波浪中過度加速度的非線性時域預報

卜淑霞，顧 民，魯 江，魏 澤

（中國船舶科學研究中心，江蘇省綠色船舶技術重點實驗室，江蘇 無錫214082）

0 引 言

目前，國際海事組織（IMO）正在制定包括過度加速度在內的船舶第二代完整穩(wěn)性衡準[1]。過度加速度是指船體橫向加速度過大的現(xiàn)象，過大的橫向加速度也就意味著較大的橫向慣性力矩，會導致貨物設備損害和人員傷害。一般來說，較大的初穩(wěn)性高對船舶穩(wěn)性是有利的，但初穩(wěn)性高過大又會導致加速度過大，從而對人員和貨物產生不利影響。采用過度加速度作為一種穩(wěn)性失效模式，可以對船舶的初穩(wěn)性高進行約束，從而使船舶的初穩(wěn)性高處于合理的范圍。

由于過度加速度造成了集裝箱船MV Pacific Adventurer[2]，Chicago Express[3]，Guayas[4]嚴重的甩箱和人員傷亡事故，且考慮到當初始GM 值較大時，即便中等幅度的橫搖運動也可能會產生橫向加速度過大的現(xiàn)象，造成貨物的損失或者人員傷亡。另外甲板貨物的損失，還會影響其它船舶的正常航行、污染環(huán)境等[5-6]。因此IMO 委員會將過度加速度也作為一種穩(wěn)性失效模式[7]。

已有的事故表明：過度加速度一般發(fā)生在壓載狀態(tài)下，此時較大的GM 值，以及由于波浪中失速造成的橫搖阻尼較小，會導致船體較高位置處的橫向加速度過大；在發(fā)生過度加速度現(xiàn)象時，事故船都產生了超過30°的橫搖幅值；由于過度的穩(wěn)性以及周期較短，導致最大的橫向加速度都超過了1.0 g；發(fā)生事故時船體速度都較低，據(jù)報道，當Chicago Express 以及Guayas 這兩起事故發(fā)生時，航行速度特別低，僅在2～4 kns 左右[2-4]。

從上述分析可以看出，在壓載或者接近壓載、低航速下較容易發(fā)生過度加速度，且會伴隨著較大的橫搖幅值。因此，本文研究中，選取了某集裝箱船的壓載狀態(tài)，以及橫浪、零航速的工況，此時容易發(fā)生共振橫搖，進而容易引起過度加速度。

由于過度加速度這一穩(wěn)性失效模式提出的時間較短，所以公開的研究成果較少。過度加速度的研究涉及到對大幅橫搖運動的準確預報以及對加速度衡準值的準確判斷，并且目前IMO 第二代完整穩(wěn)性衡準制定中，過度加速度的薄弱性衡準提案主要由中國、德國制定[8]。因此，目前急需建立一套合理、可行的直接評估方法。

本文研究目的在于針對過度加速度穩(wěn)性失效模式建立一套合理、完善的穩(wěn)性直接評估方法，并驗證目前中國和德國聯(lián)合提出的薄弱性衡準草案[9]的可行性。文中首先基于三維時域混合源法，對比分析了不同耦合方程在大幅橫搖運動求解中的適用性，在此基礎上，形成過度加速度的直接評估方法；其次，以4000TEU 集裝箱為對象，開展波浪中加速度的模型試驗，驗證文中采用方法的有效性；然后，采用直接評估方法評估了目前薄弱性衡準中橫向加速度簡化計算方法的可行性。

1 數(shù)學模型與計算方法

1.1 三維時域混合源法

本文采用三維時域混合源法進行過度加速度的直接數(shù)值預報，該三維時域混合源法在數(shù)值求解中引入了控制面SC，將流場分為內域I 和外域II。內域I 是由船體濕表面Sb、部分自由液面Sf1和控制面SC包圍的閉合區(qū)域，該區(qū)域內采用Rankine 源。外域II 由控制面、剩余自由液面Sf2和無窮邊界S∞組成，該計算域內采用時域Green 函數(shù)。該方法理論上可以保留Rankine 源易于計算、可以得到近場定常速度勢，以及Green 函數(shù)法僅需在物體表面進行離散，函數(shù)自動滿足線性自由表面和遠場輻射條件的優(yōu)點，消除了兩者的缺點，在計算非線性大幅運動時具有明顯的優(yōu)勢[10-11]。

