周 晟，孔建益，侯 宇，鄒光明

(武漢科技大學(xué) a.冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081)

0 引言

隨著高速、高精度、自動(dòng)化工業(yè)生產(chǎn)的不斷推進(jìn)，串聯(lián)機(jī)械臂在航空航天，設(shè)備制造，產(chǎn)品裝配等多項(xiàng)領(lǐng)域的應(yīng)用也越來越廣泛，對(duì)其在給定工作軌跡下的運(yùn)行時(shí)間、能量消耗、脈動(dòng)沖擊等各項(xiàng)性能指標(biāo)的要求也不斷提高。因此，對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂進(jìn)行工作軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以此縮短生產(chǎn)時(shí)間、減少能量消耗、提高工作效率、降低運(yùn)行過程中產(chǎn)生的脈動(dòng)沖擊、延長(zhǎng)零部件使用壽命具有十分重要的意義，亦是現(xiàn)代機(jī)械臂研究重要的方向。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)軌跡優(yōu)化進(jìn)行了廣泛而深入的研究，管成等引入矢值函數(shù)，運(yùn)用萊布尼茨公式對(duì)5次NURBS曲線進(jìn)行高階求導(dǎo)[1]。分析了NURBS曲線因子對(duì)軌跡規(guī)劃的正向作用，能夠有效減少能耗，增強(qiáng)工作軌跡的平滑性。孫亮等采用基本樣條插值法，對(duì)運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低脈動(dòng)沖擊，從而提高運(yùn)行的平穩(wěn)性[2]。但上述研究均未提出算法進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果局限于局部最優(yōu)而未達(dá)到全局最優(yōu)。喻驍?shù)炔捎昧Ｗ尤核惴▽?duì)響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，未考慮多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，各項(xiàng)性能指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性[3]。

文中在上述研究基礎(chǔ)上，結(jié)合改進(jìn)人工蜂群算法，以串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)行時(shí)間、能量消耗和脈動(dòng)沖擊為目標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，利用五次NURBS曲線對(duì)運(yùn)行軌跡進(jìn)行插值優(yōu)化，構(gòu)建通過指定關(guān)節(jié)位置點(diǎn)且加加速度連續(xù)的關(guān)節(jié)軌跡曲線。通過改進(jìn)人工蜂群算法實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)軌跡優(yōu)化，求解Pareto最優(yōu)解集，構(gòu)造歸一化權(quán)重目標(biāo)函數(shù)，獲得滿足約束條件的最優(yōu)解及相應(yīng)運(yùn)行軌跡。取PUMA560串聯(lián)機(jī)械臂為對(duì)象，設(shè)定相關(guān)參數(shù)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證算法的有效性。上述研究能有效提高串聯(lián)機(jī)械臂整體工作指標(biāo)，對(duì)現(xiàn)代化生產(chǎn)能力的提高具有重要意義。

1 軌跡規(guī)劃及目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

1.1 基于NURBS曲線的軌跡規(guī)劃

針對(duì)給定工作軌跡，選取其所在任務(wù)空間，對(duì)空間內(nèi)整體軌跡進(jìn)行離散化處理[4]。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，求取優(yōu)化分析所需的理論關(guān)節(jié)點(diǎn)pji=(qji,ti),其中j=1,2…n，i=1,2…m，n為機(jī)械臂關(guān)節(jié)數(shù)，m為關(guān)鍵路徑點(diǎn)數(shù)，qji為關(guān)節(jié)j在點(diǎn)i處的角度值，ti為該處時(shí)間。將串聯(lián)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，表示為構(gòu)造滿足約束條件的軌跡方程，運(yùn)用k次NURBS曲線理論構(gòu)建串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)行軌跡數(shù)學(xué)模型：

(1)

式中,設(shè)定u時(shí)刻關(guān)節(jié)位置為P(u)；ωi為NURBS曲線權(quán)因子；Di為NURBS曲線控制頂點(diǎn)；Ni,k為通過節(jié)點(diǎn)矢量U定義的u向k次B樣條有理基函數(shù)，其中U={a…auk+1…um-k-1b…b}

為滿足首末控制頂點(diǎn)均由構(gòu)造出的NURBS曲線經(jīng)過，設(shè)定a=0,b=1，全部i,ωi>0,且設(shè)定：

(2)

根據(jù)等式(2)將等式(1)轉(zhuǎn)換為：

(3)

