag [P-1,I,I]，并令P-1=X，KX=Y，線性矩陣不等式(10)成立，定理1證畢。

3 仿真算例

為了說明本文所設(shè)計的控制器，考慮如下驅(qū)動Chua’s 混沌系統(tǒng)

(18)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(19)

其中，f(x)=bx(t)+0.5(a-b)(|x(t)+1|-|x(t)-1|)，系統(tǒng)中的參數(shù)為

a=-1.28,b=-0.69,

不確定項

不確定參數(shù)分別滿足

|r|≤0.3, |s|≤0.5, |q|≤0.2。

由(19)可知，

N1(s)=[s2s3s],N2(s)=s,M(q)=q。

不確定參數(shù)選取為

r=0.3sin(t-1),
s=0.5cos(2t),
q=0.2cos(3t),

則它們的上界分別為

ρr=0.3,ρs=0.5,ρq=0.2。

驅(qū)動系統(tǒng)(17)的初始狀態(tài)選為

x(0)=[0.8 0.1 0.1]T,

響應(yīng)系統(tǒng)(19)的初值狀態(tài)值為

y(0)=[0.9 -0.1 -0.3]T。

當(dāng)不考慮控制的作用時，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差時間響應(yīng)曲線如圖1所示?？梢?，同步始終存在誤差。

圖1 無控制作用下的同步誤差時間響應(yīng)

采用本文中設(shè)計的自適應(yīng)控制器(8)，使得驅(qū)動系統(tǒng)(18)和響應(yīng)系統(tǒng)(19)達到同步，控制器中的參數(shù)為δ=0.0002，Lipschitz常數(shù)ε=0.05，通過解定理1線性矩陣不等式(10)，得控制器增益矩陣

K=[4.0938 -43.6116 -5.3866],

正定矩陣

參數(shù)自適應(yīng)律(9)的初始值為α(0)=0.03，相應(yīng)的仿真誤差曲線結(jié)果如圖2所示，控制器中的自適應(yīng)參數(shù)時間響應(yīng)如圖3。

圖2 控制器作用下的同步誤差時間響應(yīng)

圖3 控制器中的參數(shù)(9)時間響應(yīng)

從仿真結(jié)果圖2和圖3可以看出，在自適應(yīng)控制器(8)、(9)的控制作用下，驅(qū)動系統(tǒng)(18)和響應(yīng)系統(tǒng)(19)可以在1秒內(nèi)實現(xiàn)同步目的。

4 結(jié)語

針對在Lipschitz非線性條件下的一類不確定混沌系統(tǒng)的驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)同步問題，提出了一種利用LMI自適應(yīng)控制方法。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論分析，使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的實現(xiàn)漸近同步。從仿真結(jié)果表明，本文方法所設(shè)計的控制器是有效可行的。