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      基于體驗(yàn)與感悟的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

      2019-05-24 02:30:10陳傳熙
      數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年4期
      關(guān)鍵詞:面角變式平面

      陳傳熙

      (浙江省玉環(huán)中學(xué) 317600)

      培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),必須要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、問題、方法、思想的整體認(rèn)識(shí)、系統(tǒng)思維、過程體驗(yàn)與心靈感悟真正地落到實(shí)處,這取決于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的水平,也取決于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的到位與助力程度.好的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)有利于思考,也有助于探究,并能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與思想感悟.

      1 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的操作流程

      為了促進(jìn)學(xué)生的體驗(yàn)與感悟,高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)有三重預(yù)設(shè).

      (1)基礎(chǔ)預(yù)設(shè).要注意對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)情的總體把握,既要關(guān)注相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的整體要求,又要注意數(shù)學(xué)核心概念與思想方法的理解;既要關(guān)注相應(yīng)教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)確把握,更要注意學(xué)情的調(diào)查與學(xué)生能力的準(zhǔn)確定位;

      (2)中級(jí)預(yù)設(shè).要關(guān)注數(shù)學(xué)核心知識(shí)、方法的預(yù)設(shè)處理,既要重視核心概念的背景挖掘,又要注重典型問題的精心選擇與合理組織;既要注意相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)化預(yù)設(shè),又要考慮相關(guān)數(shù)學(xué)方法的一般化預(yù)演;

      (3)高級(jí)預(yù)設(shè).要關(guān)注學(xué)生的過程體驗(yàn)與思想感悟,既要注重?cái)?shù)學(xué)概念的精致與學(xué)生的理解,又要注意相關(guān)問題的分析與學(xué)生的探究過程;既要關(guān)注相應(yīng)知識(shí)與方法的練習(xí)預(yù)設(shè),更要強(qiáng)調(diào)知識(shí)系統(tǒng)的重構(gòu)與思想感悟的心路歷程.

      具體操作流程的設(shè)計(jì)如圖1所示.

      圖1 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的操作流程

      2 基于體驗(yàn)與感悟的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

      基于上述操作流程,通過合理的教學(xué)設(shè)計(jì),充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的背景素材,引發(fā)學(xué)生的興趣和參與意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí),激發(fā)其內(nèi)心的真實(shí)體驗(yàn)與心靈感悟,進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生較為全面的認(rèn)識(shí),提高相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),形成積極的情感態(tài)度,為未來的發(fā)展和進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

      現(xiàn)以“直線與平面所成的角[1](以下簡稱‘線面角’)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例說明如下.

      2.1 分支章節(jié)的整體把握

      每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)內(nèi)容都是相應(yīng)數(shù)學(xué)分支中的一個(gè)點(diǎn),只有站在整個(gè)分支的高度來設(shè)計(jì)教學(xué)才能從整體上把握所授內(nèi)容的地位與作用、能力與要求、系統(tǒng)與建構(gòu),才能利于學(xué)生真正理解和掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵、方法運(yùn)用、思想本質(zhì).

      幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科.立體幾何的學(xué)習(xí)可培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流和空間想象的能力,進(jìn)而形成一般的推理論證能力[2],高中學(xué)習(xí)立體幾何主要通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法去認(rèn)識(shí)與探索幾何圖形及其性質(zhì).立體幾何的學(xué)習(xí)一共安排了三章內(nèi)容,主要涉及立體幾何的整體認(rèn)識(shí)、位置關(guān)系與運(yùn)算求解,其中“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”承載著培養(yǎng)立體幾何基礎(chǔ)能力的核心任務(wù),而“線面角”就落在這個(gè)核心章節(jié)之中.

      空間角的知識(shí)系統(tǒng)包括兩條異面直線所成的角(線線角)、直線與平面所成的角(線面角)、兩個(gè)平面所成的角(二面角的平面角)這三類,其中線線角容易理解和把握,后兩類角具有更強(qiáng)的空間意義,能進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí).線面角上承線線角,下啟二面角,具有一定的基礎(chǔ)性與學(xué)習(xí)的示范性,是建構(gòu)整個(gè)空間角系統(tǒng)的核心.同時(shí),立體幾何運(yùn)算的兩大對(duì)象就是角和距離,線面角與距離也密不可分,在空間想象、推理、計(jì)算等層面上均有重要作用.