式中，Ri,k(u)為有理基函數(shù)，采用函數(shù)表達(dá)式Ri,k(u)表示u∈[0,1]區(qū)間內(nèi)的分段有理函數(shù)。

根據(jù)等式(3)可得：

(4)

式中，A(u)為矢值函數(shù)，運(yùn)用Leibniz formula對(duì)A(u)進(jìn)行P(u)的高階導(dǎo)矢函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)計(jì)算，可得：

(5)

根據(jù)等式(5)可得：

(6)

采用等式(6)可計(jì)算出對(duì)P(u)進(jìn)行k階導(dǎo)矢函數(shù)表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果。

根據(jù)5次NURBS軌跡規(guī)劃理論，關(guān)節(jié)曲線需經(jīng)過規(guī)劃問題中指定的關(guān)節(jié)位置點(diǎn)，以此選取經(jīng)過指定關(guān)節(jié)位置點(diǎn)控制頂點(diǎn)的NURBS曲線，由此可得：

(7)

式中，i=0,1,2…,n，以n表示指定關(guān)節(jié)位置數(shù)；Dj表示NURBS曲線上的n+k個(gè)控制頂點(diǎn)；k表示NURBS曲線的次數(shù)；j=0,1,2…,n+k-1。

根據(jù)串聯(lián)機(jī)械臂末端執(zhí)行器,5次NURBS曲線關(guān)節(jié)軌跡函數(shù)式及實(shí)際工況，設(shè)置4個(gè)約束條件，由此可得n+5個(gè)軌跡約束方程：

(8)

式中，vs、as為串聯(lián)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)起始速度和加速度；ve、ae為串聯(lián)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)停止速度和加速度，依據(jù)實(shí)際工況設(shè)定其參數(shù)數(shù)值。根據(jù)控制頂點(diǎn)Dj、權(quán)因子ωj和時(shí)間點(diǎn)u等各項(xiàng)參數(shù)，即可構(gòu)建通過指定位置，且加加速度連續(xù)的關(guān)節(jié)軌跡曲線。

1.2 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

生產(chǎn)中為滿足工業(yè)化需求，對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂工作狀態(tài)下的運(yùn)行時(shí)間、能量消耗和脈動(dòng)沖擊等關(guān)鍵性能指標(biāo)進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)所需優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)及約束條件進(jìn)行如下規(guī)定：

位置約束：|qji(t)|≤Qjmax

(9)

式中，S1為路徑總時(shí)間，是各路徑點(diǎn)之間運(yùn)行時(shí)間間隔之和，以此對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂整體運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行有效衡量；S2為工作狀態(tài)下運(yùn)行加速度，以此對(duì)機(jī)械臂能耗指標(biāo)進(jìn)行有效衡量；S3為工作狀態(tài)下運(yùn)行軌跡加加速度值，以此對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂脈動(dòng)沖擊進(jìn)行有效衡量；Qjmax、Vjmax、Ajmax、Jjmax為相應(yīng)關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和加加速度的最大值。

2 算法原理及步驟

2.1 標(biāo)準(zhǔn)人工蜂群算法

人工蜂群算法是一種依據(jù)蜜蜂種群采蜜的生物行為，所研究出的群智能優(yōu)化算法。該算法中的蜂群整體由采蜜蜂、旁觀蜂和偵查蜂三種類型組成，將蜜蜂尋找蜜源過程抽象為尋找問題最優(yōu)解過程[5-7]。

首先，ABC算法在D維解空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)初始蜜源xi=(xi1,xi2…xiD)，采蜜蜂根據(jù)等式(10)在蜜源附近進(jìn)行全局搜索。

vij=xij+R(xij-xkj)

(10)

式中，k∈{1,2,…N}，j∈{1,2,…D}，k，j均為隨機(jī)值且滿足j≠i；通過R∈[-1,1]實(shí)現(xiàn)對(duì)鄰域范圍的控制。

假設(shè)搜索到的新蜜源適應(yīng)度值高于舊蜜源，則以新蜜源位置代替舊蜜源位置，否則保持不變。當(dāng)所有采蜜蜂完成搜索后，返回交流區(qū)通過搖擺舞將蜜源信息分享給旁觀蜂。旁觀蜂獲取信息后，根據(jù)貪婪選擇策略依等式(11)計(jì)算所得概率值對(duì)蜜源進(jìn)行選擇。

(11)

式中，pi為第i個(gè)蜜源的選擇概率值；fitni為第i個(gè)蜜源的適應(yīng)度值；fi為所需優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)。

