二級(jí)斜齒圓柱齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析

石慧榮，趙冬艷

（蘭州交通大學(xué)，蘭州730070）

0 引 言

斜齒輪傳動(dòng)以其結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)準(zhǔn)確、精度高等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于汽車、飛機(jī)、機(jī)床等工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中，其傳動(dòng)性能直接影響機(jī)械設(shè)備的性能。斜齒輪傳動(dòng)受側(cè)隙、傳動(dòng)誤差和時(shí)變嚙合剛度、摩擦力以及軸承耦合等因素的影響，傳動(dòng)中存在周期、倍周期和混沌等復(fù)雜非線性振動(dòng)現(xiàn)象。目前單對(duì)齒輪的非線性振動(dòng)已被深入研究[1-5]，但對(duì)多級(jí)齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)與噪聲問(wèn)題仍然有待進(jìn)一步研究。

斜齒輪多級(jí)傳動(dòng)在實(shí)際生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，而各對(duì)齒輪傳動(dòng)的非線性作用相互耦合使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變得非常復(fù)雜，因此多級(jí)齒輪傳動(dòng)的穩(wěn)定性和可靠性問(wèn)題已經(jīng)成為一個(gè)亟待解決的課題。Jia等[6]利用集中質(zhì)量法建立了二級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)模型，比較了裂紋和剝離缺陷下齒輪不同的振幅和相位調(diào)諧、包絡(luò)特性的區(qū)別。Li 等[7]建立了一種耦合軸彎、扭變形和軸承擺動(dòng)的單對(duì)斜齒輪傳動(dòng)模型，分析了轉(zhuǎn)速、齒輪偏心和軸承變形等對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響。劉波等[8]建立了一個(gè)僅考慮扭振的六自由度三級(jí)斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，利用Runge-Kutta 法對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解，分析了系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性。胡鵬等[9]建立了惰輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，忽略了軸和軸承與齒輪振動(dòng)的耦合作用，利用雙曲正切函數(shù)近似表示分段嚙合剛度，分析了剛度展開(kāi)項(xiàng)波動(dòng)幅值、載荷力矩以及側(cè)隙對(duì)響應(yīng)的影響。劉輝等[10]利用拉格朗日方程推導(dǎo)了兩級(jí)行星齒輪傳動(dòng)的平移－扭轉(zhuǎn)非線性振動(dòng)模型,從行星排級(jí)間連接軸的力與變形耦合關(guān)系出發(fā)，研究了兩個(gè)行星排嚙合力產(chǎn)生的嚙合頻率耦合現(xiàn)象。王慶等[11]建立了一個(gè)彎扭軸擺耦合的二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，利用數(shù)值方法和有限元法對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)和減速器箱體進(jìn)行了分析，模型忽略了軸彎曲變形對(duì)系統(tǒng)的影響。

由于斜齒輪多級(jí)傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜，一些研究?jī)H限于對(duì)扭振的分析，忽略了軸的彎曲、擺動(dòng)和軸承剛度等因素的影響，與實(shí)際應(yīng)用有一定差距，而且各級(jí)齒輪傳動(dòng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響以及各參數(shù)的相互關(guān)系的研究還比較少。本文針對(duì)二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速傳動(dòng)，考慮軸的彎曲和擺動(dòng)、軸承剛度、軸向載荷、齒輪時(shí)變嚙合剛度等因素耦合作用，建立了一60 個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)輸入轉(zhuǎn)速、各級(jí)螺旋角、外加轉(zhuǎn)矩對(duì)斜齒輪傳動(dòng)特性的影響進(jìn)行了分析。

1 二級(jí)斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 模型的描述與假設(shè)