      2.2 課時(shí)分解與目標(biāo)定位

      面對(duì)不同的地域、學(xué)校與學(xué)生,相關(guān)的教學(xué)要求與學(xué)習(xí)定位應(yīng)有所差異.故對(duì)于教參中的課時(shí)分解、目標(biāo)分析等建議,不能簡單地照抄照搬,應(yīng)在反復(fù)研讀的基礎(chǔ)上,結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,形成較為合理的認(rèn)識(shí)、見解與定位.

      一般地,數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間應(yīng)基于知識(shí)的廣度與學(xué)習(xí)的難度,及其在相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)中的地位和重要性.對(duì)于線面角,教材安排了簡單的概念學(xué)習(xí)和1個(gè)例題(角的尋找與運(yùn)算).按照教參的1個(gè)課時(shí)建議,可能出現(xiàn)概念學(xué)習(xí)時(shí)間的壓縮和運(yùn)算的提前進(jìn)入,這會(huì)導(dǎo)致概念的產(chǎn)生因簡單而粗糙,學(xué)生的理解因被動(dòng)而生硬,削弱尋找線面角的想象與體驗(yàn)過程,進(jìn)而難以感悟到其中隱含的思想方法.因此,用2個(gè)課時(shí)更為合理. 其中,第1課時(shí)主要著眼于線面角的產(chǎn)生、發(fā)展與聯(lián)系,第2課時(shí)則專注于線面角的尋找、求解、運(yùn)用與延伸.基于上述分析,確定了如下的學(xué)習(xí)目標(biāo)與重、難點(diǎn).

      學(xué)習(xí)目標(biāo):了解“最小角定理”,理解線面角的概念,體會(huì)線面角的唯一性與最優(yōu)化過程.能在不同圖形中準(zhǔn)確尋找、證明與求解線面角,培養(yǎng)幾何直觀、空間想象和推理論證能力;

      重點(diǎn):線面角概念的形成與理解、尋找與求解;

      難點(diǎn):線面角的唯一性理解,如何尋找和確定線面角.

      通過學(xué)習(xí),學(xué)生在線面角的產(chǎn)生過程中感受探索的樂趣和數(shù)學(xué)美的熏陶,在尋找過程中逐步加深概念理解、促進(jìn)思維發(fā)展,在深切的體驗(yàn)與感悟中,體會(huì)數(shù)學(xué)思想的力度,提高思維的水平.

      2.3 核心概念與思想方法理解

      每一節(jié)課都有其核心概念與思想方法,它們可能是分支或章節(jié)的核心或關(guān)鍵點(diǎn),也可能是上述核心的分解與關(guān)節(jié)點(diǎn).對(duì)此,教師必須要理解到位,力求達(dá)到概念與思想的本質(zhì),這樣才能引導(dǎo)學(xué)生理解本質(zhì),體悟思想方法.

      線面角屬于空間角的范疇,當(dāng)然也屬于角的知識(shí)系統(tǒng).學(xué)生以往所學(xué)的平面角有描述性與發(fā)生式兩種概念.直觀上,角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形.運(yùn)動(dòng)上,角是由一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所產(chǎn)生的直觀圖形.因此,作為空間范疇的線面角,它既有屬于空間層面的立體感(直線與平面之間的相對(duì)位置),也有屬于平面層面的直觀性(直線與平面內(nèi)某條直線之間的夾角).因此,解決線面角問題的基本思想方法就是如何將其轉(zhuǎn)化與化歸為平面角,其關(guān)鍵在于確定平面內(nèi)的哪條直線,這就需要選擇與比較,其間自然蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn).基于不同角之間的運(yùn)動(dòng)變化,在直觀感知、觀察實(shí)驗(yàn)、說理計(jì)算、操作確認(rèn)、思辨論證等思維過程中,實(shí)現(xiàn)線面角的概念形成與位置確定.

      2.4 學(xué)情與知識(shí)能力的定位

      作為學(xué)習(xí)的主體,學(xué)生的知識(shí)、能力基礎(chǔ)必然是教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn).教師需要調(diào)查、了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,針對(duì)其數(shù)學(xué)知識(shí)與能力水平、思維習(xí)慣與方式進(jìn)行定位與布局,力求契合實(shí)際、適時(shí)調(diào)整、漸進(jìn)引導(dǎo),逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

      隨著初中平面幾何學(xué)習(xí)難度與要求的明顯降低,學(xué)生的幾何推理論證能力也明顯下降.隨著空間向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué),以及高中數(shù)學(xué)必修模塊的課時(shí)制約,也間接導(dǎo)致了立體幾何的課時(shí)被壓縮、要求被削弱、進(jìn)度被加快.為了提高學(xué)生的成績,題海戰(zhàn)術(shù)大行其道,在一定程度上減少了體驗(yàn)與領(lǐng)悟的時(shí)間與空間,使得學(xué)生的語言表達(dá)能力、理性思維水平、基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升均受到了一定的制約.盡管本校學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)較好,但他們在幾何方面的思維水平仍然不高.上述學(xué)情也是建議用2課時(shí)來學(xué)習(xí)的重要依據(jù).