假定采蜜蜂經(jīng)過limit次嘗試后仍未提高解的質(zhì)量，則采蜜蜂角色轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹榉?，且偵查蜂依?jù)等式(12)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新解代替原來的解。

xij=xmin,j+rand(0,1)(xmax,j-xmin,j)

(12)

式中，xij為第i個(gè)解的第j維分量；xmax,j，xmin,j分別為解的最大值及最小值；rand(0,1)為[0,1]內(nèi)隨機(jī)值。

2.2 改進(jìn)人工蜂群算法

標(biāo)準(zhǔn)ABC算法在進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化時(shí)易局限于局部最優(yōu)、收斂速度較慢等缺陷，為彌補(bǔ)上述缺陷對(duì)局部搜索策略進(jìn)行一定改進(jìn)，據(jù)此提出一種基于改進(jìn)局部搜索策略的ABC算法。研究發(fā)現(xiàn)混沌局部搜索在面對(duì)較小的搜索空間時(shí)具有高效的搜索尋優(yōu)能力，因此在進(jìn)行空間搜索時(shí)，旁觀蜂以當(dāng)前最優(yōu)解的混沌局部搜索策略進(jìn)行尋優(yōu)操作。

首先，依據(jù)Logistic生成混沌序列[8]：

Ci+1=4·Ci·(1-Ci)

(13)

式中，i∈{1,2,…M}；Ci∈[0,1]且Ci≠0,0.25,0.50,0.75,1.00；M為混沌序列長(zhǎng)度。

利用等式(14)求取具有混沌性質(zhì)的蜜源當(dāng)前位置chxij：

chxij=Cj·xij

(14)

式中，xij為第i個(gè)解的第j維分量；Cj為混沌序列的第j維分量。

利用等式(15)求取新蜜源位置：

(15)

式中，xgb為當(dāng)前最優(yōu)解；a為縮放因子；itx為當(dāng)前迭代次數(shù)；MCN為最大迭代次數(shù)。

為提高ABC算法收斂精度與速度，有效避免解的隨機(jī)性，并使其局部搜索范圍隨著迭代次數(shù)上升而逐漸減少，提高算法局部搜索能力，偵查蜂采用當(dāng)前最優(yōu)解的自適應(yīng)偵查策略，如式(16)所示[9-10]。

(16)

2.3 改進(jìn)人工蜂群算法基本步驟

改進(jìn)算法流程圖如圖1所示，算法基本步驟如下：

Step 1：蜜源xi初始化，設(shè)定最大迭代次數(shù)、混沌序列長(zhǎng)度等基本參數(shù)；

Step 2：采蜜蜂依據(jù)等式(10)依次在每個(gè)蜜源附近進(jìn)行搜索，對(duì)比新舊蜜源的適應(yīng)度值；如果新蜜源適應(yīng)度值較大則更換蜜源位置，否則不變；

Step 3：選取當(dāng)前最優(yōu)蜜源信息，提供給等式(15)進(jìn)行計(jì)算；

Step 4：依據(jù)等式(11)計(jì)算每個(gè)蜜源被選擇的概率，旁觀蜂依據(jù)貪婪選擇策略選取蜜源，按照等式(15)進(jìn)行搜索。

Step 5：如果搜索次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)limit且未更新，則偵查蜂按照等式(16)在當(dāng)前最優(yōu)蜜源周圍，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新的蜜源位置。

Step 6：對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行記錄。

Step 7：對(duì)迭代次數(shù)進(jìn)行判斷，是否已達(dá)到最大迭代次數(shù)MCN，若達(dá)到則輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到Step2進(jìn)入循環(huán)。

圖1 改進(jìn)人工蜂群算法流程圖

3 仿真分析

通過具有普適性的PUMA560串聯(lián)機(jī)械臂對(duì)算法進(jìn)行分析驗(yàn)證，設(shè)定串聯(lián)機(jī)械臂工作軌跡，對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂完成規(guī)定任務(wù)的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使其優(yōu)化結(jié)果在滿足實(shí)際工況的同時(shí)趨于全局最優(yōu)。

3.1 機(jī)械臂建模

繪制串聯(lián)機(jī)械臂連桿模型圖，按照D-H約定在圖中建立關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，其結(jié)果如圖2所示。通過串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)理論獲取D-H參數(shù)，如表1所示，依據(jù)表1求解出串聯(lián)機(jī)械臂正、逆解函數(shù)表達(dá)式。