二級(jí)斜齒輪減速單元的動(dòng)態(tài)特性，其結(jié)構(gòu)如圖1 所示，齒輪1 為主動(dòng)輪，齒輪4 為輸出軸齒輪，β1、β2和Fn1、Fn2分別為兩對(duì)齒輪的螺旋角與嚙合力，kxn、kyn和kzn分別是x、y 和z 軸三個(gè)方向的等效軸承剛度，下標(biāo)n=I、II、III、I′、II′、III′，θx、θy和θz分別是繞x、y 和z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)位置角α 為嚙合齒輪對(duì)中心連線與z 軸正方向的夾角。兩對(duì)斜齒輪傳動(dòng)由于軸的彎扭轉(zhuǎn)變形和軸承變形相互耦合，輪齒嚙合剛度隨時(shí)間變化，要考慮各種因素建立數(shù)學(xué)模型十分困難。為了簡(jiǎn)化計(jì)算假定：

（1）減速單元軸承支座和齒胚為剛體；

（2）軸的質(zhì)量和慣量轉(zhuǎn)化到軸承和齒輪上，采用集中質(zhì)量法建模；

（3）忽略軸承接觸剛度的非線性特性，視其為線性彈簧；

（4）不考慮齒輪嚙合引起的齒面變形誤差。

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)圖1 所示的斜齒輪減速單元結(jié)構(gòu)，基于以上假設(shè)，應(yīng)用集中質(zhì)量法，齒輪i 的動(dòng)力學(xué)方程為：

圖1 二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)Fig.1 The transmission structure of two-grade helical gear

其中：m 和J 為齒輪的等效質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，i=1，2，3，4 表示四個(gè)齒輪單元，對(duì)應(yīng)的右鄰接軸承或齒輪單元ir=I、II、III、3，左鄰接軸承或齒輪單元il=I′、II′、III′、2，每個(gè)齒輪單元包含x、y、z 方向的平動(dòng)和繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)θx、θy和θz自由度，每個(gè)軸承單元僅考慮x、y、z 方向的平動(dòng)，ia表示i 的扭轉(zhuǎn)鄰接單元，當(dāng)i=2，3 時(shí)，對(duì)應(yīng)的ia=3，2，當(dāng)i=1，4 時(shí)對(duì)應(yīng)方向的角位移和角速度為零，csx、csy、csz和ksx、ksy、ksz表示軸的等效彎曲阻尼和彎曲剛度，Ri為齒輪的基圓半徑，zi為齒輪的齒數(shù)，轉(zhuǎn)矩T2＝T3＝T1z2/z1=T4z3/z4，T1和T4分別等于輸入和輸出轉(zhuǎn)矩，陀螺效應(yīng)系數(shù)Gi=ωi×Ji，F(xiàn)x，F(xiàn)y和Fz分別是齒輪在x，y 和z 軸的嚙合力，其具體形式可以參考文獻(xiàn)[12]。cθx、cθy、cθz和kθx、kθy、kθz表示軸的等效扭轉(zhuǎn)阻尼和剛度，ρ 為齒輪的偏心距，φ 為角位移，ω 為軸的轉(zhuǎn)速，各齒輪的角位移分別為：

由于軸承相對(duì)于軸長(zhǎng)度較短，而且軸承承受的扭矩很小，所以忽略軸承三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以得出軸承n 處的等效集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程為：

其中：三根軸上軸承單元n 對(duì)應(yīng)的鄰接單元為na=1，2，3，4，5，6，xn、yn和zn分別是軸承在x、y 和z 方向的位移，cxn、cyn、czn和kxn、kyn和kzn為等效的軸承阻尼和剛度，mb表示軸承的等效質(zhì)量。

由此本文建立的二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)包含4 個(gè)齒輪單元，每個(gè)單元6 個(gè)自由度，6 個(gè)軸承單元，每個(gè)單元3 個(gè)自由度，整個(gè)耦合傳動(dòng)系統(tǒng)共計(jì)42 個(gè)自由度，這樣可以更加精確地獲取二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性。

