陳傳熙

(浙江省玉環(huán)中學(xué) 317600)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必須要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、問題、方法、思想的整體認(rèn)識(shí)、系統(tǒng)思維、過程體驗(yàn)與心靈感悟真正地落到實(shí)處，這取決于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的水平，也取決于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的到位與助力程度．好的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)有利于思考，也有助于探究，并能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與思想感悟.

1 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的操作流程

為了促進(jìn)學(xué)生的體驗(yàn)與感悟，高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)有三重預(yù)設(shè).

(1)基礎(chǔ)預(yù)設(shè)．要注意對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)情的總體把握，既要關(guān)注相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的整體要求，又要注意數(shù)學(xué)核心概念與思想方法的理解；既要關(guān)注相應(yīng)教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)確把握，更要注意學(xué)情的調(diào)查與學(xué)生能力的準(zhǔn)確定位；

(2)中級(jí)預(yù)設(shè)．要關(guān)注數(shù)學(xué)核心知識(shí)、方法的預(yù)設(shè)處理，既要重視核心概念的背景挖掘，又要注重典型問題的精心選擇與合理組織；既要注意相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)化預(yù)設(shè)，又要考慮相關(guān)數(shù)學(xué)方法的一般化預(yù)演；

(3)高級(jí)預(yù)設(shè)．要關(guān)注學(xué)生的過程體驗(yàn)與思想感悟，既要注重?cái)?shù)學(xué)概念的精致與學(xué)生的理解，又要注意相關(guān)問題的分析與學(xué)生的探究過程；既要關(guān)注相應(yīng)知識(shí)與方法的練習(xí)預(yù)設(shè)，更要強(qiáng)調(diào)知識(shí)系統(tǒng)的重構(gòu)與思想感悟的心路歷程.

具體操作流程的設(shè)計(jì)如圖1所示.

圖1 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的操作流程

2 基于體驗(yàn)與感悟的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

基于上述操作流程，通過合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的背景素材，引發(fā)學(xué)生的興趣和參與意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，激發(fā)其內(nèi)心的真實(shí)體驗(yàn)與心靈感悟，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生較為全面的認(rèn)識(shí)，提高相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，為未來的發(fā)展和進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

現(xiàn)以“直線與平面所成的角[1](以下簡稱‘線面角’)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例說明如下.

2.1 分支章節(jié)的整體把握

每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)內(nèi)容都是相應(yīng)數(shù)學(xué)分支中的一個(gè)點(diǎn)，只有站在整個(gè)分支的高度來設(shè)計(jì)教學(xué)才能從整體上把握所授內(nèi)容的地位與作用、能力與要求、系統(tǒng)與建構(gòu)，才能利于學(xué)生真正理解和掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵、方法運(yùn)用、思想本質(zhì).

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科．立體幾何的學(xué)習(xí)可培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流和空間想象的能力，進(jìn)而形成一般的推理論證能力[2]，高中學(xué)習(xí)立體幾何主要通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法去認(rèn)識(shí)與探索幾何圖形及其性質(zhì)．立體幾何的學(xué)習(xí)一共安排了三章內(nèi)容，主要涉及立體幾何的整體認(rèn)識(shí)、位置關(guān)系與運(yùn)算求解，其中“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”承載著培養(yǎng)立體幾何基礎(chǔ)能力的核心任務(wù)，而“線面角”就落在這個(gè)核心章節(jié)之中.

空間角的知識(shí)系統(tǒng)包括兩條異面直線所成的角(線線角)、直線與平面所成的角(線面角)、兩個(gè)平面所成的角(二面角的平面角)這三類，其中線線角容易理解和把握，后兩類角具有更強(qiáng)的空間意義，能進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)．線面角上承線線角，下啟二面角，具有一定的基礎(chǔ)性與學(xué)習(xí)的示范性，是建構(gòu)整個(gè)空間角系統(tǒng)的核心．同時(shí)，立體幾何運(yùn)算的兩大對(duì)象就是角和距離，線面角與距離也密不可分，在空間想象、推理、計(jì)算等層面上均有重要作用.

2.2 課時(shí)分解與目標(biāo)定位

面對(duì)不同的地域、學(xué)校與學(xué)生，相關(guān)的教學(xué)要求與學(xué)習(xí)定位應(yīng)有所差異．故對(duì)于教參中的課時(shí)分解、目標(biāo)分析等建議，不能簡單地照抄照搬，應(yīng)在反復(fù)研讀的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，形成較為合理的認(rèn)識(shí)、見解與定位.

