預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁加固巖質(zhì)邊坡計(jì)算方法研究

侯俊偉,吳曙光

(1. 中煤科工集團(tuán)重慶設(shè)計(jì)研究院有限公司，重慶 400042; 2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400045)

0 引 言

依據(jù)現(xiàn)行規(guī)范，預(yù)應(yīng)力錨桿框格體系一般按靜力學(xué)原理進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算。當(dāng)錨固點(diǎn)變形較小時(shí)，鋼筋混凝土格構(gòu)式錨桿擋墻可簡(jiǎn)化為支撐在錨固點(diǎn)上的井字梁進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算；當(dāng)錨固點(diǎn)變形較大時(shí)，應(yīng)考慮變形對(duì)格構(gòu)式擋墻內(nèi)力的影響。預(yù)應(yīng)力錨桿格構(gòu)體系雖己廣泛應(yīng)用在邊坡支護(hù)工程中，但國家標(biāo)準(zhǔn)或行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)規(guī)范中尚未對(duì)其設(shè)計(jì)原則、計(jì)算模型和方法等做出具體規(guī)定。因此，對(duì)于預(yù)應(yīng)力錨桿框格體系中鋼筋混凝土框格梁，一般按梁底受均布荷載的狀況進(jìn)行計(jì)算和設(shè)計(jì)，這與框格梁的實(shí)際受力情況并不一致，特別是在錨桿框格體系應(yīng)用于巖質(zhì)邊坡加固的情況下。與土質(zhì)邊坡不同，在巖質(zhì)邊坡上的框格梁反力分布很不均勻，其反力呈錨桿結(jié)點(diǎn)下集中的趨勢(shì)，巖體質(zhì)量越好，框格梁相對(duì)柔性越大，這種集中趨勢(shì)就越顯著(圖1)。按照實(shí)際反力計(jì)算結(jié)果框格梁內(nèi)力較小，可大幅節(jié)約材料。

圖1 預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁梁底反力分布

目前對(duì)巖質(zhì)邊坡錨桿框格體系中框格梁的計(jì)算研究還不完全成熟或?qū)嵱?。郭繼武[1]采用普通連續(xù)梁法和調(diào)整倒置梁法計(jì)算地基梁的內(nèi)力和位移。倒置梁法是將框格梁坡面反力視為作用在梁上的線性荷載，把預(yù)應(yīng)力錨桿作用點(diǎn)看作支座，將框架作為倒置的交叉框格體系進(jìn)行計(jì)算；梁瑤等[2]將框格梁錨索體系劃分為張拉階段和工作階段，提出利用滑坡推力確定作用在框架梁上的反力，用倒置梁法反推錨索拉力從而計(jì)算出梁的內(nèi)力；白雪峰[3]提出預(yù)應(yīng)力錨桿與砼框格梁作為相互關(guān)聯(lián)的整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算方法，進(jìn)而優(yōu)化應(yīng)用于邊坡加固設(shè)計(jì)中的預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁；韓冬冬等[4]通過 1∶2 比例尺的大型物理模型試驗(yàn)，分析研究了預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁的基底反力分布規(guī)律；周志剛[5]通過雙參數(shù)彈性地基梁初參數(shù)法的推導(dǎo)，確定了框格梁上錨桿間距的合理范圍，并運(yùn)用彈性理論分析了預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁加固邊坡的受力機(jī)理，得到了坡體內(nèi)附加應(yīng)力及位移的分布規(guī)律。目前針對(duì)巖質(zhì)邊坡的預(yù)應(yīng)力錨桿格構(gòu)梁計(jì)算方法研究相對(duì)較少，部分計(jì)算理論過于繁瑣。因此，應(yīng)加強(qiáng)預(yù)應(yīng)力錨桿框格支擋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算理論及傳力機(jī)理的研究。

1 基于錨桿框格支擋結(jié)構(gòu)與邊坡巖體相互作用的優(yōu)化設(shè)計(jì)思路

在巖質(zhì)邊坡情況下，由于錨桿的拉力作用，框格梁對(duì)邊坡坡面巖體產(chǎn)生壓力作用；同樣，當(dāng)邊坡坡面巖體發(fā)生下滑或有下滑趨勢(shì)時(shí)，坡面巖體下滑將對(duì)緊貼其上的框格梁產(chǎn)生反力作用。因此，在這一過程中，應(yīng)該將框格梁、錨桿和邊坡巖體這三者視為一個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行整體分析。如果直接對(duì)這三者進(jìn)行建模分析，可運(yùn)用數(shù)值模擬技術(shù)來實(shí)現(xiàn)，但建模過程極其復(fù)雜，最后的分析工作量也相當(dāng)大。

