一類對(duì)角互補(bǔ)型問題的解題策略

范建兵

筆者偶遇一道常州中考數(shù)學(xué)填空壓軸題，思緒萬千，不禁為其精心的構(gòu)思、模型化的考查拍手叫好。

【原題呈現(xiàn)】如圖1，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是 。

圖1

【解析】由題意知，BC=CD，∠CAD=∠CAB=30°，∠BAD+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°。

解法一：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)策略。

如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△CBE，則∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，得△ACE是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，作CM⊥AE于M，解此三角形可得AC的長。

圖2

解法二：運(yùn)用角平分線策略。

如圖3，過C作CE⊥AB，交AB延長線于E，CF⊥AD于F，借助角平分線性質(zhì)、兩次三角形全等、30°角特殊性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)可得AC的長。

圖3

【模型解讀】如圖4，從原題中四邊形ABCD來看，結(jié)合“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”，可得這個(gè)四邊形屬于“對(duì)角互補(bǔ)型”四邊形。

此類問題解題一般有兩個(gè)顯性特征：（1）有一組相等的鄰邊，如原題中的BC=CD，旋轉(zhuǎn)后使BC與CD重合；（2）四邊形對(duì)角互補(bǔ)，如原題中的∠B與∠D，旋轉(zhuǎn)后構(gòu)造三點(diǎn)共線。

圖4

【模型再現(xiàn)】如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC。若AC=6，求四邊形ABCD的面積。

這是典型的“對(duì)角互補(bǔ)型”問題，與原題相比隱藏了一個(gè)四邊形ABCD的外接圓，有了上面的理解，解答這樣的題目是不是很簡單呢？

圖5

【點(diǎn)評(píng)】“對(duì)角互補(bǔ)型”問題的圖形中，除了隱圓（四邊形四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上）和兩個(gè)顯性特征，還有哪些隱性結(jié)論呢？如果我們深度反思，能發(fā)現(xiàn)這類問題的“內(nèi)涵”還是挺豐富的，讓我們結(jié)合下列圖形去探求其中的奧秘。

（1）如圖 6，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，你能寫出哪些結(jié)論？如果將∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖7，這些結(jié)論還成立嗎？

圖6

圖7

（2）如圖8，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，你能寫出哪些結(jié)論？如果將∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖9，這些結(jié)論還成立嗎？

圖8

圖9

以上兩種情況，請(qǐng)同學(xué)們自行思考哦。其實(shí)解題就如學(xué)習(xí)，只要認(rèn)真思考，細(xì)細(xì)體會(huì)，就一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的奧秘。