圖2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

序號(hào)aiαidiθi10-900θ1200d2θ23a200θ34a30d4θ450-900θ560900θ6

表1中，αi表示為連桿扭曲；ai表示為連桿長(zhǎng)度；di表示為連桿偏置；θi表示為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。

通過Ai矩陣所描述的齊次變換關(guān)系與D-H約定得到連桿變換等式：

(17)

式中,Cθi=cosθi；Sai=sinai；Sθi=sinθi；Cai=cosai；C-1θi=cos-1θi；S-1θi=sin-1θi；將表1數(shù)據(jù)帶入連桿變通式后，得到相應(yīng)的齊次變換矩陣等式：

(18)

根據(jù)等式，求解相應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)正向模型如等式(19)～式(21)所示。

px=c1·[a2·c2+a3·c23-d4·s23]-d2·s1

(19)

py=s1·[a2·c2+a3·c23-d4·s23]+d2·c1

(20)

pz=-a3·s23-a2·s2-d4·c23

(21)

運(yùn)用仿真軟件根據(jù)表1構(gòu)建串聯(lián)機(jī)械臂模型，如圖3所示。

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

3.2 參數(shù)設(shè)置

仿真對(duì)象PUMA560串聯(lián)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)限制參數(shù)如表2所示，各關(guān)節(jié)運(yùn)行軌跡采用五次NURBS曲線進(jìn)行構(gòu)建，為貼近實(shí)際工況設(shè)定啟動(dòng)、停止時(shí)刻的速度值、加速度值均為0。設(shè)定改進(jìn)人工蜂群算法最大迭代次數(shù)100，維數(shù)為30，蜜源、采蜜蜂和旁觀蜂數(shù)目均為50，閾值參數(shù)limit=100。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

4 仿真結(jié)果分析

根據(jù)改進(jìn)人工蜂群算法，求解出軌跡運(yùn)行時(shí)間、能量消耗和脈動(dòng)沖擊均趨于最優(yōu)的多目標(biāo)優(yōu)化Pareto前沿面，如圖4所示。根據(jù)圖示信息可知，能量消耗性能指標(biāo)與脈動(dòng)沖擊性能指標(biāo)表現(xiàn)為正向相關(guān)，與整體運(yùn)行時(shí)間性能指標(biāo)趨于負(fù)相關(guān)。

圖4 Pareto解集示意圖

為滿足實(shí)際要求，構(gòu)造歸一化權(quán)重目標(biāo)函數(shù)如式(28)所示，在Pareto解集中選取全局最優(yōu)且滿足約束條件的最優(yōu)解。

(28)

式中，設(shè)定N1，N2，N3為實(shí)現(xiàn)各目標(biāo)函數(shù)處于同一范圍，α1，α2，α3為根據(jù)實(shí)際工況需求，所設(shè)定的各目標(biāo)函數(shù)值所占的權(quán)重系數(shù)，對(duì)等式(28)進(jìn)行最小化求解，即可獲取所需最優(yōu)解。

圖5 各關(guān)節(jié)位移曲線

(a) 關(guān)節(jié)1速度、加速度及加加速度 (b) 關(guān)節(jié)2速度、加速度及加加速度

(c) 關(guān)節(jié)3速度、加速度及加加速度 (d) 關(guān)節(jié)4速度、加速度及加加速度

(e) 關(guān)節(jié)5速度、加速度及加加速度 (f) 關(guān)節(jié)6速度、加速度及加加速度圖6 各關(guān)節(jié)速度、加速度及加加速度曲線

5 結(jié)論

(1)針對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂多目標(biāo)軌跡規(guī)劃問題，利用5次NURBS曲線對(duì)運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化分析，有效減小插值計(jì)算過程中表達(dá)式初始計(jì)算的誤差值。

(2)提出改進(jìn)人工蜂群算法，該算法收斂速度較快、搜索空間較廣。其中旁觀蜂以當(dāng)前最優(yōu)解的混沌局部搜索策略進(jìn)行尋優(yōu)操作，在面對(duì)較小的搜索空間時(shí)具有高效的搜索尋優(yōu)能力。偵查蜂采用當(dāng)前最優(yōu)解的自適應(yīng)偵查策略，提高算法收斂精度與速度。

(3)選用PUMA560串聯(lián)機(jī)械臂，以其整體工作時(shí)間、能量消耗和脈動(dòng)沖擊為優(yōu)化目標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。驗(yàn)證了算法的有效性，提高串聯(lián)機(jī)械臂的整體工作性能，為后續(xù)研究與分析奠定理論基礎(chǔ)。