在計算中主要采用三個坐標系，一個是大地坐標系O-XYZ，一個是參考坐標系o′-x′y′z′，一個是船體坐標系G-xyz。流場分布、坐標系示意圖以及船體網格分布如圖1 所示。

圖1 計算域劃分和船體網格示意圖Fig.1 Domain definitions and meshes schematic

（1）大地坐標系O-XYZ：X 軸指向船首為正，Y 軸指向左舷為正，Z 軸垂直向上為正，原點位于平均吃水線處，該坐標系不隨船體運動。

（2）參考坐標系o′-x′y′z′：x′軸指向船首為正，y′軸指向左舷為正，z′軸垂直向上為正，原點位于平均吃水線處，初始時刻與大地坐標系在同一位置，隨船體速度前進。

（3）船體坐標系G-xyz：x 軸指向船首為正，y 軸指向左舷為正，z 軸垂直向上為正，原點位于船舶重心，該坐標系隨船運動。

假設流體無粘、無旋和不可壓縮，水深為無限水深，則流場非定常的速度勢可表示為：

則內域I 中Rankine 源的邊界積分方程如下：

其中：ΦI是內域I 總擾動速度勢；G＝1/rpq為簡單格林函數(shù)，p （x, y, z ）為場點，q （ξ, η, ζ ）為源點，rpq=是內域I 邊界的外法線向量。

為了求解該定解問題，我們引入如下的時域格林函數(shù)：

外域II 中使用時域格林函數(shù)，面元分布在控制面SC上，邊界積分方程如下：

其中：ΦII為內域II 總擾動速度勢，w（τ）是控制面的水線面，VN是w（τ）的法向速度。

控制面隨船體一起運動，因此在控制面上內外域連續(xù)，采用面元法對邊界積分方程（3）和（6）進行數(shù)值離散，可以獲得當前時刻船體濕表面積Sb上的ΦI，自由表面Sf1上的，以及控制面SC上的ΦI和然后就可以利用物面上的ΦI，通過伯努利方程計算船體表面的壓力以及相應的水動力，利用內域I 中線性自由面獲得下一時刻整個流場的擾動勢和下一時刻內域的速度勢ΦI。

對船體平均濕表面積Sb上的源強積分即可得到船體濕表面上的擾動速度勢ΦI，且已知入射波速度勢Φw，最后通過伯努利方程可得到相應的壓力項：

求得每個面元控制點的壓力后，對每個面元積分即可求得作用于該面元上的流體作用力F 和力矩M。

1.2 數(shù)學模型

過度加速度的直接數(shù)值預報與船舶大幅運動的求解密切相關?？紤]到橫浪中大幅運動的特點，文中分別采用了3DOF（垂蕩—橫搖—縱搖）耦合方程和4DOF（橫蕩—垂蕩—橫搖—縱搖）耦合方程進行數(shù)值預報。

3DOF 耦合方程：

4DOF 耦合方程：

其中：m 為船舶質量；Ixx為橫搖慣性矩；Iyy為縱搖慣性矩；Aij、Bij為附加質量和阻尼系數(shù)；x2為橫蕩位移；x3為垂蕩位移；θ 為縱搖；φ 為橫搖；N1、N2為線性和平方的橫搖阻尼系數(shù)，采用模型試驗數(shù)據(jù)。FFK+H為FK 力和靜水力，通過對瞬時濕表面壓力積分得到；FDF為繞射力，沿船體平均濕表面積分得到。船體運動的偏微分方程利用Runge-Kutta 方法求解。

在數(shù)值模擬中規(guī)則波采用和模型試驗中一致的簡諧波，不規(guī)則波采用規(guī)則波線性疊加的形式。橫搖方向慣性矩和附加慣性矩采用如下公式計算：

1.3 橫向加速度簡化計算

在IMO 最新的過度加速度薄弱性衡準提案中[9]，中國和德國聯(lián)合提出了采用公式（12）所示的簡化公式計算船體任意位置處的加速度，該公式是將垂蕩、縱搖、首搖的影響簡化為某一系數(shù)。本文在研究中首先通過模型試驗驗證了該公式的可靠性。