在實(shí)際計(jì)算及設(shè)計(jì)過程中，從實(shí)用性的角度出發(fā)，可將錨桿框格體系和邊坡巖體這一系統(tǒng)進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化，具體計(jì)算過程如下：

1)分析邊坡穩(wěn)定性，根據(jù)邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)計(jì)算錨桿支護(hù)力。

2)進(jìn)行錨桿設(shè)計(jì)。

3)將框格梁視為支撐在錨固點(diǎn)上的井字梁進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算及配筋設(shè)計(jì)。在進(jìn)行框格梁梁底反力和內(nèi)力計(jì)算時(shí)，考慮框格梁與邊坡巖體的相互作用。

2 文克爾地基模型的應(yīng)用

對(duì)于巖質(zhì)邊坡采用錨桿框格梁進(jìn)行支護(hù)。由于邊坡巖體強(qiáng)度較高，框格梁的剛度相對(duì)于地基較小，跨越作用很弱。這樣錨桿結(jié)點(diǎn)荷載通過框格梁傳到坡面時(shí)，不可能向兩邊大量擴(kuò)散，就像直接作用在地基上一樣。當(dāng)框格梁細(xì)長(zhǎng)而邊坡巖體強(qiáng)度很高時(shí)，框格梁的撓度和梁底反力只在錨桿結(jié)點(diǎn)附近的局部范圍內(nèi)比較顯著，在較遠(yuǎn)處就迅速衰減而趨于零。這種只在作用點(diǎn)局部范圍內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力和變形的特點(diǎn)正符合文克爾地基模型所描述的特征。因此，運(yùn)用文克爾地基模型對(duì)巖質(zhì)邊坡上框格梁的內(nèi)力計(jì)算進(jìn)行分析是合適的。

文克爾地基模型是假設(shè)地基表面任一點(diǎn)單位面積內(nèi)所受的壓應(yīng)力p(x,y)與相應(yīng)的地基豎向位移ω成正比關(guān)系，亦即

p(x,y)=k·ω

(1)

式中：p(x,y)為基底反力，kPa；ω為地基豎向位移，m；k為基床系數(shù)，kN/m3。

根據(jù)文克爾假定，可推知框格梁的撓曲微分方程為

(2)

式中：E為框格梁的彈性模量，kPa；I為框格梁的慣性矩，m4；b為框格梁的寬度，m；q為框格梁上荷載，kN/m。

引入梁的柔度指數(shù)λ(單位：1/m)：

(3)

則：框格梁的通解為

ω=eλx(c1cosλx+c2sinλx)+e-λx(c3cosλx+c4sinλx)

(4)

式中：c1～c4為待定積分常數(shù)，可由荷載位置及邊界條件確定。

框格梁的柔度指數(shù)λ反映了框格梁相對(duì)于地基的柔性程度，λ值越大，則梁柔性越大?？紤]到荷載作用位置、相對(duì)剛度對(duì)計(jì)算位移和內(nèi)力的影響，可以根據(jù)梁的柔度指數(shù)λ和長(zhǎng)度l以及荷載距梁端的距離x，將梁劃分為：剛性梁(λl≤1)、有限長(zhǎng)梁(1<λl<2.75)、無限長(zhǎng)梁 (λl≥2.75)。在大多情況下，巖質(zhì)邊坡上框格梁屬于有限長(zhǎng)梁，筆者主要針對(duì)有限長(zhǎng)梁的簡(jiǎn)化計(jì)算方法進(jìn)行研究。

由于文克爾假定沒有考慮地基中剪應(yīng)力的影響，存在不能擴(kuò)散應(yīng)力和變形的缺陷，不過，鑒于其模型簡(jiǎn)單，較容易計(jì)算，故在工程設(shè)計(jì)中仍被廣泛采用。

3 巖石地基基床系數(shù)取值分析

用文克爾地基模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，框格梁的內(nèi)力計(jì)算跟基床系數(shù)k有很大關(guān)系，若k值取得過小，則內(nèi)力計(jì)算結(jié)果偏大，將導(dǎo)致成本增加；若k值取得偏大，則會(huì)降低設(shè)計(jì)的安全性。這就需要確定一個(gè)最優(yōu)的k值，使得設(shè)計(jì)本身既能保證足夠的安全程度，又能達(dá)到設(shè)計(jì)優(yōu)化的要求。