      2.5 核心概念的背景挖掘

      數(shù)學(xué)各個(gè)分支的核心概念必然有其自然發(fā)生與發(fā)展的歷史背景.每節(jié)課的核心概念既可能與其相關(guān),也可能與科學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、日常生活相關(guān),這些背景的挖掘有助于知識(shí)、方法、思想的前后聯(lián)系、系統(tǒng)建構(gòu)與延伸發(fā)展.

      線面角是線面位置關(guān)系在數(shù)量上的一種反映.求解的關(guān)鍵在于尋找已知直線在平面上的射影,故線面垂直是解決線面角的知識(shí)基礎(chǔ)和核心背景.當(dāng)然,線線角、二面角等也是其基礎(chǔ)與延伸的背景.那么,線面角的現(xiàn)實(shí)背景呢?事實(shí)上,生活中常見移栽樹木與電線桿的固定,遮蔭蓬的搭建與支撐,還有比薩斜塔的直觀性,這些都構(gòu)成了線面角的實(shí)際背景與現(xiàn)實(shí)參照,也是設(shè)計(jì)教學(xué)情境的現(xiàn)實(shí)背景與出發(fā)點(diǎn).

      2.6 典型問題的選擇與組織

      問題是數(shù)學(xué)知識(shí)的理想載體,典型問題更是承載整個(gè)章、節(jié)的核心概念、方法與思想的學(xué)習(xí)推進(jìn)劑,相關(guān)問題的選擇與組織對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著無比重要的作用.?dāng)?shù)學(xué)情境的載體往往是一個(gè)典型問題的前身,它能將學(xué)生的思維逐步推向縱深.為了理解、掌握知識(shí),還需要對(duì)問題進(jìn)行變式應(yīng)用.

      基于空間層面,尋找典型問題的實(shí)質(zhì)也可以說就是尋找一個(gè)典型的圖形.

      就線面角而言,平面的一條斜線、一條垂線及斜線在平面上的射影構(gòu)成了一個(gè)基本圖形,線面角的所有問題均由其生成.在此基礎(chǔ)上,通過圖形變式,即可將本節(jié)課的核心知識(shí)組織起來,將相應(yīng)的典型問題串聯(lián)起來.

      圖2

      問題1如圖2,OB⊥α,OA,OD分別與平面α交于點(diǎn)A,D,試比較∠OAB,∠OAD的大小,并探討兩者之間的數(shù)量關(guān)系.

      注問題1的目的是推導(dǎo)“最小角定理”,順便也可推導(dǎo)cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD這個(gè)副產(chǎn)品,從而使其中的關(guān)系更加清晰化.

      圖3

      問題2如圖3,AB與平面α交于點(diǎn)B,AO⊥α于O點(diǎn),BC?α. 若∠ABC=60°,∠OBC=45°,求AB和α的夾角.

      注問題2是“最小角定理”的基本應(yīng)用,既能深刻理解概念,還可進(jìn)行相應(yīng)變式.

      圖4

      問題3如圖4,OB⊥α于B,A,D∈α,若OA=OD,你能得到什么結(jié)論?若已知AB=BD呢?若∠OAB=∠ODB呢?

      注問題3是教材練習(xí)的基礎(chǔ),能將問題2的思維引向縱深,并進(jìn)一步聯(lián)系、類比、延伸到三角形的“心”等相關(guān)知識(shí),進(jìn)行相應(yīng)變式.

      2.7 相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)化預(yù)設(shè)

      數(shù)學(xué)知識(shí)自有其抽象性與形象化的特征.基于認(rèn)知的一般規(guī)律,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),需要合情、形象的處理,然后逐步符號(hào)化、形式化,進(jìn)而達(dá)到知識(shí)的數(shù)學(xué)化理解.?dāng)?shù)學(xué)化也是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)漸行漸近、理解融合、達(dá)到本質(zhì)表達(dá)的過程.