其中：kL是無因次的垂向加速度和首搖運動的影響系數(shù)，與計算點的縱向位置有關，可利用公式（13）求解。

其中：x 是從船艉到計算點的縱向距離（m）；L 是船長（m）。

1.4 橫向加速度直接計算

過度加速度是指橫向加速度較大的現(xiàn)象，較高位置的舷側處加速度會比較大，因此過度加速度一般衡量駕駛室或者艦橋等位置處的加速度。加速度求解示意圖如圖2 所示，可以看出，橫向加速度也就是圖中沿甲板面的加速度，計算公式如下所示：

圖2 橫向加速度計算示意圖Fig.2 Schematic for the calculation of lateral acceleration

其中：al和an是分別為沿甲板方向和垂直于甲板面的加速度分量；aV和aH分別為P 點沿垂直方向和水平方向的加速度分量，可根據(jù)船體重心處的運動，采用如下公式計算：

2 模型試驗

2.1 試驗模型

模型試驗在中國船舶科學研究中心耐波性水池中進行，水池主尺度：長69 m、寬46 m、深4 m，該水池可進行任意浪向下的波浪模型試驗。在水池相鄰兩邊布置了從國外引進的三維搖板式造波機，造波機可模擬規(guī)則波、長峰不規(guī)則波和短峰波。試驗采用4000TEU 集裝箱船，模型縮尺比為1：63.0，模型照片如圖3 所示，主要參數(shù)如表1 所示。

圖3 4000TEU 集裝箱船模型照片F(xiàn)ig.3 The model test photos of the 4000TEU containership

表1 4000TEU 集裝箱船主尺度（縮尺比1/63.0）Tab.1 Principal particulars of the 4000TEU containership(Scale：1/63.0)

2.2 試驗方法

過度加速度模型試驗采用定點模式，在90°橫浪中進行試驗。由計算機實時記錄船模遭遇的波浪歷程，采用陀螺對模型的橫搖運動進行測量，垂蕩運動采用重心處的加速度積分得到。3 個測點的橫向加速度通過加速度傳感器進行測量，測點坐標列于表2 中。測點在模型上的布置分別為重心左舷處（P1）、駕駛室右舷處（P2）以及模型艉部0 站右舷處（P3）。

表2 三個測點的位置Tab.2 Definition for three measuring points

2.3 波浪條件

規(guī)則波中選取的試驗波浪條件為11 組橫浪，波長/船 長 分 別=0.2、0.3、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4、1.6、1.8 和2.0，波陡固定為0.03。不規(guī)則波波浪條件如表3 所示。采用ITTC 雙參數(shù)譜進行模擬，譜密度如下式所示：

表3 不規(guī)則波波浪條件Tab.3 Wave conditions in irregular waves

其中：H1/3為有義波高；T01為波浪特征周期；ω 為波浪圓頻率。

3 結果與分析

3.1 橫搖幅值計算結果與分析

基于三維時域混合源法分別在規(guī)則波和不規(guī)則波中，開展波浪中船舶大幅運動和加速度的數(shù)值模擬。圖4 為規(guī)則波中不同波浪條件下的橫搖幅值和垂蕩幅值數(shù)值模擬結果與模型試驗結果的對比。從對比結果可以看出，4DOF 數(shù)學模型整體上比3DOF 數(shù)學模型計算結果準確，但是在共振橫搖位置處，4DOF 數(shù)學模型計算結果略微偏小，誤差約為14.5%。分析原因主要是共振橫搖位置處，橫搖幅值隨其它因素，如波高、橫搖慣性矩等的影響較為敏感，根據(jù)模型試驗測量得到的靜水自由橫搖衰減曲線校對橫搖慣性矩，重新計算，結果如圖5（左）所示（4DOF-Tune），可以看出慣性矩校對后，共振處的橫搖幅值呈現(xiàn)較為明顯的變化，橫搖幅值的計算誤差縮小為0.87%，并且此時發(fā)生共振的頻率與模型試驗基本一致；將波幅增加5%，如圖5（右）所示，可以看出共振處橫搖幅值的計算誤差縮小為6.9%。另外，本文在線性和非線性橫搖阻尼系數(shù)計算中采用初始橫搖幅值15°的自由橫搖衰減曲線，不同初始橫搖幅值對應的橫搖阻尼也會對橫搖幅值產生影響。