2 數(shù)據(jù)分析

二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和制造行業(yè)。由于兩對(duì)齒輪剛度非線性和齒輪側(cè)隙變化，以及軸的彎曲扭轉(zhuǎn)變形和軸承變形的影響，而且兩級(jí)傳動(dòng)相互耦合，使系統(tǒng)的振動(dòng)具有強(qiáng)非線性特性。本文利用4 階5 級(jí)變步長(zhǎng)Runge-Kutta 法對(duì)系統(tǒng)方程求解，求解步長(zhǎng)根據(jù)相鄰兩次計(jì)算結(jié)果誤差e 進(jìn)行調(diào)整，若e＞10-9，步長(zhǎng)減半，以此類推，直到e≦10-9時(shí)步長(zhǎng)保持不變。根據(jù)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，研究某減速單元齒輪轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性，分析轉(zhuǎn)速、外加載荷和螺旋角對(duì)兩對(duì)斜齒圓柱齒輪嚙合力的影響。齒輪、軸和軸承的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)由表1-3 給出。

表1 齒輪參數(shù)Tab.1 The gear parameters

表2 軸參數(shù)Tab.2 The shaft parameters

表3 軸承參數(shù)Tab.3 The bearing parameters

2.1 耦合系統(tǒng)的模態(tài)分析

由于斜齒圓柱齒輪和軸的轉(zhuǎn)速不同，系統(tǒng)的振動(dòng)特性會(huì)受到陀螺效應(yīng)影響，本文對(duì)高速軸齒輪轉(zhuǎn)速在0～18 000 r/min 內(nèi)變化的三軸耦合模態(tài)進(jìn)行了分析。 在轉(zhuǎn)子的Campbell 圖2中，給出了1～9 階模態(tài)頻率的變化曲線，可以看出，隨著轉(zhuǎn)速ωi的增加，陀螺效應(yīng)系數(shù)Gi對(duì)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響增大，高階模態(tài)的固有頻率會(huì)出現(xiàn)較大變化，第七階模態(tài)頻率由轉(zhuǎn)速為0 時(shí)的260.22 Hz 減小到18 000 r/min 時(shí)的193.42 Hz，第9 階模態(tài)頻率由285.41 Hz 變化到322.7 Hz；而且隨著轉(zhuǎn)速的變化，各軸可能達(dá)到或超過(guò)臨界轉(zhuǎn)速，發(fā)生共振，如高速軸I 轉(zhuǎn)速在6 510 r/min 時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的強(qiáng)烈振動(dòng)。

三軸通過(guò)齒輪對(duì)嚙合，雖然圖2 中軸II 和軸III 轉(zhuǎn)速較低，未達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速，但是在圖3 的模態(tài)振型中可以看到當(dāng)軸I 轉(zhuǎn)速達(dá)到基頻108.6Hz 時(shí)，II 和III 軸仍然會(huì)出現(xiàn)大幅振動(dòng)的變形，其余各模態(tài)振型同樣具有耦合變形，因此僅通過(guò)單對(duì)齒輪轉(zhuǎn)子的耦合振動(dòng)分析多軸耦合系統(tǒng)的振動(dòng)不能完全反應(yīng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

圖2 轉(zhuǎn)子Campbell 圖Fig.2 The Campbell diagram of rotors

圖3 齒輪轉(zhuǎn)子模態(tài)振型Fig.3 The modal shape of gear rotor

2.2 轉(zhuǎn)速對(duì)振動(dòng)特性的影響

當(dāng)給斜齒輪施加475 N·m 輸入轉(zhuǎn)矩時(shí)，其嚙合力在不同輸入轉(zhuǎn)速時(shí)的頻域響應(yīng)如圖4 所示，隨著轉(zhuǎn)速的增加，斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)高速級(jí)和低速級(jí)的嚙合力F12和F34逐漸增加，由于轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)，各階固有頻率也逐漸增大，而且高階模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化較大，同時(shí)也注意到高頻振動(dòng)會(huì)出現(xiàn)連續(xù)共振頻率，使系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的非線線性振動(dòng)。