      數(shù)學(xué)化從某種意義上來說就是相關(guān)知識(shí)的符號(hào)化與形式化.基于線面垂直,求解線面角的規(guī)范模式為:如圖2,因?yàn)镺B⊥α,則AB就是OA在平面α上的射影,故∠OAB就是OA與α所成的線面角.

      當(dāng)然,教學(xué)中不能只限于形式化的表達(dá),還要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).比如,線面角概念的本質(zhì)就是“最小角”,若只是體會(huì)角的最小性,通過動(dòng)手操作學(xué)生應(yīng)該也能想象得出.但是,若輔之以形式化的推理與運(yùn)算,如圖2,結(jié)合“三垂線定理”,可推導(dǎo)出cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD(或相應(yīng)的正弦形式,進(jìn)而可得cosθ=cosθ1cosθ2),自然就有結(jié)論∠OAB<∠OAD.這樣處理更加具體也更令人信服,學(xué)生理解也會(huì)更深刻.

      2.8 相關(guān)方法的一般化預(yù)設(shè)

      在數(shù)學(xué)概念引入、發(fā)生、形成與發(fā)展過程中,在問題分析、探究、求解過程中,往往蘊(yùn)含著概念探索、問題求解的一般性思維方法.通過合理的預(yù)設(shè)與安排,這些方法的體會(huì)、學(xué)習(xí)與感悟?qū)⒂欣趯W(xué)生數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成.

      首先是概念形成.通過觀察、思想實(shí)驗(yàn)與空間想象感知角的變化與存在,進(jìn)行直觀猜測.通過大小比較與運(yùn)算探究確定數(shù)量關(guān)系,類比歸納“最小角定理”,進(jìn)而抽象、概括出線面角的概念,從中體會(huì)、感悟?qū)ο蟮奈ㄒ恍耘c思維的最優(yōu)化.

      其次是角的尋找.線面角的前提是線面垂直,故尋找或作平面的高才是關(guān)鍵,有了高就有了射影,也就找到了線面角,這也是一個(gè)證明的過程.

      在上述過程中,學(xué)生將逐次經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、聯(lián)想、猜測、比較、類比、歸納等合情與演繹推理,逐步養(yǎng)成求實(shí)、說理、批判、質(zhì)疑的理性思維,能從中獲得成功的快樂和美的享受.其間,體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律、從空間到平面的降維轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)變化與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn).

      2.9 概念的精致與學(xué)生理解

      學(xué)習(xí)概念應(yīng)關(guān)注其來龍去脈,揭示其生成與發(fā)展的過程.為此,可基于生活實(shí)際或數(shù)學(xué)的內(nèi)在發(fā)展需求來創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境.通過問題情境逐步引發(fā)興趣,展開思考與探索,發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)和解決途徑,在知識(shí)發(fā)生的模擬實(shí)驗(yàn)中達(dá)成知識(shí)的再創(chuàng)造.在此過程中,既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的合理性、確定性、簡明性和嚴(yán)謹(jǐn)性,也要逐步揭示隱藏在概念背后的數(shù)學(xué)思想方法和認(rèn)識(shí)規(guī)律,讓學(xué)生從中有所感知、領(lǐng)悟,獲得較為深切的思想體驗(yàn).

      圖5

      概念鋪墊如圖5,旗桿OB高40米,頂端O處掛有一條50米長的繩子.現(xiàn)拉緊繩子并將其下端放在地面α上的A,D兩點(diǎn)(A,B,D不共線),且AB=BD=30米,此時(shí)OB與α成什么樣的位置關(guān)系?

      注線面角的背景是線面相交,線線角是學(xué)生認(rèn)知的“已知區(qū)”.從線面垂直入手,符合從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,也為學(xué)習(xí)提供了一個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”.

      直觀感知假設(shè)繩子可自由伸縮,現(xiàn)固定O點(diǎn),讓A點(diǎn)在α內(nèi)自由移動(dòng),當(dāng)A逐漸靠近或遠(yuǎn)離B時(shí),你能感覺到什么?設(shè)想能端起上述圖形直到平面成為眼中的一條直線時(shí),你能感知到什么?

      注在空間想象的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,自然感知到AO與α間存在著夾角.

      操作確認(rèn)角總是通過兩條直線來體現(xiàn)的,如何表示線面的夾角?為此,需要在α內(nèi)找到一條直線,使它與AO的夾角能代表AO與α的夾角?如圖2,用∠OAB很有道理,但∠OAD就不行嗎?為此,要考察∠OAB與∠OAD的大小或數(shù)量關(guān)系.

