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      有理有據(jù) 規(guī)范書寫 分分必爭

      2019-05-25 08:55:16陳新合
      初中生世界 2019年19期
      關(guān)鍵詞:平分線等腰三角切線

      陳新合

      圓是初中幾何中一個簡單而完美的圖形,擁有諸多特性,它既是一個中心對稱圖形,又是一個軸對稱圖形,有無數(shù)條對稱軸。這些特性使得圓與平行線、三角形、四邊形和平面直角坐標(biāo)系等圖形組合形成綜合性問題。下面通過兩道例題來示范如何規(guī)范解決這類問題,希望對同學(xué)們有所幫助。

      例1 如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直徑,點P是CD延長線上一點,且AP=AC。(1)求證:PA是⊙O的切線;(2)若PD=5,求⊙O的直徑。

      圖1

      【思路分析】(1)連接OA,根據(jù)圓周角定理求出∠AOC,由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°,再由 AP=AC 得出∠P=30°,繼而由∠OAP=∠AOC-∠P=90°,可證得OA⊥PA。

      (2)利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OP=2OA,可得出PD=OD=OA,由PD=5可求出⊙O的直徑。

      【規(guī)范解答】證明:(1)如圖2,連接OA。

      圖2

      ∵∠B=60°,

      ∴∠AOC=2∠B=120°,(得1分)

      又∵OA=OC,

      ∴∠OAC=∠OCA=30°,(得1分)

      又∵AP=AC,

      ∴∠P=∠ACP=30°,

      ∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,

      ∴OA⊥PA,(得1分)

      ∵OA是⊙O的半徑,

      ∴PA是⊙O的切線。(得1分)

      解:(2)在Rt△OAP中,

      ∵∠P=30°,

      ∴PO=2OA=OD+PD,(得1分)

      又∵OA=OD,

      ∴PD=OA,(得1分)

      ∵PD=5,

      ∴2OA=2PD=25,(得1分)

      ∴⊙O的直徑為2 5。(得1分)

      【踩點提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定及含30°角直角三角形的性質(zhì)。在解題時,我們要明確證明切線的兩種方法:知半徑,證垂直;知垂直,證半徑。本題已知點A在圓上,連接OA得出半徑,選用“知半徑,證垂直”方法來證明。在書寫解題過程時,我們要注意:①在得出∠OAP=90°時,不能直接得出PA是⊙O的切線,必須要寫出OA⊥PA,這一步非常重要,不能省略;②(2)中,所有的解題都是在Rt△OAP中進(jìn)行的,所以我們在書寫時應(yīng)明確點出來,使得過程規(guī)范清晰,有利于自己檢查和老師批閱。

      例2 如圖3,AB是⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點D,過點D的切線交AC的延長線于點E。求證:(1)DE⊥AE;(2)AE+CE=AB。

      圖3

      【思路分析】(1)連接OD,先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出∠CAD=∠ODA,從而證得AE∥OD,可知∠E+∠ODE=180°,再由圓的切線性質(zhì)證得OD⊥DE,可知∠ODE=90°,從而得出∠E=90°,DE⊥AE得證。

      (2)根據(jù)角平分線與垂直的組合,容易想到過點D作DM⊥AB,交AB于點M,得到關(guān)于角平分線性質(zhì)的基本圖形,得出DE=DM,再證明△DAE≌△DAM,由全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AM。根據(jù)弦、弧、角之間的關(guān)系︵,可︵想到連接CD、DB,由∠CAD=∠OAD可得出C,從而證出CD=BD,結(jié)合DE=DM,可證Rt△DCE≌Rt△DBM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=BM,結(jié)合AB=AM+BM,即可證得AE+CE=AB?!疽?guī)范解答】證明:如圖4。

      圖4

      (1)連接OD,

      ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD

      ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD。

      ∴∠CAD=∠ODA。

      1.3.1 套管堵塞。套管堵塞相對常見,由于部分治療肺結(jié)核藥物需要輸注濃度較高,而輸液后未能對導(dǎo)管進(jìn)行徹底清洗,且患者年齡較大,自身合并有一些基礎(chǔ)性疾病,導(dǎo)致患者的血管破壞嚴(yán)重,影響液體通暢程度。因此,在治療過程中,輸注部分高濃度、大分子的藥物時要減緩輸液速度,并進(jìn)行足夠的稀釋,輸注完成之后立即對導(dǎo)管進(jìn)行清洗,并選擇合適的封管液正確封管,必要時可采取脈沖式封管,最大程度減少導(dǎo)管堵塞情況發(fā)生;如導(dǎo)管已經(jīng)出現(xiàn)堵塞,必須進(jìn)行回抽,禁止使用注射器進(jìn)行推注,避免凝固的血栓進(jìn)入血管引發(fā)不良反應(yīng)。

      ∴AE∥OD。(得1分)

      ∴∠E+∠ODE=180°。

      ∵DE是⊙O的切線,

      ∴OD⊥DE。

      ∴∠ODE=90°。(得1分)

      ∴∠E=90°。

      ∴DE⊥AE。(得1分)

      (2)過點D作DM⊥AB,交AB于點M,連接CD、DB。

      ∵AD平分∠BAC,

      ∴DE=DM,∠AED=∠AMD=90°。

      在Rt△DAE和Rt△DAM中,

      ∴△DAE≌△DAM(HL)。(得1分)∴AE=AM。

      ∴CD=BD。(得1分)

      在Rt△DEC和Rt△DMB中,

      ∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)。

      ∴CE=BM。(得1分)

      ∴AE+CE=AM+BM。

      即AE+CE=AB。(得1分)

      【踩點提示】解題時要抓住常見圖形的組合:由等腰三角形與角平分線可得平行線;由垂直與角平分線組合可得角平分線性質(zhì)定理;見切點,連半徑,得垂直;由圓中弦、弧、角之間的關(guān)系,利用等量代換的方法處理線段的和、差問題。在書寫過程時,我們要做到有理有據(jù),嚴(yán)格按照定理要求書寫,不要跳步和省略步驟,比如:例2中由切線的性質(zhì)可以得到OD⊥DE,不能因為后面需要∠ODE=90°,而跳過OD⊥DE,直接得出∠ODE=90°。證明三角形全等時需要使用大括號,按順序?qū)懗鰲l件,并在后面注明三角形全等的判定方法,這樣使得證明過程條理清晰、簡潔美觀。

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