圖4 規(guī)則波中橫搖和垂蕩運動幅值對比Fig.4 Comparisons of the amplitudes of roll and heave motions in regular waves

圖5 橫搖慣性矩和波高對橫搖幅值的影響（左：橫搖慣性矩；右：波幅）Fig.5 Influence of roll inertia moment and wave amplitude on roll amplitudes(Left：roll inertia moment;Right：wave amplitude)

圖6 不規(guī)則波中橫搖和垂蕩運動有義幅值對比Fig.6 Comparisons of the amplitudes of roll and heave motions in irregular waves

圖6 為不規(guī)則波中不同波浪工況下的橫搖有義幅值和垂蕩有義幅值數(shù)值模擬結果與模型試驗結果的對比，圖中橫坐標No.表示表3 中所示的波浪工況。從圖中可以看出，4DOF 數(shù)學模型整體上比模型試驗結果稍微偏小。從目前對比結果可以看出，3DOF 數(shù)學模型計算得到的結果整體上比試驗值偏大，從工程評估的角度來看，安全裕度更大。

3.2 IMO 加速度簡化計算方法計算結果與分析

針對IMO 薄弱性衡準提案中加速度的簡化計算公式（12），本文基于上述橫搖幅值的計算結果和模型試驗結果驗證了該公式的可靠性?？紤]到對于特定的位置，簡化公式（12）的計算主要取決于橫搖幅值，因此文中分別基于模型試驗直接測量得到的橫搖幅值、基于3DOF 數(shù)學模型計算的橫搖幅值、基于4DOF 數(shù)學模型計算的橫搖幅值，驗證了簡化公式（12）計算加速度的可靠性，對比結果見圖7-9。圖中Exp：代表模型試驗直接測量得到的橫向加速度；Exp-sim：代表公式（12）中的橫搖幅值由模型試驗直接測量得到；3DOF-sim：代表公式（12）中的橫搖幅值由3DOF 數(shù)學模型計算得到；4DOF-sim：代表公式（12）中的橫搖幅值由4DOF 數(shù)學模型計算得到。

圖7 位置P1 處基于簡化方法的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.7 Comparison of lateral accelerations by simplified method at position P1(Left：regular wave;Right：irregular wave)

圖8 位置P2 處基于簡化方法的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.8 Comparison of lateral accelerations by simplified method at position P2(Left：regular wave;Right：irregular wave)

圖9 位置P3 處基于簡化方法的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.9 Comparison of lateral accelerations by simplified method at position P3(Left：regular wave;Right：irregular wave)

從圖中所示的結果可以看出，規(guī)則波和不規(guī)則波中基于簡化公式計算的結果均比模型試驗直接測量得到的加速度略微偏大，這符合過度加速度薄弱性衡準評估的要求，即在滿足一定精度的前提上，也要滿足一定的安全裕度，因此，目前的簡化公式滿足IMO 薄弱性衡準的要求。

3.3 橫向加速度直接計算結果與分析

本文基于公式（14）所示的直接計算方法，分別采用3DOF 數(shù)學模型和4DOF 數(shù)學模型計算得到的船體重心處的運動、速度、加速度計算結果，結合剛體運動理論，直接對三個測點處的橫向加速度進行了數(shù)值模擬。規(guī)則波中不同橫向位置處的加速度數(shù)值計算結果與模型試驗結果對比如圖10（左）-12（左）所示。從計算結果可以看出，當校對橫向慣性矩使共振位置與模型試驗一致時，4DOF 數(shù)學模型可以高精度地再現(xiàn)模型試驗結果；而3DOF 數(shù)學模型計算結果略微偏大，這主要是由于目前3DOF 計算得到的橫搖幅值偏大。從圖中也可以看出，三個測點在某些工況下，橫向加速度可能接近7.0 m/s2，這已經超過了人員能承受的范圍，處于非常危險的狀態(tài)。另外，從三個測點的模型試驗結果以及計算結果可以看出，P2 處的加速度最大，因為該點選取在駕駛室處，位置最高，也最有可能發(fā)生過度加速度現(xiàn)象。計算結果也說明船舶在壓載狀態(tài)下有可能發(fā)生過度加速度現(xiàn)象，因此，在設計階段應該選取合理的初穩(wěn)性高，以防止過度加速度發(fā)生。