一般地，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間應(yīng)基于知識(shí)的廣度與學(xué)習(xí)的難度，及其在相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)中的地位和重要性．對(duì)于線面角，教材安排了簡單的概念學(xué)習(xí)和1個(gè)例題(角的尋找與運(yùn)算)．按照教參的1個(gè)課時(shí)建議，可能出現(xiàn)概念學(xué)習(xí)時(shí)間的壓縮和運(yùn)算的提前進(jìn)入，這會(huì)導(dǎo)致概念的產(chǎn)生因簡單而粗糙，學(xué)生的理解因被動(dòng)而生硬，削弱尋找線面角的想象與體驗(yàn)過程，進(jìn)而難以感悟到其中隱含的思想方法．因此，用2個(gè)課時(shí)更為合理. 其中，第1課時(shí)主要著眼于線面角的產(chǎn)生、發(fā)展與聯(lián)系，第2課時(shí)則專注于線面角的尋找、求解、運(yùn)用與延伸．基于上述分析，確定了如下的學(xué)習(xí)目標(biāo)與重、難點(diǎn).

學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解“最小角定理”，理解線面角的概念，體會(huì)線面角的唯一性與最優(yōu)化過程．能在不同圖形中準(zhǔn)確尋找、證明與求解線面角，培養(yǎng)幾何直觀、空間想象和推理論證能力；

重點(diǎn)：線面角概念的形成與理解、尋找與求解；

難點(diǎn)：線面角的唯一性理解，如何尋找和確定線面角.

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生在線面角的產(chǎn)生過程中感受探索的樂趣和數(shù)學(xué)美的熏陶，在尋找過程中逐步加深概念理解、促進(jìn)思維發(fā)展，在深切的體驗(yàn)與感悟中，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的力度，提高思維的水平.

2.3 核心概念與思想方法理解

每一節(jié)課都有其核心概念與思想方法，它們可能是分支或章節(jié)的核心或關(guān)鍵點(diǎn)，也可能是上述核心的分解與關(guān)節(jié)點(diǎn)．對(duì)此，教師必須要理解到位，力求達(dá)到概念與思想的本質(zhì)，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生理解本質(zhì)，體悟思想方法.

線面角屬于空間角的范疇，當(dāng)然也屬于角的知識(shí)系統(tǒng)．學(xué)生以往所學(xué)的平面角有描述性與發(fā)生式兩種概念．直觀上，角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形．運(yùn)動(dòng)上，角是由一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所產(chǎn)生的直觀圖形．因此，作為空間范疇的線面角，它既有屬于空間層面的立體感(直線與平面之間的相對(duì)位置)，也有屬于平面層面的直觀性(直線與平面內(nèi)某條直線之間的夾角)．因此，解決線面角問題的基本思想方法就是如何將其轉(zhuǎn)化與化歸為平面角，其關(guān)鍵在于確定平面內(nèi)的哪條直線，這就需要選擇與比較，其間自然蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)．基于不同角之間的運(yùn)動(dòng)變化，在直觀感知、觀察實(shí)驗(yàn)、說理計(jì)算、操作確認(rèn)、思辨論證等思維過程中，實(shí)現(xiàn)線面角的概念形成與位置確定.

2.4 學(xué)情與知識(shí)能力的定位

作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的知識(shí)、能力基礎(chǔ)必然是教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)．教師需要調(diào)查、了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，針對(duì)其數(shù)學(xué)知識(shí)與能力水平、思維習(xí)慣與方式進(jìn)行定位與布局，力求契合實(shí)際、適時(shí)調(diào)整、漸進(jìn)引導(dǎo)，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

隨著初中平面幾何學(xué)習(xí)難度與要求的明顯降低，學(xué)生的幾何推理論證能力也明顯下降．隨著空間向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)，以及高中數(shù)學(xué)必修模塊的課時(shí)制約，也間接導(dǎo)致了立體幾何的課時(shí)被壓縮、要求被削弱、進(jìn)度被加快．為了提高學(xué)生的成績，題海戰(zhàn)術(shù)大行其道，在一定程度上減少了體驗(yàn)與領(lǐng)悟的時(shí)間與空間，使得學(xué)生的語言表達(dá)能力、理性思維水平、基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升均受到了一定的制約．盡管本校學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)較好，但他們在幾何方面的思維水平仍然不高．上述學(xué)情也是建議用2課時(shí)來學(xué)習(xí)的重要依據(jù).

