張 帥，朱東方，孫 俊，華 春，劉延芳

(1. 航空工業(yè)哈爾濱飛機工業(yè)集團有限責任公司·哈爾濱·150066；2. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109；3. 上海航天信息研究所·上?！?01109；4. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院·哈爾濱·150001)

0 引 言

未來的新型空襲武器，如戰(zhàn)術彈道導彈(Tactical Ballistic Missile，TBM)、高超聲速巡航導彈(Supersonic Cruise Missile，SCM)和無人駕駛飛行器(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)等，具有飛行速度快、機動能力強等特點[1]。在攔截這類目標時，攔截彈在速度、機動能力、過載響應速度等方面不再具有明顯的優(yōu)勢。同時，由于這類新型目標的結(jié)構(gòu)尺寸小、結(jié)構(gòu)強度高，要對其進行成功攔截需要實現(xiàn)很小的脫靶量，甚至需要通過直接碰撞將其摧毀(Hit to Kill)。

為提高成功攔截的概率，一方面需要采用先進的制導、控制系統(tǒng)，提高單發(fā)命中概率(Single Shot Kill Probability，SSKP)；另一方面，可以采用同時發(fā)射多枚攔截彈的方式完成攔截。本文主要對后者進行了研究。

微分對策理論是在古典對策理論和最優(yōu)控制理論相結(jié)合的基礎上，研究雙方或多方最優(yōu)對抗策略的理論[1]，其被廣泛應用于攔截彈制導律的設計[2-9]。Gutman S 指出，比例導引(Proportional Navigation，PN)制導律是一種在對抗雙方都具有理想側(cè)向動力學特性假設下的線性二次型微分對策(Linear Quadratic Differential Game，LQDG)制導律[3]，他同時給出了同樣假設下、對抗雙方控制受限條件下的邊界型微分對策(Bounded Differential Game，BDG)制導律[4]。Shinar J等將BDG制導律擴展到了包含攔截彈一階動力學特性(DGL/0)[5]和目標一階動力學特性(DGL/1)[6-7]的模型上。考慮對目標狀態(tài)估計的延遲、速度和速度剖面的時變特性，Shinar J和 Shima T等提出了DGL/C[5,8]、DGL/E[9]和DGL/EC[10]制導律。李云遷等針對新型攔截彈，將復合控制引入到了微分對策制導律中[11-12]。劉延芳等針對大初始航向誤差時的角度非線性，提出了非線性微分對策制導律[13]。劉長有等[14]采用強迫奇異攝動給出了非線性微分對策次最優(yōu)反饋制導律。

然而，以上文獻中提出的制導律針對的是一對一攔截問題。在多彈攔截問題中，新攔截彈的加入使得對策模型復雜化，演變?yōu)椤岸鄬σ蛔粉?逃逸”問題。Perelman A等基于零和(Zero-Sum)理論提出了協(xié)同二次型微分對策(Cooperative Linear Quadratic Differential Game，CLQDG)制導律[15-16]。該制導律針對的是航空器通過發(fā)射防護導彈來躲避來襲攔截彈攻擊的兩組三體最優(yōu)策略問題：攔截彈追蹤航空器，航空器躲避來襲攔截彈，防護導彈試圖摧毀攔截彈。針對同樣的問題，Shima T在攻擊導彈采用線性制導律、線性化運動學和完全信息的假設下給出了最優(yōu)合作追蹤-逃逸策略[17]。然而，該問題與多彈攔截問題有很大的不同。彭琛等研究了飽和攻擊多彈分布協(xié)同末制導問題[18]，但此問題并不適用于多彈攔截問題。Foley A M給出了非零和多對一對策問題的基本模型和最優(yōu)策略[19-20]，Lin W給出了在擁有局部信息時的多對一對策問題的納什平衡策略(Nash Equilibrium Strategy, NESS)[21]。

本文針對兩枚攔截彈攔截單目標的末段制導問題，將其建模為非零和二對一追蹤-逃逸對策模型，采用微分對策理論給出BDG制導律，并對該制導律的性能進行分析。

1 系統(tǒng)建模

1.1 多彈攔截問題

在末制導段，2枚攔截彈P、Q和目標T的三維相對運動可以分解到2個正交平面內(nèi)，本文僅對俯仰平面內(nèi)的運動進行了研究。為簡化分析，采用如下假設[1-5,7-8]：

(1)攔截彈和目標的速度為常值；

(2)攔截彈和目標可以獲得彼此的精確信息；

(3)攔截彈和目標的相對運動可以在初始視線附近實現(xiàn)線性化；

(4)忽略由于攔截彈和目標高度不同帶來的重力加速的影響；

(5)攔截彈和目標的自動駕駛儀具有理想的動力學響應(零階延遲)。

末制導段俯仰平面內(nèi)攔截彈和目標間的相對運動如圖1所示。其中，V、a和γ分別表示速度、加速度和航跡角；λ和r分別表示視線角和彈目距離；y表示在垂直視線方向上，目標與攔截彈之間的相對距離；下標P、Q和T分別表示攔截彈P、Q和目標T，PT表示P和T之間的對抗，QT表示Q和T之間的對抗，0表示初始時刻。

