四川省寧南縣三峽白鶴灘學(xué)校 廖萬謙

中學(xué)階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等與相似，而全等是一種特殊的相似；最簡單、最基本的幾何圖形是三角形，多邊形的問題常常轉(zhuǎn)化為三角形來解決。全等三角形的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形的重要基礎(chǔ)，也是后面學(xué)習(xí)等腰三角形、四邊形、圓等幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)。如何講好全等三角形，突破幾何證明這個重難點，培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力，是所有數(shù)學(xué)老師都想要解決的問題。

一、學(xué)生的易犯錯誤

在證明三角形全等的過程中，學(xué)生容易犯的錯誤包括：

1.不注意相等的線段或角是不是三角形的邊或內(nèi)角，忽略了線段或角的加減；有的學(xué)生知道要加減，但書寫格式又不對。

2.不知道該證哪兩個三角形全等。

3.不知道怎樣添加輔助線。

4.書寫格式不規(guī)范，推理過程不嚴(yán)密。

二、全等三角形的知識準(zhǔn)備

首先，要避免上述錯誤，需要難點前置，在前面的教學(xué)中就要對角平分線的定義、角的加減、線段的加減、同角（或等角）的余角相等的證明、同角（或等角）的補角相等的證明、等量代換、平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的運用等知識非常熟悉，掌握扎實，才能在全等三角形的證明中一看到已知條件，就能得出相應(yīng)的正確結(jié)論。

其次，加強(qiáng)對角的鄰邊、對邊、夾邊及邊的鄰角、對角、夾角等概念的理解，比較區(qū)分SAS或SSA、 ASA或AAS，避免亂用依據(jù)。

最后，在平移、旋轉(zhuǎn)、翻折構(gòu)成的全等三角形中，能熟練尋找到兩個三角形的公共邊、公共角、對頂角等隱含條件，特別要熟悉八字形、三直角模型圖的相關(guān)證明。

三、完善全等三角形的教學(xué)細(xì)節(jié)

1．三點定形法找三角形

要證明兩個三角形全等，至少要有一組邊對應(yīng)相等。如果有兩組以上的邊對應(yīng)相等，那么兩組邊就能唯一確定兩個三角形全等。如果只有一組對應(yīng)邊相等，那就有了三角形的兩個頂點字母了，結(jié)合已知條件中的角，結(jié)合圖形，再找一個字母構(gòu)成三角形。只要三角形找到了，證全等也就完成了一半的工作了。當(dāng)然，在寫兩個三角形的頂點字母時，一定要強(qiáng)調(diào)對應(yīng)；運動型問題要注意分類討論。

2．分析法與綜合法的綜合運用

學(xué)生拿到一道證明題后，第一遍讀題就要在圖上作好標(biāo)記，“由因?qū)Ч保瑥囊阎獥l件出發(fā)，根據(jù)逐步的邏輯推理，能推出哪些結(jié)論要做到心中有數(shù)，這就是綜合法；第二遍讀題，“執(zhí)果索因”，從問題出發(fā)，一步一步探索下去，最后找到已知條件，這就是分析法。在教學(xué)中，要注重對學(xué)生思維的訓(xùn)練，靈活運用分析法與綜合法，能極大地提高解題的效率。

3．多次全等的證明

很多稍復(fù)雜一點的題型都需要證明兩次、三次全等，才能解決問題。這就需要對知識進(jìn)行綜合把握，明白已知條件能證明哪兩個三角形全等，問題需要證明哪兩個三角形全等，從而找到中間的橋梁。

4．全等的證明思路

5．重視角平分線性質(zhì)判定的運用

角平分線的性質(zhì)可以直接用來證明線段相等，判定可以用來說明角相等，強(qiáng)調(diào)書寫格式，利用性質(zhì)與判定找到證全等的條件。

6．重視幾何語言的描述

要想學(xué)好幾何，必須做到文字、圖形、符號語言的相互轉(zhuǎn)化，特別是重視邏輯推理的過程，規(guī)范學(xué)生書寫格式，通過強(qiáng)化學(xué)生的說促進(jìn)學(xué)生的寫。

7．補充不等關(guān)系的證明

讓學(xué)生明白，證明邊的不等關(guān)系，就要用到兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。如果不在同一個三角形中，利用全等進(jìn)行邊的代換。如果要證明角的不等關(guān)系，就要用到三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，同理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化。

8．引導(dǎo)學(xué)生歸納出證明線段或角相等的常見方法

證明兩條線段相等：中點中線；線段的加減；等量代換；全等；等角對等邊；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；

證明兩個角相等：角平分線的定義；角的加減；等量代換；垂直；平行；同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等；全等；等邊對等角；

四、全等三角形中的常見輔助線添加方法

1.構(gòu)造公共邊。

2.連接對角線（多邊形常轉(zhuǎn)化為三角形）。

3.有中線倍長中線（證倍分關(guān)系或不等關(guān)系）。

4.有角平分線常向角兩邊作垂線（證線段相等）。

5.有角平分線常向角兩邊截取相等的線段（證和差關(guān)系或不等關(guān)系）。

6.截長補短法（證和差關(guān)系或不等關(guān)系）。

其實，在三角形的教學(xué)中，上述輔助線的添加方法，都遵循一個原則，那就是通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折來構(gòu)造全等三角形。

五、注重解決實際問題能力的培養(yǎng)

人教版教材38頁的例2，很多老師都喜歡直接出示例題，用剛學(xué)的邊角邊判定定理來證明這種方法的可行性。而我認(rèn)為，該題應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力著手訓(xùn)練，可以創(chuàng)設(shè)情境，把教學(xué)重點轉(zhuǎn)移到如何設(shè)計方案，構(gòu)造出全等三角形，從而間接測量出不能直接到達(dá)的兩點之間的距離。這樣將為以后利用相似三角形進(jìn)行實際測量打下基礎(chǔ)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性與實用性。