譚景寶 李明

(1. 合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)?；A(chǔ)部， 合肥 230013； 2. 安徽文達信息工程學(xué)院， 合肥 231201)

近年來，我國政府對計劃生育政策逐步作了重大調(diào)整。自2015年開始，已全面實施二孩政策。人口問題是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，生育政策的變化，必然會使人口數(shù)量、人口質(zhì)量和人口結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。在這種新形勢下，原有的人口系統(tǒng)模型研究也需隨之調(diào)整，以適應(yīng)新的人口發(fā)展趨勢。本次研究將在現(xiàn)有人口系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上[1-4]，探討二孩政策下的人口系統(tǒng)模型，建立和補充新的人口系統(tǒng)模型。

1 常用人口系統(tǒng)模型

1.1 非線性人口發(fā)展方程

簡單描述生物種群模型：

(1)

在方程組(1)中，通過微分公式，對種群群落數(shù)量N(t)變化的速率進行分析，即分析離散狀態(tài)下的時間與種群數(shù)量關(guān)系。其中，b為種群群落的出生系數(shù)；d為種群群落的死亡系數(shù)；γ為種群群落數(shù)量N(t)的增長系數(shù)。

Malthus人口模型：

(2)

方程組(2)與方程組(1)在函數(shù)表達形式上有著一定的相似性。p(t)代表的是不同時間的人口增長系數(shù)，即相關(guān)研究內(nèi)容方面的種群樣本總數(shù)。然而，方程組(1)中種群群落的增長系數(shù)在種群總量增加的情況下卻不斷降低，這不利于種群群落人口數(shù)量的研究。針對此問題，可應(yīng)用Logistic分析法構(gòu)建相關(guān)模型，使其與生態(tài)學(xué)中的人口模型研究相適應(yīng)。具體模型如方程組(3)所示：

(3)

在方程組(3)中，某一時刻t的種群群落總數(shù)為N(t)，種群環(huán)境生存常數(shù)為k，種群生活環(huán)境的實際容量(也稱種群增長系數(shù)) 為γ。相對于方程組(1)(2)來說，方程組(3)的適用性較強。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出與我國人口發(fā)展相適應(yīng)的模型，如方程組(4)所示：

(4)

在方程組(4)中，p(t)表示在t時刻某一穩(wěn)定環(huán)境中的人口總數(shù)情況。其中，δ0為環(huán)境總量，ω0則為其人口增長系數(shù)。利用假設(shè)法，假設(shè)穩(wěn)定生態(tài)環(huán)境中人口出生、死亡與年齡均無相關(guān)性。方程組(4)能夠在一定程度上應(yīng)對傳統(tǒng)線性人口動力學(xué)模型對人口數(shù)量增長與自然資源的適應(yīng)性問題。由此，得到對應(yīng)的適應(yīng)模型：

假設(shè)增量h>0，用方程表示為：

(5)

dp(a,t)代表的是t

p(a,0)=p0(a)

(6)

這里忽略了遷移的影響，仿照方程組(4)，假設(shè)：

d(a,t)=[μ(a,t)-kN(t)]p(a,t)

(7)

在方程(7)中，μ(a,t)為死亡率相對函數(shù)，k是環(huán)境容量，N(t)為在t時刻下社會人口總量。設(shè)p(a,t)可微，則有：

(8)

結(jié)合式(6)、(7)、(8)，得到式(9)：

=-[μ(a,t)-kN(t)]×p(a,t)

(9)

考慮遷移因素，則有式(10)：

=-[μ(a,t)-kN(t)]×p(a,t)+f(a,t)

(10)

于是，得到非線性人口動力學(xué)方程：

(11)

其中：p0(a)、β(t)、h(a,t)、k(a,t)分別代表最大育齡總數(shù)、規(guī)格化條件、生育模式、總和生育率。方程組(11)有別于線性動力學(xué)方程，式中社會死亡率和總?cè)藬?shù)相關(guān)，即人口的生存依賴于人口總?cè)萘俊?/p>

我們提出的非線性人口動力學(xué)方程，可以更準(zhǔn)確地反映社會人口的出生與死亡與其總?cè)萘康年P(guān)系。在方程(6)中，令

d(a,t)=μ(a,t,N(t))p(a,t)

(12)

為了區(qū)分，稱μ(′, ″ ,′)為死亡率，設(shè)β(a,t,N(t))為t時刻年齡為a的個體在平均單位時間內(nèi)的平均生育量，即生育率。β依賴N(t)，則邊界條件為：

(13)

設(shè)人口初始密度函數(shù)為

p(a,0)=p0(a)

(14)

結(jié)合式(6)(12)(13)(14)，得到方程組(15)：

(15)

在方程組(15)中，f(a,t)代表t

1.2 定常人口預(yù)測方程

通常，對于較短時間內(nèi)的人口狀態(tài)預(yù)測，大多進行簡單化的處理即可。在這一時間段內(nèi)，需要以生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定為前提，人口出生、死亡率與時間無相關(guān)性，而僅受樣本年齡的影響。采用年齡作為人口數(shù)量變化的函數(shù)參量，所得短期人口數(shù)量預(yù)測結(jié)果較為準(zhǔn)確。需要注意的是，社會生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定主要包括人口性別比例的穩(wěn)定，以及生育率、死亡率的保持。在此情況下，可以通過式(16)推導(dǎo)人口發(fā)展公式：