影響k值的因素很多，除了邊坡巖體本身的性質(zhì)以外，還有梁的大小和形狀、剛度等。目前，確定地基基床系數(shù)的方法主要有現(xiàn)場(chǎng)載荷板試驗(yàn)法、利用分層總和法按土的壓縮性指標(biāo)計(jì)算法、彈性半空間地基沉降模型反算法等。由于在土質(zhì)地基上進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)比較容易，因此積累的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值也很多。各種規(guī)范和規(guī)程中對(duì)水平方向基床系數(shù)的取值都按照土的不同類別建議了一些經(jīng)驗(yàn)的取值范圍，但這些范圍普遍偏大，有的甚至相差幾倍。由于在巖石地基上進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)很困難，因此資料相對(duì)較少，大多資料提供的k值僅分軟質(zhì)巖(200～1 000 MPa/m)和硬質(zhì)巖(1 000～15 000 MPa/m)兩種，由于數(shù)據(jù)分類過粗，不利設(shè)計(jì)人員選取使用。

對(duì)于筆者主要討論的重慶地區(qū)，常見巖層是泥巖和砂巖。通過研究發(fā)現(xiàn)，基床系數(shù)k與巖石單軸抗壓強(qiáng)度frk之間存在一定的關(guān)系，這為獲取基床系數(shù)找到了新的途徑。

巖石單軸受壓的破壞機(jī)制，雖然與地基的破壞機(jī)制有所不同，但巖石的單軸抗壓強(qiáng)度基本上能反映巖石的力學(xué)性質(zhì)，已被國內(nèi)外公認(rèn)為衡量巖石的質(zhì)量指標(biāo)。根據(jù)重慶巖基站在巖石地基上進(jìn)行的現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)結(jié)果和相應(yīng)的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果[6]，通過回歸分析，得到的基床系數(shù)k和巖石單軸抗壓強(qiáng)度frk的關(guān)系式

(5)

將式(5)繪制成曲線，與現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)得到的結(jié)果以及從國內(nèi)文獻(xiàn)資料中收集的k值進(jìn)行對(duì)比可知，用巖石單軸抗壓強(qiáng)度來換算k值是簡(jiǎn)單可行的。對(duì)于巖質(zhì)邊坡，應(yīng)采用水平方向基床系數(shù)kh，它可通過基床系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)折減得到，折減系數(shù)約0.8，從而近似得到巖質(zhì)邊坡水平基床系數(shù)和巖石單軸抗壓強(qiáng)度的關(guān)系式：

(6)

4 框格梁內(nèi)力簡(jiǎn)化計(jì)算方法

4.1 基本思路

彈性地基梁的計(jì)算較為繁雜，如果沒有計(jì)算機(jī)的幫助，按理論方法進(jìn)行手算工作量很大。可通過一定的簡(jiǎn)化處理，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算?？蚋窠Y(jié)點(diǎn)的錨桿荷載分配到縱、橫兩框格梁后，其內(nèi)力便可按單向連續(xù)梁的方法進(jìn)行計(jì)算。錨桿荷載按豎向變形協(xié)調(diào)分配時(shí)采用的地基模型，在按單向連續(xù)梁計(jì)算內(nèi)力時(shí)也宜采用同樣的模型[2]。

對(duì)于有限長(zhǎng)梁，框格梁的縱梁(x方向)和橫梁 (y方向)共同承擔(dān)錨桿錨固力，按地基上十字交叉梁與巖體的共同作用來計(jì)算。為簡(jiǎn)化計(jì)算，將框格梁簡(jiǎn)化為地基上正交交叉梁系，分別為兩個(gè)方向的地基上梁，一般不考慮結(jié)點(diǎn)上的扭轉(zhuǎn)變形協(xié)調(diào)，而只要求滿足結(jié)點(diǎn)的靜力平衡和變形協(xié)調(diào)條件，即假定框格梁在十字交叉結(jié)點(diǎn)處縱橫兩個(gè)方向?yàn)殂q接(上、下用鏈桿連接)，這就可認(rèn)為一個(gè)方向的梁在該方向的力矩作用下發(fā)生轉(zhuǎn)角，不可能引起另一方向梁的扭轉(zhuǎn)和扭矩。通過對(duì)交叉點(diǎn)處荷載進(jìn)行分配，然后分別按縱、橫兩個(gè)方向的地基梁來計(jì)算。