2.5 核心概念的背景挖掘

數(shù)學(xué)各個(gè)分支的核心概念必然有其自然發(fā)生與發(fā)展的歷史背景．每節(jié)課的核心概念既可能與其相關(guān)，也可能與科學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、日常生活相關(guān)，這些背景的挖掘有助于知識(shí)、方法、思想的前后聯(lián)系、系統(tǒng)建構(gòu)與延伸發(fā)展.

線面角是線面位置關(guān)系在數(shù)量上的一種反映．求解的關(guān)鍵在于尋找已知直線在平面上的射影，故線面垂直是解決線面角的知識(shí)基礎(chǔ)和核心背景．當(dāng)然，線線角、二面角等也是其基礎(chǔ)與延伸的背景．那么，線面角的現(xiàn)實(shí)背景呢？事實(shí)上，生活中常見移栽樹木與電線桿的固定，遮蔭蓬的搭建與支撐，還有比薩斜塔的直觀性，這些都構(gòu)成了線面角的實(shí)際背景與現(xiàn)實(shí)參照，也是設(shè)計(jì)教學(xué)情境的現(xiàn)實(shí)背景與出發(fā)點(diǎn).

2.6 典型問題的選擇與組織

問題是數(shù)學(xué)知識(shí)的理想載體，典型問題更是承載整個(gè)章、節(jié)的核心概念、方法與思想的學(xué)習(xí)推進(jìn)劑，相關(guān)問題的選擇與組織對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著無比重要的作用．?dāng)?shù)學(xué)情境的載體往往是一個(gè)典型問題的前身，它能將學(xué)生的思維逐步推向縱深．為了理解、掌握知識(shí)，還需要對(duì)問題進(jìn)行變式應(yīng)用.

基于空間層面，尋找典型問題的實(shí)質(zhì)也可以說就是尋找一個(gè)典型的圖形.

就線面角而言，平面的一條斜線、一條垂線及斜線在平面上的射影構(gòu)成了一個(gè)基本圖形，線面角的所有問題均由其生成．在此基礎(chǔ)上，通過圖形變式，即可將本節(jié)課的核心知識(shí)組織起來，將相應(yīng)的典型問題串聯(lián)起來.

圖2

問題1如圖2，OB⊥α，OA,OD分別與平面α交于點(diǎn)A,D，試比較∠OAB,∠OAD的大小，并探討兩者之間的數(shù)量關(guān)系.

注問題1的目的是推導(dǎo)“最小角定理”，順便也可推導(dǎo)cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD這個(gè)副產(chǎn)品，從而使其中的關(guān)系更加清晰化.

圖3

問題2如圖3，AB與平面α交于點(diǎn)B，AO⊥α于O點(diǎn)，BC?α. 若∠ABC=60°，∠OBC=45°，求AB和α的夾角.

注問題2是“最小角定理”的基本應(yīng)用，既能深刻理解概念，還可進(jìn)行相應(yīng)變式.

圖4

問題3如圖4，OB⊥α于B，A,D∈α，若OA=OD，你能得到什么結(jié)論？若已知AB=BD呢？若∠OAB=∠ODB呢？

注問題3是教材練習(xí)的基礎(chǔ)，能將問題2的思維引向縱深，并進(jìn)一步聯(lián)系、類比、延伸到三角形的“心”等相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行相應(yīng)變式.

2.7 相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)化預(yù)設(shè)

數(shù)學(xué)知識(shí)自有其抽象性與形象化的特征．基于認(rèn)知的一般規(guī)律，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，需要合情、形象的處理，然后逐步符號(hào)化、形式化，進(jìn)而達(dá)到知識(shí)的數(shù)學(xué)化理解．?dāng)?shù)學(xué)化也是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)漸行漸近、理解融合、達(dá)到本質(zhì)表達(dá)的過程.