(16)

在相對封閉穩(wěn)定的社會環(huán)境中，外部遷入人口為零，即遷移率f(a,t)=0。基于模型分析的人口發(fā)展非線性方程所涉及的變量只有內(nèi)部樣本的年齡，由此可以得到方程組(15)的變式，即式(17)：

(17)

參數(shù)意義同方程組(15)，仍假定社會封閉。這里Q=(0,a+)×(0,T),其中a+,T∈(0,+∞)。

2 Leslie模型

在龐大的人口基數(shù)影響下，我國人口發(fā)展呈現(xiàn)出明顯的“倒金字塔”形狀。近年來，人口老齡化現(xiàn)象日益嚴(yán)重，男女比例失衡，人口紅利已經(jīng)明顯低于東南亞地區(qū)國家。這在加重年輕人經(jīng)濟負擔(dān)的同時，也削弱了我國經(jīng)濟發(fā)展的優(yōu)勢。為解決這一問題，我國政府在堅持貫徹計劃生育基本國策的同時，全面放開二孩政策，以應(yīng)對當(dāng)前人口結(jié)構(gòu)失衡所帶來的問題。面對此問題，可以利用Leslie模型進行人口系統(tǒng)模型研究。首先，選取具適應(yīng)性的評價指標(biāo)。在Leslie模型中，所選取的相關(guān)模型指標(biāo)為人口老齡化模型、新生兒出生率、適齡勞動人口數(shù)量、不同年齡段人口總數(shù)等。然后，構(gòu)建人口系統(tǒng)模型。

構(gòu)建人口系統(tǒng)模型，需合理分配人口系統(tǒng)模型的年齡段。為了保證人口系統(tǒng)模型的穩(wěn)定，內(nèi)部性別比例需要保持恒定，并能夠通過其比例系數(shù)進行相應(yīng)性別人數(shù)的推斷。在模型構(gòu)建過程中，可以按年齡段分組。用i表示研究樣本的年齡范圍，用j表示時間段，劃分區(qū)間為10 a。

考慮到女性生育年齡的限制，當(dāng)女性分組超過m之后，模型就沒有了實際意義，由此帶來的影響也就可以忽略不計。

將女性年齡分為m+1組，通過下式得出不同組別之間人員的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

將矩陣A代入以上方程組后，可得：Nj+1=ANj。

矩陣A就是Leslie模型的命名依據(jù)，該矩陣也就是Leslie矩陣。如果矩陣中的群向量N0=(N(0,0),N(1,0),…,N(m,0))T明確，則該穩(wěn)定環(huán)境下的樣本年齡分布情況可以通過迭代的方法進行如下計算：

Nj+1=ANj=…=Aj+1N0

為了降低研究難度，可以針對育齡婦女的結(jié)婚年齡和二胎生育的時間間隔調(diào)整h(i,j),使其指標(biāo)能夠達到最優(yōu)狀態(tài)。在此情況下，對Leslie模型變換如下：

Nj+1=[A(j)+B(j)]Nj

對于某一時間段內(nèi)，h(i,j)k(i,j)與j無相關(guān)性。根據(jù)Leslie系統(tǒng)模型的構(gòu)建結(jié)果，將人口年齡按照0～25、26～45、46～65、66～85、86～105歲進行區(qū)分，并繪制人口數(shù)量的變化曲線。按照不同年齡段的人口總數(shù)，根據(jù)Leslie矩陣計算其特征向量。在人口增加的情況下，特征向量的值大于1；在人口減少的情況下，則特征向量小于1。為實現(xiàn)基于全面二孩政策的人口總數(shù)增加，則需要增加Leslie系統(tǒng)模型的特征向量值。

按照當(dāng)前我國人口結(jié)構(gòu)的實際情況，在沒有人口出入的情況下，我國人口總數(shù)的Leslie模型將呈現(xiàn)出先降低、后增長的趨勢。在歷時25 a之后，人口規(guī)模將達到最大，人口總數(shù)保持一定時期的穩(wěn)定，然后緩慢下降。所以，人口基數(shù)的大小及整體人口年齡結(jié)構(gòu)的分布情況，將直接影響到Leslie系統(tǒng)模型的分析結(jié)果。

3 結(jié) 語

在使用Leslie系統(tǒng)模型的過程中，其中變量關(guān)系主要為人口與時間的關(guān)系。隨著時間的變化，不同年齡段人群的數(shù)量也會隨之發(fā)生改變。借助離散數(shù)學(xué)分析方法，可以通過矩陣的特征根進行人口發(fā)展趨勢的預(yù)測，其預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性較高?；诙⒄叩腖eslie人口系統(tǒng)模型中，老齡人口的比重將持續(xù)增加，這在一定程度上反映了我國計劃生育政策的不足。二孩政策的實施并不能立即解決當(dāng)前我國所面臨的人口老齡化問題。通過人口結(jié)構(gòu)的合理調(diào)整，可以使人口老齡化問題逐步得到緩解。