1966年，美國混凝土學(xué)會(huì)(ACI)436委員會(huì)對(duì)聯(lián)合基礎(chǔ)(承受2個(gè)柱荷載以上的基礎(chǔ))和片筏基礎(chǔ)推薦了一種簡(jiǎn)化計(jì)算法。筆者參照該法提出框格梁內(nèi)力的簡(jiǎn)化算法。

在文克爾地基模型的基礎(chǔ)上，假設(shè)框格梁底反力在錨桿結(jié)點(diǎn)下最大、跨中最小，在錨桿結(jié)點(diǎn)與跨中之間按直線分布，因此框格梁底反力成折線圖形(圖2)。根據(jù)集中荷載作用于無限長(zhǎng)梁的彈性地基梁解和取單跨的靜力平衡條件，可推導(dǎo)出框格梁底反力和框格梁內(nèi)彎距的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。

圖2 框格梁的梁底反力分布

4.2 總的原則和基本假設(shè)

1)跨度不少于3跨。

2)相鄰兩結(jié)點(diǎn)錨桿荷載的變化不大于20%。

3)相鄰兩結(jié)點(diǎn)間距的變化不大于20%，通常情況下錨桿按等間距設(shè)置。

5)在跨中到相鄰跨跨中之間，梁底反力的合力與梁上錨桿和與梁垂直方向分力大小相等、方向相反，并在同一條水平線上。

6)忽略梁自重對(duì)其內(nèi)力的影響。

4.3 框格梁底反力和框格梁內(nèi)力計(jì)算

4.3.1 中間錨桿結(jié)點(diǎn)處框格梁的彎矩

根據(jù)文克爾理論，對(duì)于一無限長(zhǎng)梁上受集中力作用的情況，梁內(nèi)彎矩可按式(7)計(jì)算[3]：

(7)

式中：M(x)為梁內(nèi)x位置處的彎矩，kN·m；N為梁上所受集中力，kN；F3為λx的函數(shù)計(jì)算式；其它符號(hào)同前。

如果有若干集中荷載作用在無限長(zhǎng)梁上，則梁上某截面的彎矩為各集中荷載對(duì)該截面的總和。圖3表示各中結(jié)點(diǎn)的彎矩和梁底反力分布。

研究證明，如果符合前面所述假設(shè)，在計(jì)算中間錨桿結(jié)點(diǎn)i截面處框格梁的彎矩時(shí)，式(7)中的三角函數(shù)F3(λx)可以近似地用一條直線代替，Mi(x)可近似地按式(8)計(jì)算：

(8)

式中：Ni為錨桿i提供的水平分力，kN；a為錨桿豎向間距，m。

圖3 中結(jié)點(diǎn)的彎矩和框格梁的梁底反力分布

4.3.2 中間錨桿結(jié)點(diǎn)處梁底反力

設(shè)錨桿i左、右兩跨的跨中梁底反力為pml和pmr，則平均跨中梁底反力為

(9)

從跨中到相鄰跨跨中取出一跨，根據(jù)基本假設(shè)5)，得：

(10)

則：

(11)

取出一跨作為脫離體，將錨桿結(jié)點(diǎn)處看成固定端，并將梁底反力作為荷載，如圖4。

圖4 計(jì)算簡(jiǎn)圖

(12)

式中：Mi為i截面的彎矩，kN·m，按式(8)計(jì)算。

將式(11)代入式(12)，得錨桿結(jié)點(diǎn)下基底反力pi的表達(dá)式：

(13)

在計(jì)算跨中基底反力時(shí)，取跨中到臨近跨中為一單元，由上述假設(shè)以及靜力平衡條件得

{Ni=12(pml+pi)·12ll+12(pmr+pi)·12lr

12(pml+pi)·2pml+pipml+pi·l2l12=12(pmr+pi)·

2pmr+pipmr+pi·l2r12

(16)

聯(lián)立求解式(16)得

根據(jù)美國混凝土學(xué)會(huì)(ACI)1966年對(duì)聯(lián)合基礎(chǔ)和片筏基礎(chǔ)推薦計(jì)算法結(jié)論[7]，跨中梁底反力為：

(14)

式中：pml、pmr分別為i結(jié)點(diǎn)左、右兩跨跨中的梁底反力，kN/m。

對(duì)于錨桿等間距布置的情況，由于ll=lr=l，則：

(15)

將式(13)代入式(15)，得

(16)

4.3.3 框格梁跨中彎矩

計(jì)算出結(jié)點(diǎn)處梁的彎矩以及梁底反力后，可將相鄰兩結(jié)點(diǎn)間的一段梁作為脫離體，按平衡條件計(jì)算跨中彎矩(圖5)：