數(shù)學(xué)化從某種意義上來說就是相關(guān)知識(shí)的符號(hào)化與形式化．基于線面垂直，求解線面角的規(guī)范模式為：如圖2，因?yàn)镺B⊥α，則AB就是OA在平面α上的射影，故∠OAB就是OA與α所成的線面角.

當(dāng)然，教學(xué)中不能只限于形式化的表達(dá)，還要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．比如，線面角概念的本質(zhì)就是“最小角”，若只是體會(huì)角的最小性，通過動(dòng)手操作學(xué)生應(yīng)該也能想象得出．但是，若輔之以形式化的推理與運(yùn)算，如圖2，結(jié)合“三垂線定理”，可推導(dǎo)出cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD(或相應(yīng)的正弦形式，進(jìn)而可得cosθ=cosθ1cosθ2)，自然就有結(jié)論∠OAB<∠OAD．這樣處理更加具體也更令人信服，學(xué)生理解也會(huì)更深刻.

2.8 相關(guān)方法的一般化預(yù)設(shè)

在數(shù)學(xué)概念引入、發(fā)生、形成與發(fā)展過程中，在問題分析、探究、求解過程中，往往蘊(yùn)含著概念探索、問題求解的一般性思維方法．通過合理的預(yù)設(shè)與安排，這些方法的體會(huì)、學(xué)習(xí)與感悟?qū)⒂欣趯W(xué)生數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成.

首先是概念形成．通過觀察、思想實(shí)驗(yàn)與空間想象感知角的變化與存在，進(jìn)行直觀猜測．通過大小比較與運(yùn)算探究確定數(shù)量關(guān)系，類比歸納“最小角定理”，進(jìn)而抽象、概括出線面角的概念，從中體會(huì)、感悟?qū)ο蟮奈ㄒ恍耘c思維的最優(yōu)化.

其次是角的尋找．線面角的前提是線面垂直，故尋找或作平面的高才是關(guān)鍵，有了高就有了射影，也就找到了線面角，這也是一個(gè)證明的過程.

在上述過程中，學(xué)生將逐次經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、聯(lián)想、猜測、比較、類比、歸納等合情與演繹推理，逐步養(yǎng)成求實(shí)、說理、批判、質(zhì)疑的理性思維，能從中獲得成功的快樂和美的享受．其間，體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律、從空間到平面的降維轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)變化與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn).

2.9 概念的精致與學(xué)生理解

學(xué)習(xí)概念應(yīng)關(guān)注其來龍去脈，揭示其生成與發(fā)展的過程．為此，可基于生活實(shí)際或數(shù)學(xué)的內(nèi)在發(fā)展需求來創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境．通過問題情境逐步引發(fā)興趣，展開思考與探索，發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)和解決途徑，在知識(shí)發(fā)生的模擬實(shí)驗(yàn)中達(dá)成知識(shí)的再創(chuàng)造．在此過程中，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的合理性、確定性、簡明性和嚴(yán)謹(jǐn)性，也要逐步揭示隱藏在概念背后的數(shù)學(xué)思想方法和認(rèn)識(shí)規(guī)律，讓學(xué)生從中有所感知、領(lǐng)悟，獲得較為深切的思想體驗(yàn).

圖5

概念鋪墊如圖5，旗桿OB高40米，頂端O處掛有一條50米長的繩子．現(xiàn)拉緊繩子并將其下端放在地面α上的A,D兩點(diǎn)(A,B,D不共線)，且AB=BD=30米，此時(shí)OB與α成什么樣的位置關(guān)系？

注線面角的背景是線面相交，線線角是學(xué)生認(rèn)知的“已知區(qū)”．從線面垂直入手，符合從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，也為學(xué)習(xí)提供了一個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”.

直觀感知假設(shè)繩子可自由伸縮，現(xiàn)固定O點(diǎn)，讓A點(diǎn)在α內(nèi)自由移動(dòng)，當(dāng)A逐漸靠近或遠(yuǎn)離B時(shí)，你能感覺到什么？設(shè)想能端起上述圖形直到平面成為眼中的一條直線時(shí)，你能感知到什么？

注在空間想象的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自然感知到AO與α間存在著夾角.

操作確認(rèn)角總是通過兩條直線來體現(xiàn)的，如何表示線面的夾角？為此，需要在α內(nèi)找到一條直線，使它與AO的夾角能代表AO與α的夾角？如圖2，用∠OAB很有道理，但∠OAD就不行嗎？為此，要考察∠OAB與∠OAD的大小或數(shù)量關(guān)系.