考慮到過度加速度衡準是采用概率方法進行評估，也就是需要結合海浪波浪譜，評估不規(guī)則波中船舶橫向加速度的特性[1]。因此，不規(guī)則波中橫向加速度的數(shù)值預報精度對于衡準的制定具有重要意義。本文進一步對比了不規(guī)則波中橫向加速度的有義幅值，如圖10（右）-12（右）所示。從對比結果可以看出，文中所采用的三維時域混合源法可以較好地計算不規(guī)則波中的橫向加速度。從目前模型試驗結果可以看出，目前所示的不規(guī)則波中橫向加速度的有義幅值與規(guī)則波中峰值處的橫向加速度幾乎一致，最大橫向加速度可達到7.0 m/s2，說明在船舶設計階段，對加速度進行有效的評估十分必要。

圖10 位置P1 處的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.10 Comparison of lateral accelerations at position P1(Left：regular wave;Right：irregular wave)

圖11 位置P2 處的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.11 Comparison of lateral accelerations at position P2(Left：regular wave;Right：irregular wave)

圖12 位置P3 處的橫向加速度對比（左：規(guī)則波；右：不規(guī)則波）Fig.12 Comparison of lateral accelerations at position P3(Left：regular wave;Right：irregular wave)

3.4 影響因素分析

橫向加速度與船體橫搖幅值以及計算點的位置有關。以位置P2 為基準，固定縱向和橫向位置，分別選取四個高度（H1=19.87 m，H2=30.73 m，H3=45.0 m，H4=60.73 m），計算不同波浪條件下的橫向加速度。從圖13（左）所示的計算結果可以看出，橫向加速度隨計算高度的增加而不斷變大。將每個高度對應的最大橫向加速度（共振橫搖處）取出，繪制成圖13（右），可以看出，隨著高度的增加，橫向加速度基本呈現(xiàn)線性變化，與簡化公式（12）中的規(guī)律一致。

圖13 橫向加速度隨高度的變化（左：不同波浪條件；右：固定波浪條件）Fig.13 Lateral accelerations along with height(Left：different wave conditions;Right：constant wave condition)

再以位置P2 為基準，選取不同的縱向位置以及不同的橫向位置，計算不同位置處橫搖共振處的橫向加速度，計算結果如圖14 所示。圖14（左）為橫向加速度隨縱向位置（距離尾垂線）的變化，圖14（右）為橫向加速度隨橫向位置的變化，可以看出縱向和橫向位置的變化對橫向加速度的影響較小。在簡化公式（12）中，橫向加速度的計算與橫向位置無關，該簡化公式中雖然有縱向位置項，但從公式（13）可以看出，與縱向位置有關的kL值基本位于1 附近，也就說明橫向加速度與計算點的縱向和橫向位置關系不大，與目前直接評估結果得到的規(guī)律一致。

圖14 橫向加速度隨縱向和水平位置的變化（左：縱向位置；右：橫向位置）Fig.14 Lateral accelerations along with longitudinal and horizontal positions(Left：longitudinal positions;Right：horizontal positions)

4 結 論

本文針對過度加速度穩(wěn)性失效模式，提出了一種采用三維時域混合源法計算船舶在規(guī)則波和不規(guī)則波中大幅橫搖運動和橫向加速度的直接數(shù)值預報方法，并開展模型試驗，對數(shù)值預報方法進行了驗證。得出如下結論：

（1）本文采用的三維時域混合源法可以較好地預報規(guī)則波和不規(guī)則波中船舶的大幅橫搖運動以及任意位置處的橫向加速度，可用于波浪中過度加速度的穩(wěn)性直接評估。

（2）橫向加速度的準確預報取決于大幅橫搖運動的預報精度，考慮橫蕩影響之后的4DOF 耦合方程預報精度要大于3DOF 耦合方程的預報精度。

（3）固定船舶的裝載，最大橫向加速度位于共振橫搖位置處，且隨計算點的高度基本呈線性增加，但與計算點的縱向和橫向位置關系不大。

（4）中國和德國聯(lián)合提出的IMO 過度加速度薄弱性衡準中采用的橫向加速度簡化公式，計算結果比直接評估結果和模型試驗略微偏大，符合IMO 薄弱性衡準的要求，因此可用于IMO 過度加速度的薄弱性衡準計算。