(17)

(18)

式中：M0為對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)支梁時(shí)跨中彎矩。

圖5 框格梁跨中彎矩

4.3.4 邊結(jié)點(diǎn)處梁底彎矩及反力

框格梁外伸長(zhǎng)度較短時(shí)，可以假定外伸部分梁底反力呈均勻分布(圖6)，則框格梁邊節(jié)點(diǎn)集中力N1(單位：kN)按式(19)計(jì)算，反力線荷載p1(單位：kN/m)按式(20)計(jì)算：

(19)

(20)

邊結(jié)點(diǎn)處梁彎矩M1為

(21)

圖6 邊結(jié)點(diǎn)處彎矩、反力分布

5 算 例

某受外傾節(jié)理面控制的巖質(zhì)邊坡[8]，坡高12 m，設(shè)計(jì)放坡坡率為1∶1，采用預(yù)應(yīng)力錨索框格梁支護(hù)，框格梁縱、橫向間距均為4.0 m，懸臂段2.0 m，梁長(zhǎng)12.0 m。設(shè)計(jì)錨索為6束Φ15.2 mm鋼絞線，按照每孔錨索可承受T=900 kN的設(shè)計(jì)拉力，超張拉15%鎖定，水平夾角15°，橫梁和縱梁橫截面尺寸均為60 cm × 60 cm。邊坡巖石天然單軸抗壓強(qiáng)度值為10.0 MPa。

根據(jù)傳統(tǒng)倒梁法計(jì)算理論，基本假定：將坡面反力視為作用在框架上的荷載，把預(yù)應(yīng)力錨索作為鉸支座，將框格梁作為倒置的交叉梁格體系來進(jìn)行計(jì)算；假定坡面反力呈均勻直線分部，將橫梁和縱梁看成相互獨(dú)立的連續(xù)梁；忽略梁自重及側(cè)阻力影響。圖7為框格梁計(jì)算簡(jiǎn)圖。

按照簡(jiǎn)化文克爾地基梁法，在進(jìn)行框格梁梁底反力和內(nèi)力計(jì)算時(shí)，考慮框格梁與邊坡巖體的相互作用，框格梁底反力成折線分部，巖質(zhì)邊坡水平基床系數(shù)kh按照式(6)計(jì)算，kh=100 MPa/m。傳統(tǒng)倒梁法及簡(jiǎn)化彈性地基梁法計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 框格梁內(nèi)力計(jì)算結(jié)果

注：PC、PD分別為C、D點(diǎn)的梁底反力，kN/m。

由表1可以看出，與常規(guī)設(shè)計(jì)法相比，采用簡(jiǎn)化文克爾地基梁模型計(jì)算框格梁內(nèi)力，框格梁的中間錨桿結(jié)點(diǎn)處彎矩減小約35%，因此截面配筋設(shè)計(jì)等可得到明顯優(yōu)化[9]。

根據(jù)現(xiàn)行GB 50330—2013《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》對(duì)框格梁計(jì)算的要求，將預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁簡(jiǎn)化為單元梁，按支撐在錨固點(diǎn)上的井字梁進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算，一般未考慮邊坡與巖體相互作用影響。筆者提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，考慮了框格梁與邊坡巖體的相互作用，計(jì)算模型更加符合實(shí)際預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁受力機(jī)理。從算例對(duì)比看出，框格梁截面尺寸及配筋計(jì)算等得到優(yōu)化，該計(jì)算方法更加可靠經(jīng)濟(jì)。不過，簡(jiǎn)化計(jì)算方法有一定的適用條件，計(jì)算時(shí)應(yīng)滿足4.2的原則和基本假設(shè)。

6 結(jié) 論

1)地基基床系數(shù)可用巖石天然狀態(tài)下的單軸抗壓強(qiáng)度折算近似得到；對(duì)于巖質(zhì)邊坡，采用的水平方向基床系數(shù)，可通過豎向基床系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)折減得到。

2)根據(jù)框格梁剛度的不同，將框格梁分為剛性梁、有限長(zhǎng)梁、無限長(zhǎng)梁等，分別提出了不同類型框格梁內(nèi)力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。

3)提出了巖質(zhì)邊坡預(yù)應(yīng)力錨桿框格梁內(nèi)力簡(jiǎn)化計(jì)算方法，與常規(guī)設(shè)計(jì)法相比，框格梁的截面和配筋設(shè)計(jì)得到了優(yōu)化，計(jì)算方法合理實(shí)用。