圖1 末制導段攔截彈和目標間的幾何關系Fig.1 Geometry of end-game guidance

(1)

其中

(2)

基于假設1)、3)，在給定的初始條件下，對抗PT和QT的結(jié)束時間可以近似計算為

(3)

滿足

tf,PT>tf,QT

(4)

其中，φ為前置角，定義為

(5)

本文主要對迎向攔截[12]進行研究，對于迎向攔截，前置角滿足關系

-π/2<φi<π/2,i∈{P,Q,PT,QT}

(6)

將攔截的結(jié)束時間定義為

tf=tf,PT

(7)

攔截彈和目標的最大加速度受限，為避免控制飽和，有

|ui|

(8)

1.2 對策模型

ZEM表示從當前時刻(攔截彈和目標都不再輸出指令時)至末制導結(jié)束時的脫靶量的大小。應用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，ZEM矢量可以表示為

z(t)=DΦ(tf,t)x(t)

(9)

其中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

D為常值矩陣,為

將式(9)對時間求導可以得到ZEM動態(tài)為

(10)

其中，

假設2枚攔截彈完全一致且攔截過程相互獨立，每一枚攔截彈都控制自己的脫靶量使其達到最小，而目標選擇使最小脫靶量最大的控制策略，因此攔截彈和目標的目標函數(shù)為

(11)

將狀態(tài)方程(1)、約束方程(8)和目標函數(shù)(11)定義的非零和二對一追蹤-逃逸對策模型表示為G。

2 納什平衡策略

(12)

使三個不等式對所有的容許控制uP、uQ和uT都成立，則該策略集稱為G的納什平衡策略。

2.1 伴隨模型及求解

由于式(11)中目標的性能函數(shù)不連續(xù)，為了應用現(xiàn)有理論進行求解，重新定義連續(xù)的性能函數(shù)為

(13)

(14)

(15)

協(xié)變量滿足

(16)

最優(yōu)控制策略為

(17)

其中

將開環(huán)最優(yōu)策略(15)代入式(9)，可得到最優(yōu)零控脫靶量動態(tài)

(18)

2.2 攔截空間及最優(yōu)策略

定義2：ZEM矢量z(t)的集合稱為攔截空間S，即

S={z(t)}

(19)

2.2.1 P-攔截空間

定義3：滿足

的ZEM矢量組成的攔截空間S的子空間稱為P-攔截空間，即有

(20)

定理1：如果滿足z(t)∈SP，當κ=1時式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

(21)

因此，為證明式(17)是G的納什平衡策略，只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

當κ=1時，

(22)

將式(17)代入式(10)，可以得到

(23)

由z(t)∈SP，可以得到|zP(tf)|<|zQ(tf)|，因此有

(24)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略uT，此時有三種可能的結(jié)果

a) |zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(25)

結(jié)合式(22)、(24)和(25)，可以得到

(26)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(26)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SP，當κ=1時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略，定理得證。

在P-攔截空間里，結(jié)合式(20)和式(23)，可以得到

signz(t)=signz(tf)

(27)

因此，最優(yōu)反饋制導律為

(28)

2.2.2 Q-攔截空間

定義4：滿足

的由ZEM矢量組成的攔截空間S的子空間稱為Q-攔截空間，即有

(29)

定理2：如果滿足z(t)∈SQ，當κ=0時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

證明：同定理1，這里只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

當κ=0時，

(30)

將式(17)代入式(10)，可以得到

(31)

由z(t)∈SQ，可以得到|zP(tf)|>|zQ(tf)|，因此有

(32)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略，此時有三種可能的結(jié)果

a)|zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(33)

結(jié)合式(30)、(32)和(33)，可以得到

(34)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(34)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SQ，當κ=0時，式(17)是對策模型的納什平衡策略。定理得證。

在Q-攔截空間里，結(jié)合式(29)和式(31)可以得到

signz(t)=signz(tf)

(35)

因此，最優(yōu)反饋制導律為

(36)

2.2.3 PQ-攔截空間

定義5：存在0<κ<1使得在式(17)策略的作用下終端零控脫靶量滿足zP(tf)=zQ(tf)的攔截空間的子空間稱為PQ-攔截空間，即有

SPQ={z(t)|?0<κ<1,zP(tf)=zQ(tf)}

(37)

定理3：如果滿足z(t)∈SPQ，當κ滿足|zP(tf)|=|zQ(tf)|時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

證明：同定理1，這里只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

根據(jù)PQ-攔截空間的定義，當z(t)∈SPQ時，|zP(tf)|=|zQ(tf)|，因此有

(38)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略uT，此時有三種可能的結(jié)果：

情況a)為 |zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(39)