注尋找平面內(nèi)的直線合乎自然，猜想∠OAB合乎直覺．教師的反問在不經(jīng)意間將思維引向深處，在反思與轉(zhuǎn)化中營造了良好的主動(dòng)探索氛圍.

圖6

思辨論證聯(lián)想“三垂線定理”，如圖6，過O作OC⊥AD于C，則BC⊥AD．在自主探索、合作交流與適時(shí)引導(dǎo)下，可獲得如下思路.

思路1由OAsin∠OAB=OB

也可利用sin∠OAB=sin∠OACsin∠OCB得出.

思路2由OAcos∠OAB=AB>AC=OAcos∠OAC，

得cos∠OAB>cos∠OAC，從而有∠OAB<∠OAC．

也可利用cos∠OAC=cos∠OABcos∠BAC得出.

合情定義從而證明了：“平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任意直線所成角中的最小角”即“最小角定理”.

回想初中，考慮到兩點(diǎn)之間的路程無數(shù)卻難以確定，而連結(jié)兩點(diǎn)的線段長度卻是最短的，也是唯一的，將其定義為“兩點(diǎn)間的距離”合乎心理預(yù)期，也是最合理的．類比地，既然AO和它在α內(nèi)的射影AB所成的∠OAB是AO和α內(nèi)任意直線所成角中的最小角，它是唯一的，將其定義為“線面角”，也是最合理的.

注數(shù)學(xué)講邏輯也講道理．邏輯性體現(xiàn)了定義的合理性，唯一性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美．在返璞歸真中揭示了概念的發(fā)生過程和數(shù)學(xué)美的本質(zhì).

完整建構(gòu)易知斜線與平面所成角的變化范圍為(0°,90°)，考慮直線與平面垂直、平行(在平面內(nèi))的特殊情形，故線面角的取值范圍應(yīng)為[0°,90°]，從而使得線面角與線面的位置關(guān)系形成一一對(duì)應(yīng)，完成線面角知識(shí)系統(tǒng)的完整建構(gòu).

2.10 問題的分析與學(xué)生探究

通過相關(guān)問題溝通概念與各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，運(yùn)用類比、聯(lián)想、遷移等多種方式，從中體會(huì)知識(shí)、方法、思想間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解概念本質(zhì)，提高解決問題的能力.

對(duì)于問題2，如圖3，利用cos∠ABC=cos∠ABOcos∠OBC即可求解，之后進(jìn)行相應(yīng)變式.

(1)在α內(nèi)旋轉(zhuǎn)BC到BD，使∠OBD=45°，求∠ABD；

(2)若BD在α內(nèi)，且∠ABD=∠ABC，可得什么結(jié)論？

(3)若BD在α內(nèi)，且∠OBD=30°，求∠ABD；

(4)若BC在α內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，求直線AB,BC夾角的取值范圍.

其中，(1)為轉(zhuǎn)換視角，(2)在問題的再解決中發(fā)現(xiàn)角平分線的空間推廣，(3)為逆向運(yùn)用cosθ=cosθ1cosθ2，(4)為強(qiáng)化本質(zhì)認(rèn)識(shí)．通過不同角度的重新審視、探究運(yùn)用，學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)將逐步完善，思想方法將常用常新.

對(duì)于問題3，如圖4，可得斜線段及其射影與線面角三者間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這實(shí)際上就是初中“三線合一”的空間推廣．進(jìn)而，對(duì)于OB⊥α，A,D,E∈α，有如下變式.

(1)若OA=OD=OE，可得什么結(jié)論？

(2)若O到△ADE三邊的距離相等，又能得什么結(jié)論？

(3)若B是△ADE的垂心，又應(yīng)滿足什么條件？

上述分別是三角形外心、內(nèi)心、垂心的空間推廣，體現(xiàn)了空間問題平面化與類比推理的思想.

第1課時(shí)在問題中開始，在探究與求解中獲得知識(shí)、學(xué)習(xí)方法、提高能力，在反思中加深理解，在圖形的變式中形成思維回路，前后呼應(yīng)，縱橫聯(lián)系，渾然一體，循環(huán)上升.