      注尋找平面內(nèi)的直線合乎自然,猜想∠OAB合乎直覺.教師的反問在不經(jīng)意間將思維引向深處,在反思與轉(zhuǎn)化中營造了良好的主動(dòng)探索氛圍.

      圖6

      思辨論證聯(lián)想“三垂線定理”,如圖6,過O作OC⊥AD于C,則BC⊥AD.在自主探索、合作交流與適時(shí)引導(dǎo)下,可獲得如下思路.

      思路1由OAsin∠OAB=OB

      也可利用sin∠OAB=sin∠OACsin∠OCB得出.

      思路2由OAcos∠OAB=AB>AC=OAcos∠OAC,

      得cos∠OAB>cos∠OAC,從而有∠OAB<∠OAC.

      也可利用cos∠OAC=cos∠OABcos∠BAC得出.

      合情定義從而證明了:“平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角,是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任意直線所成角中的最小角”即“最小角定理”.

      回想初中,考慮到兩點(diǎn)之間的路程無數(shù)卻難以確定,而連結(jié)兩點(diǎn)的線段長度卻是最短的,也是唯一的,將其定義為“兩點(diǎn)間的距離”合乎心理預(yù)期,也是最合理的.類比地,既然AO和它在α內(nèi)的射影AB所成的∠OAB是AO和α內(nèi)任意直線所成角中的最小角,它是唯一的,將其定義為“線面角”,也是最合理的.

      注數(shù)學(xué)講邏輯也講道理.邏輯性體現(xiàn)了定義的合理性,唯一性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美.在返璞歸真中揭示了概念的發(fā)生過程和數(shù)學(xué)美的本質(zhì).

      完整建構(gòu)易知斜線與平面所成角的變化范圍為(0°,90°),考慮直線與平面垂直、平行(在平面內(nèi))的特殊情形,故線面角的取值范圍應(yīng)為[0°,90°],從而使得線面角與線面的位置關(guān)系形成一一對(duì)應(yīng),完成線面角知識(shí)系統(tǒng)的完整建構(gòu).

      2.10 問題的分析與學(xué)生探究

      通過相關(guān)問題溝通概念與各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系,運(yùn)用類比、聯(lián)想、遷移等多種方式,從中體會(huì)知識(shí)、方法、思想間的有機(jī)聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的整體性,進(jìn)一步理解概念本質(zhì),提高解決問題的能力.

      對(duì)于問題2,如圖3,利用cos∠ABC=cos∠ABOcos∠OBC即可求解,之后進(jìn)行相應(yīng)變式.

      (1)在α內(nèi)旋轉(zhuǎn)BC到BD,使∠OBD=45°,求∠ABD;

      (2)若BD在α內(nèi),且∠ABD=∠ABC,可得什么結(jié)論?

      (3)若BD在α內(nèi),且∠OBD=30°,求∠ABD;

      (4)若BC在α內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),求直線AB,BC夾角的取值范圍.

      其中,(1)為轉(zhuǎn)換視角,(2)在問題的再解決中發(fā)現(xiàn)角平分線的空間推廣,(3)為逆向運(yùn)用cosθ=cosθ1cosθ2,(4)為強(qiáng)化本質(zhì)認(rèn)識(shí).通過不同角度的重新審視、探究運(yùn)用,學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)將逐步完善,思想方法將常用常新.

      對(duì)于問題3,如圖4,可得斜線段及其射影與線面角三者間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這實(shí)際上就是初中“三線合一”的空間推廣.進(jìn)而,對(duì)于OB⊥α,A,D,E∈α,有如下變式.

      (1)若OA=OD=OE,可得什么結(jié)論?

      (2)若O到△ADE三邊的距離相等,又能得什么結(jié)論?

      (3)若B是△ADE的垂心,又應(yīng)滿足什么條件?

      上述分別是三角形外心、內(nèi)心、垂心的空間推廣,體現(xiàn)了空間問題平面化與類比推理的思想.

      第1課時(shí)在問題中開始,在探究與求解中獲得知識(shí)、學(xué)習(xí)方法、提高能力,在反思中加深理解,在圖形的變式中形成思維回路,前后呼應(yīng),縱橫聯(lián)系,渾然一體,循環(huán)上升.

