在“變”中找“不變”

朱月紅（特級(jí)教師）

平行四邊形“生長(zhǎng)”出了一系列特殊四邊形，在“生長(zhǎng)”的過(guò)程中，出現(xiàn)了一些較復(fù)雜的問(wèn)題。同學(xué)們只要仔細(xì)觀察、善于發(fā)現(xiàn)，在“變”的現(xiàn)象中抓住“不變”的本質(zhì)，便可以迅速抓住解題的突破口。下面舉幾例，請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)體會(huì)其中的奧妙。

例1如圖1，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，P是AD上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的值。

【解析】連接OP，由矩形性質(zhì)推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的長(zhǎng)，求出矩形ABCD的面積，進(jìn)而得到△AOD的面積。根據(jù)三角形的面積公式即可求出PE+PF的值是

【點(diǎn)評(píng)】初看此題，點(diǎn)P的位置不確定，PE、PF的長(zhǎng)度隨之不確定，似乎找不到突破口。但同學(xué)們只要結(jié)合已知條件細(xì)心觀察，就可以由“在‘點(diǎn)P位置變化的過(guò)程中’矩形ABCD的面積不變”推導(dǎo)出“△AOD的面積不變”，這是解此題的關(guān)鍵。本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)。

圖1

圖2

例2如圖2，在?ABCD中，作∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別交AD于點(diǎn)E、F，若AB=8，EF=1，求?ABCD的周長(zhǎng)。

【解析】先根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，再根據(jù)平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)即可求出周長(zhǎng)。答案：50、46。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同學(xué)們的基本功——平行四邊形具有易變性，體現(xiàn)了思維的靈活性。作圖時(shí)要從兩方面考慮：BE、CF的交點(diǎn)在平行四邊形ABCD內(nèi)還是外（也可以思考點(diǎn)E在點(diǎn)F的左還是右）。此題與例1不一樣，貌似不變的圖形背后卻蘊(yùn)含著變化（實(shí)質(zhì)是分類討論）。

有了上面兩題的解題經(jīng)驗(yàn)，下面這道題同學(xué)們做起來(lái)就輕松了。

例3如圖3，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求△BEQ周長(zhǎng)的最小值。

圖3

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值，故答案為：6。

【點(diǎn)評(píng)】在運(yùn)動(dòng)背景下，點(diǎn)Q動(dòng)→△QEB形狀的改變→干擾同學(xué)們的視線→無(wú)法下筆?！鱍EB形狀的變化中有沒(méi)有不變的量呢？同學(xué)們可以由“最小值”聯(lián)想到兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)?！癉E的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值”是解這題的突破口。

在今后的解題中，同學(xué)們要善于從變化中尋找不變的量，這樣既可以快速找到解題突破口，又能發(fā)展思維的靈活性、敏捷性。