結(jié)合式(38)和(39)，可以得到

(40)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和情況c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(40)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SPQ，當κ滿足zP(tf)=zQ(tf)時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。定理得證。

在PQ-攔截空間里，0<κ<1，根據(jù)式(17)，當signzP(tf)=signzQ(tf)時，最優(yōu)反饋制導律為

(41)

當signzP(tf)=-signzQ(tf)時，最優(yōu)反饋制導律與κ相關，其中κ可通過求解|zP(tf)|=|zQ(tf)|獲得。

典型的攔截空間分布如圖2所示，其中中心區(qū)域為奇異區(qū)(Sigular Range)，其物理意義將在下一節(jié)進行說明。在奇異區(qū)，攔截彈和目標的最優(yōu)反饋策略是任意的。

圖2 攔截空間分布Fig.2 Distribution of intercept space

2.3 對策空間結(jié)構(gòu)

在給定任意最終脫靶量時，結(jié)合式(14)可以得到κ值，將κ值帶入式(17)可以獲得最優(yōu)制導策略，將最優(yōu)制導律代入式(18)并積分可以得到最優(yōu)軌跡。當zP(tf)=zQ(tf)時，取κ值為[0,1]之間任意的數(shù)，可以得到給定κ值下的最優(yōu)軌跡。從不同的最終脫靶量及κ值出發(fā)，可以得到最優(yōu)軌跡集合，該集合填充著對策空間(t,zP,zQ)。典型的對策空間的結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖中給出的曲線為奇異區(qū)與P-攔截空間、Q-攔截空間及PQ-攔截空間的邊界最優(yōu)航跡。P-攔截空間、Q-攔截空間和PQ-攔截空間之外的區(qū)域為奇異區(qū)。當攔截的初始條件位于該區(qū)域時，最優(yōu)導航策略是任意的。不論采用什么樣的制導策略，當零控脫靶量矢量達到邊界最優(yōu)航跡時，其會沿著邊界最優(yōu)航跡運動，并保證零脫靶量攔截。從圖3可以看到，當P攔截彈和Q攔截彈的初始零控脫靶量具有相反的符號時，奇異區(qū)域會增加，即零脫靶量攔截的區(qū)域有所增加。

圖3 對策空間結(jié)構(gòu)Fig.3 Game space structure

3 仿真研究

選擇在初始ZEM矢量位于PQ-攔截空間條件下進行仿真研究，兩枚攔截彈采用本文提出的制導律(表示為LQDG/S)，目標采用“棒-棒”機動策略，即初始時沿某一方向采用最大加速度機動，在時刻(tgo)sw時改變機動方向沿相反的方向以最大加速度機動[5,8,10-12]。假設目標無法獲得攔截彈的準確信息，加速度方向的改變時間隨機，此時目標以一定的概率實現(xiàn)最優(yōu)機動。在不同的仿真中，機動方向的改變時刻(tgo)sw在剩余飛行時間內(nèi)以0.03s的時間間隔變化。在仿真中，制導周期為10ms，積分步長為1ms。目標和攔截彈的加速度受最大可用過載的限制。仿真采用的主要參數(shù)在表1中給出。

表1 仿真參數(shù)

圖4、圖5給出了(tgo)sw=2s時的零控脫靶量和加速度隨時間變化的曲線。圖6給出了脫靶量隨目標機動方向的轉(zhuǎn)向時間變化關系，圖6中的直線表示脫靶量的均值。其中，脫靶量定義為攔截彈P和Q的脫靶量的最小值。從圖6可以看到，脫靶量的均值約為0.4m。在目標的加速度轉(zhuǎn)向時間(tgo)sw=0.4s時，脫靶量存在峰值，表明該時刻為目標的最優(yōu)機動轉(zhuǎn)向時機。

圖4 零控脫靶量軌跡Fig.4 Trajectory for zero-effort miss distance

圖5 加速度曲線Fig.5 History of acceleration

圖6 脫靶量隨轉(zhuǎn)向時間的變化曲線Fig.6 Relationship between miss distance and switch time

4 結(jié) 論

本文主要研究了2枚攔截彈同時攔截單個目標時在末段制導問題，主要結(jié)論為：

(1)將2枚攔截彈同時攔截單個目標的問題建模為“非零和二對一微分對策模型”，并采用最優(yōu)控制及邊界型微分對策理論對模型進行求解；

(2)攔截空間分解為4個相互交集為空集、且并集覆蓋整個攔截空間的子空間SP、SQ、SPQ和奇異區(qū)，并根據(jù)納什平衡策略給出了考慮其他攔截彈存在的邊界型微分對策制導律；

(3)當2枚攔截彈在初始時刻的零控脫靶量具有相反的符號時，對策空間存在一個較大的奇異區(qū)；

(4)仿真結(jié)果表明，采用2枚攔截彈進行攔截時，脫靶量對目標機動方向的轉(zhuǎn)變時間具有很好的魯棒性。