      2.11 知識(shí)與方法的練習(xí)預(yù)設(shè)

      為了理解知識(shí)、掌握方法、感悟思想,需精選適量的練習(xí).通過基本問題的研究,形成必要的思維定式,熟練基本套路,在靈活變式、問題探究中進(jìn)行知識(shí)、方法、思想的綜合應(yīng)用與自然融合.

      在第2課時(shí),學(xué)生需要體會(huì)掌握線面角求解的一般方法與基本套路.

      首先,研究線面角的兩個(gè)性質(zhì)(教材練習(xí)):①兩條平行線和同一平面所成的角相等;②一條直線和兩個(gè)平行平面所成的角相等.從中關(guān)注線面垂直及線面角的解題模式.

      其次,通過如下兩個(gè)基本問題來實(shí)現(xiàn)正確尋找、畫出和求解線面角的目標(biāo),而問題的設(shè)計(jì)將遵循從易到難、靈活變式、適當(dāng)滲透向量、向后續(xù)內(nèi)容延伸的原則.

      圖7

      中心問題如圖7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AB,A1D1的中點(diǎn).試求:

      (1)BD1與底面ABCD所成的角;

      (2)EF與平面ADD1A1,BCC1B1所成的角;

      (3)EF與正方體其余各面所成的角;

      (4)EF與正方體各對(duì)角面所成的角.

      注正方體、長方體是立幾學(xué)習(xí)的好載體.其中(1)與(2)是線面角的基本模式及漸進(jìn)變式,(3)是位置變式,(4)融合了多種變式.這些問題的層次與梯度,能有效激發(fā)探究欲望,有利于學(xué)生掌握知識(shí)并提高分析和解決問題的能力.

      圖8

      輔助問題如圖8,已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,PC與平面ABC成30°角.試求:

      (1)PC與平面PAB所成的角;

      (2)PB與平面PAC所成的角;

      (3)PA與平面PBC所成的角.

      注利用常見的基本圖形或融合長方體,在逐步遞進(jìn)中提供了求解線面角的重要模式,在知識(shí)的自然聯(lián)系中獲得有機(jī)統(tǒng)一.

      數(shù)學(xué)中有很多重要的模式或模型,運(yùn)用這些載體可引導(dǎo)思維、溝通聯(lián)系、探索遷移、靈活發(fā)散、引發(fā)思想,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性,進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),提高問題解決的能力.

      2.12 知識(shí)的重構(gòu)與思想感悟

      在學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)適時(shí)探討交流、 回顧反思、體會(huì)方法、感悟思想,營造一個(gè)思維內(nèi)化與思想方法領(lǐng)悟的時(shí)間與空間.在課時(shí)小結(jié)時(shí),可交流學(xué)習(xí)過程中知識(shí)、方法、思想層面的體驗(yàn)與感悟,以加深理解、提升思維、加強(qiáng)體悟.

      在知識(shí)理解上,在最小角、三垂線定理的基礎(chǔ)上得出線面角概念及其范圍,確定其關(guān)鍵是平面的垂線,突出其基本圖形.注意線面角與平面幾何相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與推廣.

      在方法體驗(yàn)上,運(yùn)用了觀察實(shí)驗(yàn)、想象聯(lián)想、比較類比、歸納概括等一般性的探究思維與學(xué)習(xí)方法.掌握線面角求解的基本模式,運(yùn)用cosθ=cosθ1cosθ2可求解空間角.通過變式、類比、聯(lián)系、推廣,在多重探究中體會(huì)幾何研究的一般規(guī)律.

      在思想感悟上,以線面垂直為基礎(chǔ)來認(rèn)知與求解線面角,體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.線面角取值范圍的確定,體現(xiàn)了其與線面位置關(guān)系的一一對(duì)應(yīng)與知識(shí)系統(tǒng)的完整性.線面角概念的形成過程蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn),體現(xiàn)了從直觀操作到空間想象的抽象思維.基于研究對(duì)象的唯一性與最簡性來下定義,在類比中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美與求簡思維.從平面角到空間角、再化空間角為平面角,體現(xiàn)了化空間為平面的立體幾何的基本思想.

      在思維延伸上,如何從線面角中孕育出二面角?首先,“最小角定理”的推導(dǎo)蘊(yùn)含了二面角的基本圖形,為二面角的認(rèn)知張開了思維的觸角.其次,可類比進(jìn)行相應(yīng)的演示與思想實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生去想象和發(fā)現(xiàn)二面角.

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