2.11 知識(shí)與方法的練習(xí)預(yù)設(shè)

為了理解知識(shí)、掌握方法、感悟思想，需精選適量的練習(xí)．通過基本問題的研究，形成必要的思維定式，熟練基本套路，在靈活變式、問題探究中進(jìn)行知識(shí)、方法、思想的綜合應(yīng)用與自然融合.

在第2課時(shí)，學(xué)生需要體會(huì)掌握線面角求解的一般方法與基本套路.

首先，研究線面角的兩個(gè)性質(zhì)(教材練習(xí))：①兩條平行線和同一平面所成的角相等；②一條直線和兩個(gè)平行平面所成的角相等．從中關(guān)注線面垂直及線面角的解題模式.

其次，通過如下兩個(gè)基本問題來實(shí)現(xiàn)正確尋找、畫出和求解線面角的目標(biāo)，而問題的設(shè)計(jì)將遵循從易到難、靈活變式、適當(dāng)滲透向量、向后續(xù)內(nèi)容延伸的原則.

圖7

中心問題如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是棱AB,A1D1的中點(diǎn)．試求：

(1)BD1與底面ABCD所成的角；

(2)EF與平面ADD1A1,BCC1B1所成的角；

(3)EF與正方體其余各面所成的角；

(4)EF與正方體各對(duì)角面所成的角.

注正方體、長方體是立幾學(xué)習(xí)的好載體．其中(1)與(2)是線面角的基本模式及漸進(jìn)變式，(3)是位置變式，(4)融合了多種變式．這些問題的層次與梯度，能有效激發(fā)探究欲望，有利于學(xué)生掌握知識(shí)并提高分析和解決問題的能力.

圖8

輔助問題如圖8，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，PC與平面ABC成30°角．試求：

(1)PC與平面PAB所成的角；

(2)PB與平面PAC所成的角；

(3)PA與平面PBC所成的角.

注利用常見的基本圖形或融合長方體，在逐步遞進(jìn)中提供了求解線面角的重要模式，在知識(shí)的自然聯(lián)系中獲得有機(jī)統(tǒng)一.

數(shù)學(xué)中有很多重要的模式或模型，運(yùn)用這些載體可引導(dǎo)思維、溝通聯(lián)系、探索遷移、靈活發(fā)散、引發(fā)思想，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高問題解決的能力.

2.12 知識(shí)的重構(gòu)與思想感悟

在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)適時(shí)探討交流、 回顧反思、體會(huì)方法、感悟思想，營造一個(gè)思維內(nèi)化與思想方法領(lǐng)悟的時(shí)間與空間．在課時(shí)小結(jié)時(shí)，可交流學(xué)習(xí)過程中知識(shí)、方法、思想層面的體驗(yàn)與感悟，以加深理解、提升思維、加強(qiáng)體悟.

在知識(shí)理解上，在最小角、三垂線定理的基礎(chǔ)上得出線面角概念及其范圍，確定其關(guān)鍵是平面的垂線，突出其基本圖形．注意線面角與平面幾何相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與推廣.

在方法體驗(yàn)上，運(yùn)用了觀察實(shí)驗(yàn)、想象聯(lián)想、比較類比、歸納概括等一般性的探究思維與學(xué)習(xí)方法．掌握線面角求解的基本模式，運(yùn)用cosθ=cosθ1cosθ2可求解空間角．通過變式、類比、聯(lián)系、推廣，在多重探究中體會(huì)幾何研究的一般規(guī)律.

在思想感悟上，以線面垂直為基礎(chǔ)來認(rèn)知與求解線面角，體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．線面角取值范圍的確定，體現(xiàn)了其與線面位置關(guān)系的一一對(duì)應(yīng)與知識(shí)系統(tǒng)的完整性．線面角概念的形成過程蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，體現(xiàn)了從直觀操作到空間想象的抽象思維．基于研究對(duì)象的唯一性與最簡性來下定義，在類比中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美與求簡思維．從平面角到空間角、再化空間角為平面角，體現(xiàn)了化空間為平面的立體幾何的基本思想．

在思維延伸上，如何從線面角中孕育出二面角？首先，“最小角定理”的推導(dǎo)蘊(yùn)含了二面角的基本圖形，為二面角的認(rèn)知張開了思維的觸角．其次，可類比進(jìn)行相應(yīng)的演示與思想實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生去想象和發(fā)現(xiàn)二面角.