圖4 嚙合力隨轉(zhuǎn)速變化Fig.4 The change graph of meshing force with rotational speed

在圖5 中比較了轉(zhuǎn)矩不變，輸入轉(zhuǎn)速為3 900 r/min 和900 r/min 時(shí)的嚙合力時(shí)域變化特性，可以看出高速時(shí)高速級(jí)嚙合力F12在某瞬時(shí)可能等于零，出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，低速級(jí)嚙合力F34存在大于零的現(xiàn)象，表明斜齒輪在嚙合過(guò)程中低速級(jí)齒輪存在齒背沖擊；而低速傳動(dòng)中高速級(jí)齒輪可能存在較長(zhǎng)時(shí)間的脫齒現(xiàn)象，而低速級(jí)一般不存在脫齒和背沖現(xiàn)象。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下的時(shí)域響應(yīng)Fig.5 The time domain response under different rotational speed

2.3 螺旋角對(duì)振動(dòng)特性的影響

當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩為250 N·m，轉(zhuǎn)速為1 800 r/min 時(shí)，高速級(jí)螺旋角β1和低速級(jí)螺旋角β2對(duì)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如圖6-7 所示。由圖6 可以看出，隨著螺旋角β1的增大，高速級(jí)齒輪嚙合力F12幅值逐漸增大，其低頻振動(dòng)時(shí)幅值變化較大，對(duì)于低速級(jí)嚙合力F34的幅值變化不大；而且也可以注意到模態(tài)頻率也隨β1的增大不斷減小，螺旋角β1對(duì)高頻振動(dòng)影響更加顯著。在圖7 中，β2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響與圖6 類似，隨著螺旋角β2的增大，系統(tǒng)的模態(tài)頻率逐漸降低，高頻時(shí)模態(tài)頻率變化幅度較大，而且β2對(duì)低速級(jí)斜齒圓柱齒輪嚙合力F34的影響較大，F(xiàn)34隨β2增大而增大，但螺旋角β2對(duì)高速級(jí)嚙合力F12影響不大。

圖6 嚙合力隨β1 的變化Fig.6 The change graph of meshing force with β1

圖7 嚙合力隨β2 的變化Fig.7 The change graph of meshing force with β2

2.4 輸入轉(zhuǎn)矩對(duì)振動(dòng)特性的影響

當(dāng)其它條件不變時(shí)，輸入轉(zhuǎn)矩為75 N·m 時(shí)兩對(duì)斜齒圓柱齒輪嚙合力的時(shí)域響應(yīng)如圖8 所示。可以看出在輸入轉(zhuǎn)速為900 r/min 時(shí)，高速級(jí)和低速級(jí)齒輪都出現(xiàn)了脫齒和齒背沖擊現(xiàn)象，但是其范圍較?。欢斎朕D(zhuǎn)速為3 900 r/min 時(shí)高速級(jí)齒輪出現(xiàn)大范圍的脫齒和雙相碰撞，低速級(jí)齒輪也會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間的脫齒和輪齒雙向沖擊。與輸入轉(zhuǎn)矩較大的圖5 相比可以看出，無(wú)論是高速還是低速傳動(dòng)，在較小的外載荷作用下二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)更容易出現(xiàn)脫齒和齒面的雙向沖擊，而且高速傳動(dòng)中低速級(jí)齒輪的脫齒和雙碰更加顯著。

圖8 不同轉(zhuǎn)速下的時(shí)域響應(yīng)Fig.8 The time domain response under different rotational speed

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)二級(jí)斜齒圓柱輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)特性的分析，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）由于齒輪的耦合傳動(dòng)，每個(gè)模態(tài)存在多軸的大幅振動(dòng)，而且齒輪轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)頻率的大幅變化，所以考慮陀螺效應(yīng)的多級(jí)齒輪耦合傳動(dòng)分析能夠更加有效地分析系統(tǒng)的振動(dòng)特性；

（2）斜齒圓柱齒輪的高速傳動(dòng)會(huì)使嚙合力幅值增大，而且可能引起高頻模態(tài)頻率的顯著變化，轉(zhuǎn)速變化直接影響齒輪輪齒的嚙合特性；

（3）螺旋角增加會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率降低，高速和低速級(jí)的螺旋角主要影響對(duì)應(yīng)級(jí)齒輪嚙合作用力的大??；

（4）高速齒輪傳動(dòng)中外加載荷越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；外加載荷較小時(shí)低速級(jí)更容易出現(xiàn)脫齒和背沖現(xiàn)象。